Capitulo 2

Capitulo 2 

Circuitos CA 

Capítulo 2 

2.1- FONTES SENOIDAIS 

Uma fonte de tensão senoidal ou alternada, produz um tensão que varia no tempo. As 

tensões alternadas em particular, são expressas por funções seno ou cosseno, para nossa 

análise, escolheremos a função seno. Assim podemos escrever uma tensão senoidal na forma: 

vt=V máx 

sen t 

Graficamente temos a seguinte representação: 

Tensão senoidal 

Circuitos de 

Corrente Alternada 

Circuitos de 

V máx 

V máx 

- V máx T 

Observe que as funções senoidais, são periódicas, ou seja, realizam ciclos iguais em 

intervalos de tempos iguais. Ao tempo de duração de um ciclo em uma função periódica, em 

particular a função seno, chamamos de período (T). O inverso do período é o número de ciclos 

realizados por segundo, ou frequência (f) da função senoidal, sendo assim: 

f= 1 T 

A unidade de frequência no SI é o Hertz (Hz) e o tempo é dado em segundos (s). 

É muito comum trabalharmos também com a frequência angular (ω) dada em rad/s, cuja 

relações com frequencia e período seguem abaixo. 

=2 f e = 2 T 

Observando as expressões acima, podemos concluir que a função senoidal realizará um 

ciclo, toda vez que ω t for um múltiplo inteiro de 2π rad. 

Um outro parâmetro a ser observado, é a amplitude da função que no caso varia de um 

V máx a um V máx , onde serão chamados de valores de pico. Se medimos tensões elétricas, serão 

as tensões de pico (V p ), se medimos correntes elétricas, serão as correntes de pico. Podemos 

ainda representar a sua amplitude pelos os valores de pico a pico (V pp ), que é a diferença entre 

o máximo e o mínimo alcançado pela função. 

Em alguns casos, podemos ter a função começando fora da origem, ou seja, defasada 

angularmente da origem, esta defasagem é observada no argumento da função, é um número 

fixo representado em nossa função pela letra grega φ . 

Del – UFES 2-1 Professor Vinícius Secchin


Circuitos CA 

Quando trabalhamos com tensões e correntes senoidais, devemos atentar ao seu valor 

eficaz, que é o valor de tensão ou corrente alternada que produz a mesma efeciência que uma 

tensão ou corrente contínua. È facil de se perceber que o valor de pico de uma tensão 

alternada deve ser maior que o seu valor eficaz. 

O valor eficaz de uma função senoidal, também conhecido com valor rms, é definido 

como a raiz quadrada do valor médio da função ao quadrado. Sendo assim, se 

v(t) = V máx sen (ω t + φ), o valor rms ou eficaz será: 

V rms= 

1 ∫ 2 

V 

T max 

sen 2 tdt 

Com algumas manipulações matemáticas podemos chegar ao seguinte resultado: 

V rms 

= V máx 

2 

O valor rms de uma função senoidal, não depende da frequencia e nem do ângulo de 

fase ou defasamento, e sim apenas de sua amplitude. O termo rms vem do original em inglês 

root, mean e squares. 

2.2- FASORES 

O fasor é um número complexo utilizado para simplificar as operações matemáticas com 

funções senoidais. Eles basicamente representam o módulo e a fase de uma função senoidal e 

são baseados na identidade de Euler. A esta representação, chamamos de trasnformada 

fasorial. Então a transformada fasorial de uma função senoidal será: 

V máx sent V máx e ±j 

A notação acima é conhecida como notação polar, pois temos as informções de módulo 

(V máx ) e de fase (φ), ela pode ser escrita de uma outra forma, no caso a mais comum, como 

sendo: 

V máx e ±j =V máx /± 

Uma outra notação também pode ser utilizada, a notação retangular. 

Sabemos que e j =cos±jsen , então: 

V máx e ±j =V máx cos±j V máx sen 

2.2.1- Operações com fasores 

A analise fasorial é interessante, pois suas operações são bem simples comparadas as 

operações trigonométricas que faríamos com as funções senoidais expressas em função do 

tempo. Podemos realizar operações com os fasores na forma polar ou retangular. 

a) forma polar 

Na forma polar exemplificaremos somente o produto e a divisão, pois a soma e 

subtração na forma polar não são realizadas, pois estas são bem mais simples na forma 

retangular. 



