Transformada Z

A DTFT e a Transformada Z
Exemplo
.
X(z) =
+∞∑
n=−∞
x(n)z −n
A transformada de Fourier
é a transformada Z calculada
sobre a circunferência
de raio unitário (|z| =
r = 1):
X(e jω ) =
+∞∑
n=−∞
z=re jω
−−−−→ X(re jω ) =
x(n)e − jωn
Plano z
+∞∑
n=−∞
Im
(x(n)r −n )e − jωn
z=e jω
ω
1
Re
.
Calcular a transformada Z do sinal:
∀n ∈ ,
x(n) = a n u(n)
em que a ∈ e u(n) é a função escalão unitário.
Solução:
X(z) =
1
1 − az −1 , |z| > |a|
Sinais e Sistemas – p.5/52
Sinais e Sistemas – p.6/52
Exemplo
Convergência da Transformada Z
.
Calcular a transformada Z do sinal:
∀n ∈ , x(n) = −a n u(−n − 1)
em que a ∈ e u(n) é a função escalão unitário.
Solução:
X(z) =
1
1 − az −1 , |z| < |a|
.
Aplicando a condição da sequência ser absolutamente
somável, usada para a transformada de Fourier:
+∞∑
n=−∞
|x(n)||z| −n < ∞
A convergência da transformada
depende apenas de |z|: a ROC tem
a forma de um anel.
Em certos casos o limite interno do
anel poderá ser a origem e o limite
externo poderá ser infinito.
Plano z
Im
Re
Sinais e Sistemas – p.7/52
Sinais e Sistemas – p.8/52