Transformada Z

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Propriedades da ROC Propriedades da ROC . Propriedade 4: Se x(n) for um sinal de duração finita então a região de convergência é todo o plano z excepto possivelmente z = 0 ou z = ∞. Propriedade 5: Se x(n) for um sinal lateral direito a região de convergência estende-se para fora do pólo mais afastado da origem (incluindo possivelmente z = ∞). Propriedade 6: Se x(n) for um sinal lateral esquerdo a região de convergência estende-se para o interior do pólo mais próximo da origem (incluindo possivelmente z = 0). . Propriedade 7: Se x(n) for um sinal bilateral a região de convergência será um anel no plano Z, limitado no interior e exterior por um pólo e não contendo pólos no seu interior. Propriedade 8: A região de convergência tem de ser uma região ligada. Sinais e Sistemas – p.13/52 Sinais e Sistemas – p.14/52 Exemplo Exemplo Calcular a transformada Z do sinal indicando a região de convergência: ∀n ∈ , x(n) = a n [u(n) − u(n − N)] em que a ∈ , a > 0 e u(n) é a função escalão unitário. Solução: X(z) = 1 − (az−1 ) N 1 − az −1 , |z| > 0 Calcular a transformada Z do sinal indicando a região de convergência: ∀n ∈ , x(n) = b |n| em que b ∈ , b > 0 e u(n) é a função escalão unitário. Solução: X(z) = 1 1 − bz −1 − 1 1 − b −1 z −1 , b < |z| < 1/b . . Sinais e Sistemas – p.15/52 Sinais e Sistemas – p.16/52
Exemplo <strong>Transformada</strong> Z Inversa Determinar o número de sinais que podem ser associadas à transformada Z: 1 ∀z ∈ , X(z) = (1 − 1 3 z−1 )(1 − 2z −1 ) Solução: Podemos associar um sinal bi-lateral, um lateral esquerdo e um lateral direito. No caso geral a inversão da transformada Z exige o recurso a um integral de circulação. No entanto, se a transformada for uma função racional, pode ser expandida na forma: X(z) = m∑ i=1 A 1 1 − a i z −1 . . Em função da região de convergência, o sinal x(n) será uma soma de exponenciais na forma A i a n i u(n) ou −A i a n i u(−n − 1). Sinais Sinais e Sistemas – p.17/52 e Sistemas – p.18/52 Método de Inspecção Exemplo Exemplo: X(z) = Usa-se o par de transformadas: 1 1 − 1 2 z−1 , |z| > 1 2 a n u(n) Z −→ 1 1 − az −1 , , |z| > |a| Sinais e Sistemas – p.19/52 Calcular a transformada Z inversa de: 3 − 5 6 ∀z ∈ , X(z) = z−1 , |z| > 1/3 (1 − 1 4 z−1 )(1 − 1 3 z−1 ) Solução: x(n) = (1/4) n u(n) + 2(1/3) n u(n) . . Sinais e Sistemas – p.20/52
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Page 11 and 12: Exemplo Exemplo Verifique se ∀z
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