Circuitos CA 

Sejam dois fasores f 1 

=A / e f 2 

=B / , então: 

- produto f 1 

. f 2 

=A.B / 

- divisão f 1 

f 2 

= A B / − 

b) forma retangular 

Nesta representação, as operações de soma e subtração ficam muito simples, e até 

mesmo a operação de multiplicação não tem maiores dificuldades,porém a divisão torna-se 

bem trabalhosa, então exemplificaremos a soma e subtração para este caso. 

Sejam dois fasores f 1 = x 1 + j y 1 e f 2 = x 2 + j y 2 , então: 

- soma — f 1 + f 2 = (x 1 + x 2 ) + j (y 1 + y 2 ) 

- subtração — f 1 f 2 = (x 1 x 2 ) + j (y 1 y 2 ) 

2.3- CIRCUITOS CA 

Os circuitos de corrente alternada aqui analisados serão apenas circuitos passivos, 

formados por resistores, e ou indutores, e ou capacitores. Primeiramente analisaremos os 

circuitos formados por apenas um deles, depois estudaremos os casos em que podemos ter 

vários tipos de elementos em um mesmo circuito. 

2.3.1- Circuitos puramente resistivos 

Os circuitos puramente resistivos, são constituidos por dispositivos que não possuem 

indutância ou capacitância, tais como: lâmpadas incandescentes, ferro de passar, forno 

elétrico, chuveiro elétrico, etc. Nos circuito puramente resistivos CA, todas as leis e regras do 

circuito CC são aplicáveis, desde que trabalhemos com os valores eficazes de tensão e 

corrente. 

Quando uma tensão alternada é aplicada a um elemento resistivo, um resistor, a tensão 

cresce até um máximo e cai a zero, depois cresce até um maximo com a polaridade invertida e 

depois retorna a zero, completando um ciclo. A corrente elétrica no resistor segue exatamente 

a tensão elétrica, quando a tensão aumenta, a corrente aumenta, quando a tensão descem, a 

corrente desce. Quando isto acontece, dizemos que a tensão e a corrente estão em fase. 

V 

i 

90 o 180 o 270 o 360 o 

Tensão e corrente em um resistor 



Circuitos CA 

Aplicando então a Lei de Ohm, podemos calcular a resistência do resistor utilizando a 

técnica dos fasores, tendo então: 

R= V i 

Como V=vt=V máx 

sent e i=it=i máx 

sent teremos, 

R= V máx sent 

i máx sen t 

R= V máx 

i máx 

ou R= V rms 

i rms 

Observe que o elemento resistivo, não possui ângulo em seu valor, consequentemente, 

não possui parte imaginária em sua impedância, sendo assim um elemento passivo. 

2.3.2- Circuitos puramente indutivos 

Os circuitos indutivos, são elementos que possuem somente indutância, em sua grande 

maioria os motores elétricos, porém no caso real, não existem circuitos puramente indutivos, 

pois, para se construir um motor ao enrolarmos suas bobinas (indutores) são constituídos de 

fios que possuem resistência elétrica, porém aqui desconsideraremos este efeito, caso 

contrário será informado. 

Quando uma tensão alternada é aplicada a um elemento indutivo, um indutor, a tensão 

cresce até um máximo e cai a zero, depois cresce até um máximo com a polaridade invertida e 

depois retorna a zero, completando um ciclo. A corrente elétrica no indutor não segue 

exatamente a tensão elétrica, pois tensão e corrente não são diretamente proporcionais em um 

indutor como no resistor. No caso do indutor a relação entre tensão, corrente e indutância é 

dada por: 

V=L di 

dt 

sendo assim, se it=i máx 

sent → vt =i máx 

L cost 

Sabemos que cost=sen t90 então: 

vt =i máx 

L sent90 

Usando a notação fasorial: 

i L = i máx / 0 o e V L = V máx / +90 o 

Quando calculamos em CA a relação tensão-corrente, determinamos o que chamamos 

de impedância do elemento ou do circuito, então no caso do indutor sua impedância será: 

X L 

= V L 

i L 

X L 

= V máx /90 o 

i máx 

/0 o 

X L 

= Li máx /90 o 

i máx 

/ 0 o 

X L =L /90 o 



Circuitos CA 

Ao termo L chamamos de impedância indutiva. Observe que nos circuitos indutivos 

a corrente fica atrasada de 90 o em relação a tensão. O termo /90 o é chamado de ângulo da 

impedância, é nos diz o quanto a tensão está defasada da corrente no circuito. Observe a figura 

a seguir. 

