Transformada Z

Resumo
Sinais e Sistemas
Transformada Z
Luís Caldas de Oliveira
lco@ist.utl.pt
Instituto Superior Técnico
Definição
Região de convergência
Transformada inversa
Propriedades da transformada Z
Avaliação geométrica da DTFT
Caracterização de SLITs usando a transformada Z.
Representação de SLITs em diagramas.
.
.
Sinais e Sistemas – p.1/52
Sinais e Sistemas – p.2/52
Introdução
Transformada Z Bilateral
A transformada de Fourier não converge para todas
as sequências.
A transformada Z abrange uma maior classe de
sinais.
A transformada Z desempenha para os sinais
discretos o mesmo papel que a transformada de
Laplace para os contínuos.
∀z ∈ , X(z) =
+∞∑
n=−∞
x(n) −→ X(z)
Z
x(n)z −n
.
.
Sinais e Sistemas – p.3/52
Sinais e Sistemas – p.4/52

A DTFT e a Transformada Z
Exemplo
.
X(z) =
+∞∑
n=−∞
x(n)z −n
A transformada de Fourier
é a transformada Z calculada
sobre a circunferência
de raio unitário (|z| =
r = 1):
X(e jω ) =
+∞∑
n=−∞
z=re jω
−−−−→ X(re jω ) =
x(n)e − jωn
Plano z
+∞∑
n=−∞
Im
(x(n)r −n )e − jωn
z=e jω
ω
1
Re
.
Calcular a transformada Z do sinal:
∀n ∈ ,
x(n) = a n u(n)
em que a ∈ e u(n) é a função escalão unitário.
Solução:
X(z) =
1
1 − az −1 , |z| > |a|
Sinais e Sistemas – p.5/52
Sinais e Sistemas – p.6/52
Exemplo
Convergência da Transformada Z
.
Calcular a transformada Z do sinal:
∀n ∈ , x(n) = −a n u(−n − 1)
em que a ∈ e u(n) é a função escalão unitário.
Solução:
X(z) =
1
1 − az −1 , |z| < |a|
.
Aplicando a condição da sequência ser absolutamente
somável, usada para a transformada de Fourier:
+∞∑
n=−∞
|x(n)||z| −n < ∞
A convergência da transformada
depende apenas de |z|: a ROC tem
a forma de um anel.
Em certos casos o limite interno do
anel poderá ser a origem e o limite
externo poderá ser infinito.
Plano z
Im
Re
Sinais e Sistemas – p.7/52
Sinais e Sistemas – p.8/52

Função Racional
Sinal Lateral Direito
Uma importante classe de transformadas são aquelas em
que a transformada Z é uma função racional no interior da
região de convergência:
X(z) = P(z)
Q(z)
Em que P(z) e Q(z) são polinómios em z.
Exemplo de um sinal lateral
direito:
x(n) = a n u(n)
Plano z
Im
a
1
Re
zeros de X(z) : nome dado às raízes do numerador P(z).
pólos de X(z) : nome dado às raízes do denominador Q(z).
.
.
Sinais e Sistemas – p.9/52
Sinais e Sistemas – p.10/52
Sinal Lateral Esquerdo
Propriedades da ROC
Plano z
Im
a
1
Re
Exemplo de um sinal lateral
esquerdo:
x(n) = −a n u(−n − 1)
Se a transformada Z for uma função racional e x(n) tiver
amplitude finita excepto possivelmente em n = +∞ ou
n = −∞:
Propriedade 1: A região de convergência é um anel
centrado na origem.
Propriedade 2: A transformada de Fourier de x(n)
converge absolutamente sse a região de
convergência da transformada Z incluir o círculo
unitário.
.
.
Propriedade 3: A região de convergência não pode
incluir nenhum pólo.
Sinais e Sistemas – p.11/52
Sinais e Sistemas – p.12/52

Propriedades da ROC
Propriedades da ROC
.
Propriedade 4: Se x(n) for um sinal de duração finita
então a região de convergência é todo o plano z
excepto possivelmente z = 0 ou z = ∞.
Propriedade 5: Se x(n) for um sinal lateral direito a
região de convergência estende-se para fora do pólo
mais afastado da origem (incluindo possivelmente
z = ∞).
Propriedade 6: Se x(n) for um sinal lateral esquerdo
a região de convergência estende-se para o interior
do pólo mais próximo da origem (incluindo
possivelmente z = 0).
.
Propriedade 7: Se x(n) for um sinal bilateral a região
de convergência será um anel no plano Z, limitado no
interior e exterior por um pólo e não contendo pólos
no seu interior.
Propriedade 8: A região de convergência tem de ser
uma região ligada.
Sinais e Sistemas – p.13/52
Sinais e Sistemas – p.14/52
Exemplo
Exemplo
Calcular a transformada Z do sinal indicando a região de
convergência:
∀n ∈ ,
x(n) = a n [u(n) − u(n − N)]
em que a ∈ , a > 0 e u(n) é a função escalão unitário.
Solução:
X(z) = 1 − (az−1 ) N
1 − az −1 , |z| > 0
Calcular a transformada Z do sinal indicando a região de
convergência:
∀n ∈ , x(n) = b |n|
em que b ∈ , b > 0 e u(n) é a função escalão unitário.
Solução:
X(z) =
1
1 − bz −1 − 1
1 − b −1 z −1 , b < |z| < 1/b
.
.
Sinais e Sistemas – p.15/52
Sinais e Sistemas – p.16/52

