Transformada Z

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Expansão em Fracções Simples Expansão em Fracções Simples . X(z) = ∑ M k=0 b k z −k ∑ N k=0 a kz −k = b 0 a 0 ∏ M k=1(1 − c k z −1 ) ∏ N k=1 (1 − d kz −1 ) Se M < N e se os pólos forem todos de primeira ordem: em que: X(z) = N∑ k=1 A k 1 − d k z −1 A k = (1 − d k z −1 )X(z)| z=dk . No caso M ≥ N e existir um pólo de ordem s em z = d i : X(z) = M−N ∑ r=0 B r z −r + N∑ k=1 A k s∑ 1 − d k z + C m −1 (1 − d i z −1 ) m em que B r pode ser obtido por divisão longa do numerador pelo denominador terminando-o quando o grau do resto for menor que o do denominador, { } 1 d s−m C m = (s − m)!(−d i ) s−m dw [(1 − d iw) s X(w −1 )] s−m w=di −1 m=1 Sinais e Sistemas – p.21/52 Sinais e Sistemas – p.22/52 Expansão em Série de Potências Exemplo X(z) = +∞∑ n=−∞ x(n)z −n = . . . + x(−2)z 2 + x(−1)z + x(0) + x(1)z −1 + x(2)z −2 + . . . Os valores da sequência são os coeficientes das potências de z −1 . Calcular a transformada Z inversa de: ∀z ∈ , X(z) = 4z 2 + 2 + 3z −1 , 0 < |z| < ∞ Solução: x(n) = 4δ(n + 2) + 2δ(n) + 3δ(n − 1) . . Sinais e Sistemas – p.23/52 Sinais e Sistemas – p.24/52
Linearidade Deslocamento Temporal ax 1 (n) + bx 2 (n) Z −→ aX 1 (z) + bX 2 (z) Com a região de convergência: R X1 ∩ R X2 x(n − n 0 ) Z −→ z −n0 X(z) Com a região de convergência: R X excepto a possível adição ou remoção de z = 0 ou z = ∞ . . Sinais e Sistemas – p.25/52 Sinais e Sistemas – p.26/52 Multiplicação por uma Exponencial Inversão Temporal z n 0 x(n) Z −→ X(z/z 0 ) Com a região de convergência: x(−n) Z −→ X(1/z) Com a região de convergência: |z 0 |R X Sinais e Sistemas – p.27/52 1 R X . . Sinais e Sistemas – p.28/52
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Page 11 and 12: Exemplo Exemplo Verifique se ∀z
Page 13: Sistemas IIR - Forma Directa II Exe

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