V 

i 

90 o 180 o 270 o 360 o 

Tensão e corrente em um indutor 

2.3.3- Circuitos puramente capacitivos 

Os circuitos capacitivos, são circuitos que apresentam apenas capacitância, são poucos 

comuns. Veremos mais adiante que estes circuitos são fudamentalmente importantes para 

correção de fator de potência, que será definido mais adiante. 

Num circuito puramente capacitivo, quando uma tensão alternada é aplicada, assim 

como no indutor a relação tensão-corrente não é diretamente proporcional, ela obedece a 

seguinte equação: 

i=C dV 

dt 

sendo assim, se vt =V máx 

sen t → it=C i máx 

cost 

Sabemos que cost=sen t90 então: 

it=V máx 

C sen t90 

Usando a notação fasorial: 

V C =V máx /0 o e i C =i máx /90 o 

Quando calculamos em CA a relação tensão-corrente, determinamos o que chamamos 

de impedância do elemento ou do circuito, então no caso do capacitor sua impedância será: 

X C 

= V C 

i C 

X C 

= V máx /0 o 

i máx 

/90 o 

V máx / 0 o 

X C 

= 

V máx 

C /90 o 

X C 

= 1 /− 90o 

C 



Circuitos CA 

1 

Ao termo chamamos de impedância capacitiva, observe que nos circuitos 

C 

indutivos a corrente fica atrasada de 90 o em relação a tensão. O termo /− 90 o é chamado de 

ângulo da impedância é nos diz o quanto a tensão está defasada da corrente no circuito. 

Observe a figura a seguir. 

V 

i 

90 o 180 o 270 o 360 o 

Tensão e corrente em um capacitor 

Tanto como no capacitor e no indutor, por defasarem a corrente da tensão elétrica, 

dizemos que estes possuem um reatância capacitiva e indutiva, respectivamente. 

2.3.4- Circuitos RL série 

Nos circuitos RL série, temos um resistor e um indutor ligados em série. Como vimos o 

resistor não causa defasamento entre a tensão e a corrente nele, porém o indutor causa um 

atraso de 90 o na corrente em relação a tensão. Para sabermos o defasamento da corrente em 

relação a tensão num circuito RL série, teremos que calcular a impedância do circuito, 

simbolizada pela letra Z. 

Quando trabalhamos com impedâncias em circuitos CA, todas as relações para cálculo 

de resistência equivalente em CC são válidas aqui, porém, lembre-se que as operações não são 

mais algébricas e sim fasoriais, pois as reatâncias indutivas e capacitivas impõe um 

defasamento ao circuito. 

Para determinarmos a corrente no circuito, precisamos primeiramente calcular a 

impedância do mesmo. Como o circuito é série, a impedância será a soma da resistência (R) 

com a reatância indutiva (X L ) do indutor. 

Z = R + X L 

Lembre-se que X L =L /90 o ou na forma retangular jL , então podemos escrever 

Z como sendo: 

Z=RjL 

A representação fasorial gráfica da impedância, será a soma dos vetores R e X L com 

módulos R e L e ângulos zero e + 90 o respectivamente. Observe figura a seguir: 



Circuitos CA 

Parte imajinária 

Z 

ω L 

φ 

R 

Parte real 

O módulo de Z será dado por: 

Z=R 2 X L 

2 

E o ângulo ou fase como sendo: 

=artg X L 

R 

Então na forma polar seria: 

Z=∣Z∣/ 

Desta forma então podemos calcular a corrente no circuito, pois da Lei de Ohm: 

i= V Z 

i= V 

Z / 

i= V Z /− 

Observe que um circuito RL série a corrente ainda permanece atrasada, porém não de 

90 o , pois a parcela resistiva tende anular o defasamento entre a tensão e a corrente, então 

090 o . 

2.3.5- Circuitos RC série 

No circuito RC série, o resistor e o capacitor são ligados em série. De forma análoga ao 

circuito RL série, aqui também precisaremos calcular a impedância do circuito, para 

determinarmos a defasagem entre a tensão e corrente. 