Exemplo
Transformada Z Inversa
Determinar o número de sinais que podem ser associadas
à transformada Z:
1
∀z ∈ , X(z) =
(1 − 1 3 z−1 )(1 − 2z −1 )
Solução: Podemos associar um sinal bi-lateral, um lateral
esquerdo e um lateral direito.
No caso geral a inversão da transformada Z exige o
recurso a um integral de circulação.
No entanto, se a transformada for uma função
racional, pode ser expandida na forma:
X(z) =
m∑
i=1
A 1
1 − a i z −1
.
.
Em função da região de convergência, o sinal x(n)
será uma soma de exponenciais na forma A i a n i
u(n) ou
−A i a n i
u(−n − 1).
Sinais
Sinais e Sistemas – p.17/52
e Sistemas – p.18/52
Método de Inspecção
Exemplo
Exemplo:
X(z) =
Usa-se o par de transformadas:
1
1 − 1 2 z−1 , |z| > 1 2
a n u(n) Z −→ 1
1 − az −1 , , |z| > |a| Sinais e Sistemas – p.19/52
Calcular a transformada Z inversa de:
3 − 5 6
∀z ∈ , X(z) =
z−1
, |z| > 1/3
(1 − 1 4 z−1 )(1 − 1 3 z−1 )
Solução:
x(n) = (1/4) n u(n) + 2(1/3) n u(n)
.
.
Sinais e Sistemas – p.20/52

Expansão em Fracções Simples
Expansão em Fracções Simples
.
X(z) =
∑ M
k=0 b k z −k
∑ N
k=0 a kz −k = b 0
a 0
∏ M
k=1(1 − c k z −1 )
∏ N
k=1 (1 − d kz −1 )
Se M < N e se os pólos forem todos de primeira ordem:
em que:
X(z) =
N∑
k=1
A k
1 − d k z −1
A k = (1 − d k z −1 )X(z)| z=dk
.
No caso M ≥ N e existir um pólo de ordem s em z = d i :
X(z) =
M−N ∑
r=0
B r z −r +
N∑
k=1
A k
s∑
1 − d k z + C m
−1 (1 − d i z −1 ) m
em que B r pode ser obtido por divisão longa do numerador
pelo denominador terminando-o quando o grau do resto
for menor que o do denominador,
{ }
1 d
s−m
C m =
(s − m)!(−d i ) s−m dw [(1 − d iw) s X(w −1 )]
s−m w=di
−1
m=1
Sinais e Sistemas – p.21/52
Sinais e Sistemas – p.22/52
Expansão em Série de Potências
Exemplo
X(z) =
+∞∑
n=−∞
x(n)z −n
= . . . + x(−2)z 2 + x(−1)z + x(0) + x(1)z −1 + x(2)z −2 + . . .
Os valores da sequência são os coeficientes das
potências de z −1 .
Calcular a transformada Z inversa de:
∀z ∈ , X(z) = 4z 2 + 2 + 3z −1 , 0 < |z| < ∞
Solução:
x(n) = 4δ(n + 2) + 2δ(n) + 3δ(n − 1)
.
.
Sinais e Sistemas – p.23/52
Sinais e Sistemas – p.24/52

Linearidade
Deslocamento Temporal
ax 1 (n) + bx 2 (n) Z −→ aX 1 (z) + bX 2 (z)
Com a região de convergência:
R X1 ∩ R X2
x(n − n 0 ) Z −→ z −n0 X(z)
Com a região de convergência:
R X excepto a possível adição ou remoção de z = 0 ou z = ∞
.
.
Sinais e Sistemas – p.25/52
Sinais e Sistemas – p.26/52
Multiplicação por uma Exponencial
Inversão Temporal
z n 0 x(n) Z −→ X(z/z 0 )
Com a região de convergência:
x(−n) Z −→ X(1/z)
Com a região de convergência:
|z 0 |R X
Sinais e Sistemas – p.27/52
1
R X
.
.
Sinais e Sistemas – p.28/52

