Sinais e Sistemas

Resumo
Sinais e Sistemas
Sinais e Sistemas
Luís Caldas de Oliveira
lco@ist.utl.pt
Sinais de tempo contínuo e discreto
Transformações da variável independente
Sinais básicos: impulso, escalão e exponencial.
Sistemas contínuos e discretos
Propriedades básicas dos sistemas
Instituto Superior Técnico
.
.
Sinais e Sistemas – p.1/50
Sinais e Sistemas – p.2/50
Sinal Acústico
Sinal em Tempo Contínuo
Se s for um sinal acústico:
s : Tempo → Pressão
Podemos representá-lo na forma de uma função:
∀t ∈ , s(t) = . . .
s : →
Um sinal x(t) em tempo contínuo é uma função de uma
variável contínua.
∀t ∈ , x(t) = . . .
x : →
Passaremos a denominar estes sinais pela forma
abreviada de sinais contínuos.
Pressão
.
.
Tempo
Sinais e Sistemas – p.3/50
Sinais e Sistemas – p.4/50

Valor de Fecho do PSI-20
Sinal em Tempo Discreto
O valor inicial (base) do PSI-20 é de 3000 pontos e é
calculado por referência aos preços de fecho da
sessão de bolsa de 31 de Dezembro de 1992.
Exemplo:
{. . . , 7309, 7321, 7315, 7327, 7325, . . .}
Um sinal x(n) em tempo discreto é uma função de uma
variável discreta:
∀n ∈ , x(n) = . . .
x : →
Passaremos a denominar estes sinais pela forma
abreviada de sinais discretos.
.
.
Sinais e Sistemas – p.5/50
Sinais e Sistemas – p.6/50
Amostragem de Sinais Contínuos
Problema
Muitos dos sinais em tempo discreto resultam da
amostragem de sinais em tempo contínuo (x c (t)):
x(n) = x c (nT), ∀n ∈
Determinar taxa de compressão de uma faixa de música
de um disco compacto ao ser codificada em mpeg-3 a 128
Kb/s.
em que x c (t) é uma função da variável t ∈ e T é o
período de amostragem.
... ...
.
T
.
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Sinais e Sistemas – p.8/50

Codificação da amplitude
Energia
Para além da amostragem temporal, a amplitude do sinal
pode também ser codificada usando um número finito de
bits. No caso de uma codificação linear de 16 bits em
complemento para 2:
s : → {−32768, . . . , 32767}
No caso de uma imagem quadrada com 512x512 pixeis de
com 8 bits por cada componente RGB (24 bits):
i : {0, . . . , 511} 2 → {0, . . . , 255} 3
Convencionou-se definir a energia de um sinal como
sendo:
E ∞ =
∫ +∞
−∞
|x(t)| 2 dt.
De forma análoga para o caso discreto:
E ∞ =
+∞∑
n=−∞
|x(n)| 2 .
.
.
Podem existir sinais com energia infinita!
Sinais e Sistemas – p.9/50
Sinais e Sistemas – p.10/50
Potência
Deslocamento Temporal
Com base na definição de energia, podemos também
definir a potência média de um sinal:
x(n)
∫
1 +T
P ∞ = lim |x(t)| 2 dt.
T→∞ 2T −T
De forma análoga para o caso discreto:
y(t) = x(t − t 0 )
... ...
0
t
y(n)
1
P ∞ = lim
N→∞ 2N + 1
+N∑
n=−N
|x(n)| 2 .
...
0
t 0
t
.
.
Sinais e Sistemas – p.11/50
Sinais e Sistemas – p.12/50

Problema
Inversão Temporal
x(n)
x(n)
... ...
−1
0
1
2
3
4
5
6
7 n
y(n) = x(n − n 0 )
... ...
y(n)
... ...
Qual o valor de n 0 ?
y(t) = x(−t)
y(n)
0 t
−1
0
1
2
3
4
5
6
7 n
...
0
t
.
.
Sinais e Sistemas – p.13/50
Sinais e Sistemas – p.14/50
Escalamento Temporal
Problema
y(t) = x(at), a ∈
x(n)
... ...
0 t
y(n)
x(n)
3
2
1
1
... ...
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 n
Determine a sequência
definida por:
y(n) = x(3 − n)
...
0
t
.
.
Sinais e Sistemas – p.15/50
Sinais e Sistemas – p.16/50