Circuitos CA 

Como o circuito é do tipo série, a impedância do circuito será: 

Z=RX C , em termos fasoriais, temos: 

Z=R− jX C 

A representação fasorial gráfica da impedância, será a soma dos vetores R e X C com 

1 

módulos R e 

C e ângulos zero e 90o respectivamente. Observe figura a seguir: 


1 

ω C 

φ 

R 

Parte real 

Z 

O módulo de Z será dado por: 

Z=R 2 X C 

2 

E o ângulo ou fase como sendo: 

=artg X C 

R 

Então na forma polar seria: 

Z=∣Z∣/− 

Desta forma então podemos calcular a corrente no circuito, pois da Lei de Ohm: 

i= V Z 

i= V 

Z /− 

i= V Z / 

Observe que um circuito RC série a corrente ainda permanece adiantada, porém não de 

90 o , pois a parcela resistiva tende anular o defasamento entre a tensão e a corrente, então 

090 o . 

2.3.6- Circuitos RLC série 

Neste circuito temos os três elementos, resistor, indutor e capacitor em série. 



Circuitos CA 

Desta forma a impedância será dada por: 

Z=RjX L 

− j X C 

A representação fasorial gráfica da impedância neste caso também será a soma dos 

vetores R, X L e X C com módulos R, L e 

1 

C e ângulos zero, + 90o e 90 o respectivamente. 

Observe figura a seguir: 

Parte 

imajinária 

ω L 

R 

Parte real 

1 

ω C 

Observe que se X L > X C teremos um circuito predominantemente indutivo, e se X C > X L o 

circuito será predominantemente capacitivo. 


ω L 

(X L 

X C 

) 

1 

ω C 

φ 

R 

Z 

circuito predominantemente 

indutivo 

Parte real 


ω L 

(X L 

X C 

) 

R 

φ 

Z 

1 

ω C 

circuito predominantemente 

capacitivo 

Parte real 



Circuitos CA 

Para se determinar a tensão elétrica nos terminais de cada elemento, basta aplicar a Lei 

de Ohm em cada um deles (utilizando a técnica dos fasores), pois como o circuito é do tipo 

série, a corrente é a mesma para todos os elementos. 

Supondo que nossa corrente seja do tipo i=i/ 0 o as tensões em cada elemento será: 

V R =R⋅i/ 0 o onde R⋅i=∣V R 

∣ 

V L =X L ⋅i /0 o 

V L =L / 90 o ⋅i/ 0 o 

V L =Li / 90 o onde Li=∣V L 

∣ 

V C =X C ⋅i / 0 o 

V C 

= 1 

C /− 90o ⋅i /0 o 

V C 

= 

i /− 90o onde 

C 

i 

C =∣V C ∣ 

Fasorialmente teremos: 

V L 

V fonte 

(V L 

V C 

) 

φ 

V R 

V C 

Lembre-se que é o ângulo da impedância. 

2.3.7- Circuitos RL paralelo 

Nos circuitos RL paralelo temos um resistor e um indutor em paralelo. Estes circuitos se 

assemelham aos circuitos residenciais, pois nestes a tensão é a mesma para todos os 

elementos considerando um circuito monofásico. 

Para calcularmos a impedância, basta fazer o paralelo de R com X L , usando o produto 



Circuitos CA 

pela soma. 

Z=R // X L 

Resultando em: 

Z=∣Z∣/ 

Como nosso circuito possui uma característica indutiva o valor de compreenderá 

entre zero e 90 o , resultando em uma corrente atrasada em relação a tensão. Supondo 

V fonte =V /0 o , as correntes i R e i L , serão: 

i R = V / 0o 

R 

i R 

= V R / 0o , onde 

V 

R =∣i R ∣ 

i L = 

V / 0o 

L /90 o 

i L 

= V /− 90o onde 

L 

v 

L =∣i L ∣ 

Fazendo o diagrama fasorial: 

φ 

i R 

i fonte 

i L 

2.3.8- Circuitos RC paralelo 

No circuito RC paralelo, temos um resistor e um capacitor em paralelo. A ligação de um 

capacitor em paralelo com circuito é muito interessante, pois nos ajuda a reduzir o fator de 

potência de um circuito, que será abordado posteriormente. 

Assim como fizemos no circuito RL paralelo, para calcular a impedância, basta fazermos 



Circuitos CA 

o paralelo entre R e X C . 