Conjugado
Convolução
x ∗ (n) Z −→ X ∗ (z ∗ )
Com a região de convergência:
x 1 (n) ∗ x 2 (n) Z −→ X 1 (z)X 2 (z)
Com a região de convergência contendo:
R X
R X1 ∩ R X2
.
.
Sinais e Sistemas – p.29/52
Sinais e Sistemas – p.30/52
Diferenciação
Exemplo
nx(n) Z −→ −z dX(z)
dz
Com a região de convergência:
Calcular a transformada Z inversa de:
∀z ∈ , X(z) =
az −1
(1 − az −1 ) 2 , |z| > |a|
R X
Solução:
x(n) = na n u(n)
.
.
Sinais e Sistemas – p.31/52
Sinais e Sistemas – p.32/52

Teorema do Valor Inicial
Exemplo
Se x(n) for uma sequência causal (x(n) = 0 para n < 0):
x(0) = lim
z→∞
X(z)
Para uma sequência causal, se X(z) for racional e se x(0)
for um valor finito, então a ordem do numerador não pode
ser superior à do denominador.
Verifique se
1 − 3 2
∀z ∈ , X(z) =
z−1
, |z| > 1/2
(1 − 1 3 z−1 )(1 − 1 2 z−1 )
Pode ser a transformada Z do sinal:
x(n) = 7(1/3) n u(n) − 6(1/2) n u(n)
.
.
Solução: Aplicando o teorema do valor inicial:
x(0) = lim
z→∞
X(z) = 1
Sinais e Sistemas – p.33/52
Sinais e Sistemas – p.34/52
Transformadas Z Comuns
Transformadas Z Comuns
.
δ(n)
u(n)
−u(−n − 1)
δ(n − m)
a n u(n)
−a n u(−n − 1)
Z
−→
Z
−→
Z
−→
Z
1 , ∀ z
1
, |z| > 1
1 − z−1 1
, |z| < 1
1 − z−1 −→ z −m ∀ z , excepto 0 (m > 0) ou ∞ (m < 0)
Z 1
−→ , |z| > |a|
1 − az−1 Z 1
−→
1 − az , |z| < |a| −1 Sinais e Sistemas – p.35/52
.
na n u(n)
−na n u(−n)
(n + 1)a n u(n)
−(n + 1)a n u(−n − 2)
Z
−→
Z
−→
Z
−→
Z
−→
az −1
, |z| > |a|
(1 − az −1 )
2
az −1
, |z| < |a|
(1 − az −1 )
2
1
, |z| > |a|
(1 − az −1 )
2
1
, |z| < |a|
(1 − az −1 )
2
Sinais e Sistemas – p.36/52

Transformadas Z Comuns
Transformada de Fourier
Sistema causal de primeira ordem: h(n) = a n u(n)
r n cos(ω 0 n)u(n)
r n sin(ω 0 n)u(n)
Z
−→
Z
−→
1 − [r cos(ω 0 )]z −1
, |z| > r
1 − 2r cos(ω 0 )z −1 + r 2 z−2 1 − [r sin(ω 0 )]z −1
, |z| > r
1 − 2r cos(ω 0 )z −1 + r 2 z−2 H(z) =
1
1 − az = z
−1 z − a
Fazendo z = e jω obtém-se a transformada de Fourier:
{ a n , 0 ≤ n ≤ N − 1
0, caso contrário
Z
−→
1 − aN z −N
1 − az −1 , |z| > 0
|H(e jω )| = |e jω |
|e jω − a| = |v z|
|v p |
∠H(e jω ) = ω − ∠(e jω − a) = ∠v z − ∠v p
.
.
em que v z é o vector do zero a z = e jω e v p é o vector do
pólo a z = e jω .
Sinais e Sistemas – p.37/52
Sinais e Sistemas – p.38/52
Sistema de Segunda Ordem
Causalidade
No caso de um sistema causal de segunda ordem:
H(z) =
1
1 − 2r cos(θ)z −1 + r 2 z −2 = z 2
z 2 − 2r cos(θ)z + r 2
Fazendo z = e jω obtém-se a transformada de Fourier:
|H(e jω )| = |v z1||v z2 |
|v p1 ||v p2 |
A reposta impulsiva de um SLIT causal é um sinal lateral
direito, então
Um SLIT discreto com função de transferência racional é
causal se e só se: a) a região de convergência for o exterior
da circunferência que inclui o pólo mais afastado, b) a
ordem do numerador não exceder a ordem do denominador.
.
∠H(e jω ) = ∠v z1 + ∠v z1 − ∠v p1 − ∠v p2
em que v z1 e v z2 são os vectores dos zeros a z = e jω e v p1 e
v p2 são os vectores dos pólos a z = e jω .
.
Sinais e Sistemas – p.39/52
Sinais e Sistemas – p.40/52