Sinal Periódico Contínuo
Sinal Periódico Discreto
Um sinal contínuo diz-se periódico se se mantiver
inalterado por um deslocamento temporal de valor T:
x(t) = x(t + T), T ∈
Ao menor valor positivo de T dá-se o nome de período
fundamental (T 0 ).
Identicamente ao caso contínuo, um sinal discreto diz-se
periódico se se mantiver inalterado por um deslocamento
temporal de N amostras:
x(n) = x(n + N), N ∈
Ao menor valor inteiro positivo de N dá-se o nome de
período fundamental (N 0 ).
A amostragem de um sinal periódico contínuo nem sempre
resulta num sinal periódico discreto.
.
.
Sinais e Sistemas – p.17/50
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Sinais Pares e Ímpares
Componente Par e Ímpar
Um sinal é par se for
igual à sua inversão
temporal
...
x(n)
...
0 t
Qualquer sinal pode ser decomposto na soma de um sinal
par com um sinal ímpar:
x(t) = x e (t) + x o (t)
x(t) = x(−t)
Um sinal é ímpar se:
x(t) = −x(−t)
...
y(n)
...
t
x e (t) = 1 [x(t) + x(−t)]
2
x o (t) = 1 2 [x(t) − x(−t)] Sinais e Sistemas – p.20/50
.
.
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Exemplo
Impulso Unitário Discreto
.
Determinar a componente par e ímpar do sinal:
x(t)
2
...
1
...
−2 −1 0 1 2
t
.
δ(n) =
{ 0, n 0.
1, n = 0.
δ(n)
... ...
−4 −3 −2 −1
Qualquer sequência pode ser expressa em termos de uma
soma de impulsos unitários escalados e deslocados no
tempo:
x(n) =
+∞∑
k=−∞
x(k)δ(n − k)
0
1
2
3
4
n
Sinais e Sistemas – p.21/50
Sinais e Sistemas – p.22/50
Escalão Unitário Discreto
Impulso e Escalão Discretos
u(n) =
{ 0, n < 0.
1, n ≥ 0.
u(n) =
+∞∑
k=0
u(n)
... ...
δ(n − k)
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 n
O escalão unitário pode-se relacionar com o impulso
unitário:
n∑
u(n) = δ(k)
k=−∞
Inversamente:
δ(n) = u(n) − u(n − 1)
.
.
Sinais e Sistemas – p.23/50
Sinais e Sistemas – p.24/50

Impulso Unitário Contínuo
Interpretação do Impulso
O impulso unitário, também designado por função delta ou
distribuição de Dirac, define-se por:
δ ∆
(n)
∆
∫ +ɛ
δ(t) = 0, t 0
...
...
−ɛ
δ(τ)dτ = 1, ∀ɛ ∈ +
−1/2∆ 0 1/2∆
t
δ(t) = lim
∆→0
δ ∆ (t)
A função δ(t) não se encontra definida para t = 0
.
.
Sinais e Sistemas – p.25/50
Sinais e Sistemas – p.26/50
Representação do Impulso
Propriedade de Amostragem
...
δ(t)
(1)
...
x(t)δ ∆ (t) ≈ x(0)δ ∆ (t)
lim ∆(t)
∆→0
= lim x(0)δ ∆ (t)
∆→0
0 t
A amplitude da seta indica a área do impulso e não o
valor para t = 0.
x(t)δ(t) = x(0)δ(t)
.
.
O produto de uma função por um impulso produz um impulso
com área igual ao valor da função no instante do impulso.
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Sinais e Sistemas – p.28/50

Escalão Unitário Contínuo
Impulso e Escalão Contínuos
u(t) =
{ 0, t < 0.
1, t ≥ 0.
u(t) =
∫ +∞
0
...
δ(t − τ)dτ.
u(t)
...
0 t
O escalão unitário pode-se relacionar com o impulso
unitário:
u(t) =
Inversamente:
∫ t
τ=−∞
δ(t) = d dt u(t)
δ(τ)dτ.
.
.
Sinais e Sistemas – p.29/50
Sinais e Sistemas – p.30/50
Exponencial Contínua
Exponencial Real Discreta
.
x(t) = Ce at
em que C e a podem ser números complexos:
C = Ae jφ , A, φ ∈
a = −α + jω 0 , α, ω 0 ∈
x(t) = Ae −αt e j(ω 0t+φ)
decompondo em parte real e imaginária:
R{x(t)} = Ae −αt cos(ω 0 t + φ)
I{x(t)} = Ae −αt sin(ω 0 t + φ)
.
Sendo α e A números reais:
x(n) = Aα n
|α| > 1 a sequência |x(n)| é crescente;
|α| < 1 a sequência |x(n)| é decrescente;
α > 0 as amostras da sequência x(n) têm todas o mesmo
sinal de A;
α < 0 as amostras da sequência x(n) são alternadamente
positivas e negativas.
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Sinais e Sistemas – p.32/50