Z=R // X C , resultando em: 

Z=∣Z∣/− 

Como este circuito possui uma característica capacitiva, é esperado que o ângulo da 

impedância seja negativo, sendo que seu módulo deverá estar entre zero e 90 o , pois a 

resistência tende aproximar a tensão da corrente. Supondo V fonte =V /0 o , as corrente i R e i C 

serão: 

i R = V / 0o 

R 

i R 

= V R / 0o , onde 

V 

R =∣i R ∣ 

i C = V /0o 

1 

/− 90o 

C 

i L =V C/90 o onde V C=∣i C 

∣ 


i C 

i fonte 

φ 

i R 

2.3.9- Circuitos RLC paralelo 

Nos circuitos RLC paralelo, temos os três elementos ligados em paralelo. 

Para o cálculo da impedância, determinamos o paralelo dos elementos, resultando 

novamente em algo do tipo: 



Circuitos CA 

Z=∣Z∣/ 

Só que neste caso, temos duas situações: 

1 o ) Se 090 o o circuito é predominantemente indutivo, então a corrente estará 

atrasada em relação a tensão. 

2 o ) Se 0− 90 o o circuito será predominantemente capacitivo, então a corrente 

estará adiantada em relação a tensão. 

Supondo V fonte =V /0 o , termos as corrente i R , i L e i C iguais a: 

i R = V / 0o 

R 

i R 

= V R / 0o , onde 

V 

R =∣i R ∣ 

i L = 

V / 0o 

L /90 o 

i L 

= V /− 90o onde 

L 

v 

L =∣i L ∣ 

i C = V /0o 

1 

/− 90o 

C 

i L =V C/90 o onde V C=∣i C 

∣ 


i C 

i fonte 

(i C 

i L 

) φ 

φ 

(i L 

i C 

) 

i R 

i L 

i L 

i C 

i R 

i fonte 

Circuito predominantemente capacitivo 

Circuito predominantemente indutivo 

2.4- POTÊNCIA CA 

Vimos anteriormente que em CC, para o cálculo da potência, bastava-nos apenas 

determinar o produto entre a tensão e a corrente. Em CA este produto nos dará a potência 

instantânea de um elemento ou circuito, pois agora tanto a tensão como a corrente são 

funções que variam com o tempo. Vejamos esse cálculo para cada um de nossos elementos de 

circuitos. 



Circuitos CA 

2.4.1- Potência em um resistor 

A potência instantânea em um resistor será dada pelo produto da tensão em seus 

terminais pela corrente que passa pelo mesmo. Sabemos que o resistor não causa defasamento 

entre a tensão e a corrente em um circuito resistivo, então se nos terminais de um resistor 

temos um tensão do tipo vt=V máx 

sent a corrente estará em fase com a tensão, por 

exemplo it=I máx 

sent. Graficamente teremos: 

v(t) 

i(t) 

180 o 360 o 540 o 720 o 

Tensão e corrente no resistor 

Fazendo o produto instantâneo da tensão pela corrente, obteremos o seguinte gráfico 

para a potência. 

P pico 

p(t) 

P rms 

180 o 360 o 540 o 720 o 

Potência instantânea no resistor 

Observe que a potência instantânea no resistor é sempre positiva, isto indica que toda 

energia recebida por ele é absorvida e dissipada em forma de calor, nos dando uma potência 

ativa. Porém a potência que nos interessa é a potência eficaz ou rms, calculada com sendo: 

P rms = P pico 

2 , pois 

P rms 

=V rms 

.I rms ; V rms = V pico 

2 

e 

I rms = I pico 

2 , 

então 

P rms 

= V pico 

2 . I pico 

2 = V .I pico pico 

2 

A potência ativa é medida em W – Watts. 



Circuitos CA 

2.4.2- Potência em um indutor 

Da mesma forma feita para o resistor faremos também para o indutor, porém a tensão e 

corrente em um indutor não estão mais em fase como no resistor, e sim defasadas de 90 o . 

Supondo que a corrente seja it=I máx 

sent a tensão em seus terminais será 

vt=V máx sen t90 o . Graficamente: 

v(t) 

i(t) 

180 o 360 o 540 o 720 o 

Tensão e corrente no indutor 

Fazendo então o produto tensão corrente, obtemos o seguinte gráfico: 

p(t) 

180 o 360 o 540 o 720 o 

Potência instantânea no indutor 

Observe que agora no indutor temos uma parcela negativa de potência, o que indica 

que o indutor armazena a energia que absorve da fonte e depois a devolve esta energia. Desta 

forma não temos transformação de energia em nosso circuito, ou seja, não temos potência 

ativa. Dizemos então que o indutor consome uma potência reativa, dada por: 

Q L 

=V Lrms 

. I Lrms 

A potência reativa, para não se confundir com a potência ativa é medida em VAr – Voltampere 

reativos. 