Exemplo
Exemplo
Verifique se
∀z ∈ , H(z) = z3 − 2z 2 + z
z 2 + 1 4 z + 1 8
pode ser a função de transferência de um sistema causal.
Solução: Mesmo sem conhecer a ROC podemos concluir
que o sistema não é causal porque a ordem do numerador
é superior à do denominador.
Verifique se
∀z ∈ , H(z) =
1
1 − + 1
, |z| > 2
1
2 z−1 1 − 2z −1
é a função de transferência de um sistema causal.
Solução: Uma vez que a ROC é o exterior do pólo mais
afastado da origem, basta confirmar que a ordem do
numerador não excede a do denominador:
.
Sinais e Sistemas – p.41/52
.
H(z) =
2z2 − 5z
2
z 2 − 5z + 1 2
logo o sistema é causal.
Sinais e Sistemas – p.42/52
Estabilidade
Equações às Diferenças
Um sistema discreto, linear e invariante no tempo é estável
se a região de convergência incluir o a circunferência de
raio unitário.
Um SLIT causal discreto com função de transferência racional
é estável se e só se todos os pólos estiverem no interior
da circunferência de raio unitário.
Muitos SLITs podem ser caracterizados por uma equação
às diferenças de coeficientes constantes:
N∑
a k y(n − k) =
k=0
M∑
b k x(n − k)
k=0
Aplicando a propriedade do deslocamento:
H(z) = Y(z) ∑ M
X(z) = k=0 b k z −k
∑ N
k=0 a kz −k
.
.
Sinais e Sistemas – p.43/52
Sinais e Sistemas – p.44/52

Diagrama de Blocos
Grafo de Fluxo
As equações às diferenças podem ser representadas num
diagrama de blocos com símbolos para:
soma de dois sinais;
multiplicação de um sinal por uma constante;
atraso unitário.
Exemplo: y(n) = x(n) + bx(n − 1) + ay(n − 1)
x(n)
z
−1
z
y(n)
−1
A representação num grafo de fluxo é essencialmente
igual à representação em blocos excepto na notação
utilizada:
o grafo é um conjunto de ramos que se interligam em
nós;
a cada nó está associada uma sequência;
cada ramo corresponde a uma transformação linear
do nó de entrada para o de saída.
.
b
a
.
Sinais e Sistemas – p.45/52
Sinais e Sistemas – p.46/52
Exemplo de um Grafo
Sistemas IIR – Forma Directa I
y(n) = x(n) + bx(n − 1) + ay(n − 1)
x(n)
H(z) = 1 + bz−1
1 − az −1
y(n)
y(n) =
x(n)
z
−1
N∑
N∑
a k y(n − k) + b k x(n − k)
k=1
b
0
k=0
z
−1
y(n)
z
−1
z
−1
z
−1
b
1
a
1
z
−1
b
a
b
2
a
2
.
.
z
−1
b
b
N−1
N
a
a
N−1
N
z
−1
Sinais e Sistemas – p.47/52
Sinais e Sistemas – p.48/52

Sistemas IIR – Forma Directa II
Exemplo
x(n)
a
1
z
z
−1
−1
b
b
0
1
y(n)
Determinar a resposta em frequência e representar na
forma directa I e na forma directa II o sistema linear e
invariante no tempo definido pela seguinte equação às
diferenças:
a
a
2
N−1
z
−1
b
b
2
N−1
∀n ∈ , y(n) = x(n) − x(n − 1) + 1 2 y(n − 1) + 1 y(n − 2)
3
a
N
b
N
.
.
Sinais e Sistemas – p.49/52
Sinais e Sistemas – p.50/52
Sistemas FIR – Forma Directa
Conclusões
.
x(n)
M∑
M∑
y(n) = b k x(n − k) = h(k)x(n − k)
k=0
k=0
M∑
H(z) = b k z −k
k=0
z −1 z −1 z −1
h(0) h(1) h(2) h(M−1)
h(M)
y(n)
.
A transformada Z é uma generalização da
transformada de Fourier de sinais discretos.
Tal como na transformada de Laplace, a transformada
Z permite que sistemas com função de transferência
racional sejam caracterizados pelo seu mapa de
pólos e zeros.
A localização dos pólos e da região de convergência
permitem determinar características como a
causalidade e a estabilidade.
O mapa de pólos e zeros permite esboçar
geometricamente a transformada de Fourier à parte
um factor de escala.
Sinais e Sistemas – p.51/52
Sinais e Sistemas – p.52/52