Exponencial Complexa Discreta
Periodicidade Temporal
Se α = e jω0 e A = |A|e jφ :
x(n) = |A|e j(ω0n+φ)
= |A|cos(ω 0 n + φ) + j|A|sen(ω 0 n + φ)
Por analogia com a correpondente função contínua, a ω 0
chama-se frequência da sinusoide complexa e φ é a sua
fase.
No caso discreto, a sequência exponencial complexa nem
sempre é periódica.
Só é periódica se:
|A|e j(ω 0n+φ)
x(n) = x(n + N)
= |A|e j(ω 0(n+N)+φ)
= |A|e j(ω 0n+φ) e jω 0N
ω 0 N = 2πk ⇔ N = 2πk/ω 0
.
.
Mas N tem de ser inteiro!
Sinais e Sistemas – p.33/50
Sinais e Sistemas – p.34/50
Periodicidade em Frequência
Sistemas
.
No caso discreto, as exponenciais complexas com
frequência (ω 0 + 2πr) são indistinguíveis entre si:
|A|e j[(ω 0+2πr)n+φ]
= |A|e j(ω 0n+φ) e j2πrn
= |A|e j(ω 0n+φ)
.
Os sistemas são funções que transformam sinais.
Algumas operações relizadas por sistemas:
armazenamento de sinais;
codificação e descodificação;
encriptação e desencriptação;
realçar parte da informação do sinal;
detecção de informação;
controle de processos físicos;
conversão de formatos;
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Sinais e Sistemas – p.36/50

Espaço de Funções
Sistemas como Funções
.
Sendo x um sinal cujo domínio é D e o contradomínio C:
x : D → C
Se o sistema S aceitar à sua entrada sinais do tipo x
podemos dizer que o seu domínio é um espaço de
funções ou espaço de sinais X a que x pertence.
Representaremos o espaço de funções envolvendo em
parenteses rectos o domínio e contradomínio dos sinais
que ele representa:
X = [D → C]
.
Um sistema faz o mapeamento de um espaço de sinais
para outro espaço de sinais.
Por exemplo, um microfone é um sistema que converte
sinais acústicos em sinais eléctricos:
S : [Tempo → Pressão] → [Tempo → Tensão]
Pressão
Tempo
S
Tensão
Tempo
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Sistemas Contínuos e Discretos
Associação em cascata
Um sistema de tempo contínuo é um sistema que tem
como domínio e contra-domínio sinais em tempo
contínuo:
C : [ → ] → [ → ]
Entrada
Sistema 1 Sistema 2
Saída
Um sistema de tempo discreto é um sistema que tem
como domínio e contra-domínio sinais em tempo
discreto:
D : [ → ] → [ → ]
.
.
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Associação em paralelo
Retroacção
Sistema 1
Entrada
Sistema 1
Saída
Entrada
Saída
Sistema 2
Sistema 2
.
.
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Sinais e Sistemas – p.42/50
Sistemas Com e Sem Memória
Sistema Inverso
Um sistema diz-se sem memória se a sua saída num dado
instante só depender da entrada nesse instante.
y(t) = x 2 (t) – sem memória
y(n) = x(n) + x(n − 1) – com memória
y(n) = x(n) − y(n − 1) – com memória
y(t) = ∫ t
x(τ)dτ – com memória
−∞
Sinais
Um sistema é invertível se entradas distintas
produzirem saídas distintas.
Se um sistema é invertível pode-se encontrar um
sistema inverso que ligado em cascata com o
primeiro produza na sua saída a entrada original
x(n)
Sistema
w(n)
Inverso
x(n)
.
.
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Sinais e Sistemas – p.44/50

Causalidade
Estabilidade
Um sistema é causal se a saída num instante de tempo só
depender de entradas presentes e passadas.
y(t) = x(t − 1/2) – causal
y(n) = x(n + 1) + x(n − 1) – não causal
Um sistema é estável se todos os sinais de entrada
limitados produzirem sinais de saída limitados:
|x(n)| ≤ B x < ∞ ∀ n −−−−−−−→
estabilidade
|y(n)| ≤ B y < ∞ ∀ n
Todos os sistemas sem memória são causais.
.
.
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Sistema Acumulador
Invariância Temporal
.
n∑
y(n) = x(k)
k=−∞
Se a entrada for o escalão unitário (x(n) = u(n) a saída
será:
n∑
y(n) = x(k) = (n + 1)u(n)
k=−∞
O sistema acumulador é instável: para uma entrada limitada
produz uma saída que cresce indefinidamente.
.
T{x(n)} = y(n) −−−−−−−−−−−−→
invariante no tempo T{x(n − n 0)} = y(n − n 0 )
Exemplos:
1. y(t) = x(t − 2) – invariante
2. y(t) = x(2t) – variante
3. y(n) = sen(x(n)) – invariante
4. y(n) = nx(n) – variante
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Linearidade
Problema
Propriedade da aditividade
{ T{x1 (n)} = y 1 (n)
T{x 2 (n)} = y 2 (n)
−−−−−−−→
aditividade
Propriedade da homogeneidade
T{x(n)} = y(n) −−−−−−−−−→
homogeneidade
T{x 1 (n) + x 2 (n)} = y 1 (n) + y 2 (n)
T{ax(n)} = ay(n)
Quais dos seguintes sistemas são lineares?
1. y(t) = tx(t)
2. y(t) = x 2 (t)
3. y(n) = R{x(n)}
4. y(n) = 2x(n) + 3
.
em que a é uma constante arbitrária.
Um sistema linear tem de verificar as propriedades da
aditividade e da homogeneidade.
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Sinais e Sistemas – p.50/50