Circuitos CA 

2.4.2- Potência em um capacitor 

Sabemos que a tensão e corrente em um capacitor também estão defasadas de 90 o , 

porém neste caso a corrente é que se adianta. Sendo então a tensão nos terminais do capacitor 

vt=V máx sen t90 o a corrente no capacitor será it=I máx sen t180 o . 

Graficamente: 

v(t) 

i(t) 

180 o 360 o 540 o 720 o 

Tensão e corrente no capacitor 

A potência instantânea em seus terminais será então: 

p(t) 

180 o 360 o 540 o 720 o 

Potência instantânea no capacitor 

Observe que no capacitor também temos uma parte da potência negativa, o que nos 

induz a pensar que ele também absorve energia da fonte e a devolve para o circuito. 

Comparando com a potência instantânea no indutor, a potência no capacitor está defasada de 

180 o , ou seja, em um circuito enquanto o indutor absorve energia o capacitor devolve e viceversa. 

Mesmo assim a potência no capacitor será reativa, pois ele absorve, armazena e depois 

devolve essa energia ao circuito. Calculamos então a potência no capacitor de forma idêntica 

ao indutor. 

Q C 

=V Crms 

.I Crms 

Assim como no indutor no capacitor também a potência reativa será medida em Var – 

Volt-ampere reativos. 



Circuitos CA 

2.4.5- Potência em um circuito misto 

Um circuito misto pode ser constituído de um resistor e capacitor ou um resistor e 

indutor. Em ambos os casos teremos a defasagem entre a corrente e a tensão uma valor que 

compreende entre 0 o e 90 o . Ao calcularmos a potência instantânea neste caso chegaremos ao 

seguinte gráfico: 

p(t) 

180 o 360 o 540 o 720 o 

Potência instantânea em um circuito misto 

Observe que ainda temos uma parcela negativa na forma de onda da potência, que 

corresponde exatamente a potência reativa do circuito, enquanto a diferença entre as parcelas 

positivas e negativas representa a potência ativa de nosso circuito. Nosso objetivo agora é 

relacionar essas potências e calcular a potência total do circuito, ou seja, a potência vista pela 

fonte, a potência aparente (N). 

Como a potência aparente é a potência vista pela fonte, então podemos calculá-la com 

sendo em módulo, o produto do módulo da tensão na fonte, pelo módulo da corrente da fonte, 

ou seja: 

N=V .I 

Onde a potência aparente será medida em VA – Volt-ampere. 

Vale a pena lembrar que a corrente que a fonte fornece ao circuito, possui uma parcela 

ativa dada por I ativa 

=I cos e uma parcela reativa dada por I reativa 

=Isen. Podemos então 

calcular a potência ativa como sendo: 

P=V . Icos 

P=Ncos 

[W - Watts] 

E a potência reativa como sendo: 

Q=V . Isen 

Q=Nsen 

[Var – Volt-ampere reativos] 



Circuitos CA 

Desta forma podemos montar um triângulo das potências de acordo com a figura 

abaixo: 

Q 

N 

 

P 

Triângulo das potências 

Podemos ainda relacionar as potências através do Teorema de Pitágoras. 

N 2 =P 2 Q 2 

A potência CA também pode ser calculada através das técnicas fasoriais, mas devemos 

estar atentos a sua definição: 

N complexa 

=V .I * 

Onde o termo I* representa o conjugado do fasor I, que é nada mais que a parte 

imaginária com o sinal trocado. Exemplificando: 

Seja: 

1- f=ajb, então f* = a – jb 

2- f=F /, então f *=F/− 

Esta definição é necessária para que as fasores das potências sejam coerentes com o 

triângulo das potências. 

2.4.6- Fator de potência 

A maioria da cargas em instalações elétricas industriais consomem energia reativa. 

Essas cargas necessitam de um campo eletromagnético para seu funcionamento, não 

realizando trabalho, porém uma parte da energia consumida por essas cargas realiza trabalho 

útil, gerando calor, movimento, luz, consumindo potência ativa. 

