Transformada Z

Teorema do Valor Inicial
Exemplo
Se x(n) for uma sequência causal (x(n) = 0 para n < 0):
x(0) = lim
z→∞
X(z)
Para uma sequência causal, se X(z) for racional e se x(0)
for um valor finito, então a ordem do numerador não pode
ser superior à do denominador.
Verifique se
1 − 3 2
∀z ∈ , X(z) =
z−1
, |z| > 1/2
(1 − 1 3 z−1 )(1 − 1 2 z−1 )
Pode ser a transformada Z do sinal:
x(n) = 7(1/3) n u(n) − 6(1/2) n u(n)
.
.
Solução: Aplicando o teorema do valor inicial:
x(0) = lim
z→∞
X(z) = 1
Sinais e Sistemas – p.33/52
Sinais e Sistemas – p.34/52
Transformadas Z Comuns
Transformadas Z Comuns
.
δ(n)
u(n)
−u(−n − 1)
δ(n − m)
a n u(n)
−a n u(−n − 1)
Z
−→
Z
−→
Z
−→
Z
1 , ∀ z
1
, |z| > 1
1 − z−1 1
, |z| < 1
1 − z−1 −→ z −m ∀ z , excepto 0 (m > 0) ou ∞ (m < 0)
Z 1
−→ , |z| > |a|
1 − az−1 Z 1
−→
1 − az , |z| < |a| −1 Sinais e Sistemas – p.35/52
.
na n u(n)
−na n u(−n)
(n + 1)a n u(n)
−(n + 1)a n u(−n − 2)
Z
−→
Z
−→
Z
−→
Z
−→
az −1
, |z| > |a|
(1 − az −1 )
2
az −1
, |z| < |a|
(1 − az −1 )
2
1
, |z| > |a|
(1 − az −1 )
2
1
, |z| < |a|
(1 − az −1 )
2
Sinais e Sistemas – p.36/52