A potência reativa por não realizar trabalho, circula entre a carga e a fonte, 

sobrecarregando o sistema impedindo que o mesmo fornece mais energia ativa para realização 

de trabalho. 

Por definição o fator de potência é a relação entre a potência ativa e a potência 

aparente de uma instalação, é muito comum o uso do triângulo das potências, onde 

relacionamos as potências aparente, reativa e ativa, medidas em kVA, kVAr e kW, 

respectivamente. 

As concessionárias, limitam o o fator de potência para um valor mínimo de 0,95, e os 

fatores que podem influenciar num baixo fator de potência de uma instalação são: motores e 

transformadores a vazio ou superdimensionados, grande quantidade de motores de baixa 



Circuitos CA 

potência, máquinas de solda, lâmpadas de descarga, etc. Estes fatores podem trazer serias 

conseqüências para a instalação tais como: aumento nas perdas joulicas nos condutores da 

instalação, aumento da queda de tensão na linha, sobrecarga do sistema, subutilização da 

capacidade instalada e penalizações na conta mensal d energia elétrica. 

É comum as concessionárias além de terem um medidor de potência ativa, terem 

também um medidor de potência reativa em ambientes industriais. 

Uma forma simples e econômica de se corrigir o fator de potência de uma instalação é a 

colocação de capacitors em paralelo com as cargas indutivas, mas estes capacitores devem ser 

cuidadosamente projetados para que o fator de potência não se torne capacitivo, fornecendo 

assim energia reativa ao circuito novamente. 

O cálculo para o dimensionamento do capacitores, baseia-se triângulo das potências, 

pois a instalação possui inicialmente um fato de potência fp 1 , calculado como sendo: 

fp 1 

= P N 1 

=cos 1 

Onde 1 é o ângulo da impedância ou do triângulo das potências. 

O novo fator de potência deve ser fp 2 tal que esteja dentro das exigências da 

concessionária. Então com o auxilio do triângulo das potências, devemos obter a potência 

reativa (∆Q) do nosso capacitor para que se aumente então o fator de potência do circuito para 

o valor desejado fp 2 

=cos 2 

. Desta forma a potência reativa cairá para um valor Q 2 . Lembrese 

que a potência ativa do circuito será a mesma, pois não estamos alterando a potência ativa 

do sistema. Observe o triângulo abaixo. 

N 1 

∆Q 

Q 1 

N 2 

Q2 

1 

2 

P 

Triângulo das potências 

Onde: 

Q=Q 1 

− Q 2 

X C 

= V2 

Q 

Após calculado X C , calculamos o valor da capacitância do capacitor. 

C= 1 

2 f X C 

[F – Farad] 



Circuitos CA 

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 

2.1- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = 300 cos (120 π t + 30 o ). 

a) qual o período da tensão em milissegundos 

b) qual a frequencia em Hz 

c) qual o valor de v em t = 2,778 ms 

d) qual o valor rms de v 

2.2- Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t) = 40 cos (2513,27 t + 36,87 o ). Determine: 

a) a frequencia em Hz. 

b) o período em milissegundos. 

c) valor rms de v. 

d) o defasamento em graus e radianos. 

2.3- Se y 1 (t) = 20 cos (ω t 30 o ) e y 2 (t) = 40 cos (ω t + 60 o ), expresse y = y 1 + y 2 , como uma 

única função senoidal. 

2.4- Determine as transformadas fasoriais das seguintes funções trigonométricas: 

a) v = 170 sen (377 t 40 o ) V 

b) i = 10 sen (1000 t + 20 o ) A 

c) v = [300 sen (20000 π t + 45 o ) 100 sen (20000 π t + 30 o )] mV 

2.5- Determine as expressões no domínio do tempo correspondentes aos seguintes fasores: 

a) V = 86,3 / 26 o V 

b) I = (10 / 30 o +25 / 60 o ) mA 

c) V = (60 +j 30 +100 / 2 8 o ) V 

2.6- A tensão no resistor da figura a seguir é 500 sen (2000 t + 30 o ), calcule 

a) sua impedância. 

b) a corrente fasorial. 

c) sua corrente no domínio do tempo. 

2.7- A corrente no indutor da figura a seguir é 4 sen (40000 t 38 o ) mA. Calcule: 

a) a reatância indutiva. 

b) a impedância do indutor. 

c) a tensão fasorial. 

d) sua tensão no domínio do tempo. 

2.8- A tensão nos terminais do capacitor da figura a seguir é 40 sen (10 5 t 50 o ) V. Calcule: 

a) a reatância capacitiva. 

b) a impedância do capacitor. 

c) a corrente fasorial. 



Circuitos CA 

d) sua corrente no domínio do tempo. 

2.9- Um resistor de 90 Ω, um indutor de 32 mH e um capacitor de 5 µF são ligados em série aos 

terminais de uma fonte de tensão senoidal, como mostra a figura. A tensão na fonte é 

750 sen (5000 t + 30 o ). Determine: 

a) as impedâncias de cada elemento. 

b) a impedância do circuito. 

c) a corrente do circuito no domínio do tempo. 

d) a tensão em cada elemento no domínio do tempo. 

2.10- No acordo com o circuito abaixo a tensão da fonte é V = 120 sen 1000 t, calcule: 

a) as impedâncias em cada elemento. 

b) a impedância do circuito. 

c) a corrente no domínio do tempo em cada elemento. 

d) a corrente no domínio do tempo na fonte. 

2.11- Dado Z = 50 / 7 0 o Ω: 

a) desenhar o triângulo das impedâncias. 

b) calcular o valor de R 

c) calcular o valor da reatância, dizendo se é indutiva ou capacitiva. 

d) determinar o fator de potência, dizendo se está atrasado ou adiantado. 

2.12- Dado Z = 30 / 40 o Ω: 

a) desenhar o triângulo das impedâncias. 

b) calcular o valor de R 

c) calcular o valor da reatância, dizendo se é indutiva ou capacitiva. 

d) determinar o fator de potência, dizendo se está atrasado ou adiantado. 

2.13- Para o circuito abaixo, calcule: 

a) as potências aparente e reativa. 

b) impedância. 

2.14- A fonte de tensão do circuito abaixo, é ligada a uma carga por uma linha de impedância 

representada no circuito. Calcule: 



Circuitos CA 

a) A tensão V L e corrente i L na carga. 

b) a potência ativa, reativa e aparente na carga. 

c) a potência ativa e reativa na linha. 

d) a potência fornecida pela fonte. 

e) o fp da carga. 

2.15- Um aquecedor de potência 8 kW é ligado em paralelo comum motor de 10 cv's 

(1cv=735W) e fator de potência 0,8, a uma rede de 220 V rms . Calcule: 

a) a corrente na linha (módulo e fase), considere que a fonte tenha fase zero. 

b) a potência fornecida pela fonte. 

c) o fator de potência do circuito. 

2.16- Um circuito de iluminação de 127 V rms /60 Hz, possui 20 lâmpadas fluorescentes de 40 W e 

fp = 0,6. Calcule: 

a) o módulo da corrente no circuito. 

b) a potência aparente consumida. 

c) o valor do capacitor que devemos adicionar ao circuito para corrigir o fp para 0,95. 

2.17- Duas cargas com potências 8 kW e 12 kW de fatores de potência 0,8 capacitivo e 0,6 

indutivo, respectivamente, são ligadas em paralelo a uma linha de 250 V rms . Calcule o valor do 

capacitor que devemos adiciona o circuito para tornar o fator de potência unitário. 

2.18- Para os circuitos a seguir determine o equivalente de Thevenin, desenhando seu 

respectivo circuito. 

a) b) 

2.19- Determine V ab para os circuitos a seguir: 

2.20- Calcule consumo mensal de energia ativa e reativa de uma fábrica que possui em seu 



Circuitos CA 

galpão 10 motores monofásicos de 2 cv's cada e fp 0,7 e 40 lâmpadas fluorescentes de 60 W e 

fp 0,8. Suponha que a fábrica funcione 12 horas por dia. 

2.21- Para o problema anterior, qual deve ser o valor do capacitor que deveremos ligar para 

corrigir o fator de potência para 0,95 Considere a tensão da rede 220V rms . 

Respostas: 

2.1- a) 16,667 ms b) 60 Hz c) 0 V d) 212,13 V 

2.2- a) 400 b) 2,5 c) 28,28 V d) 36,87 e 0,6435 

2.3- 44,72 cos (ω t + 33,43 o ) 

2.4- a) V = 170 / 4 0 o V b) I = 10 / 7 0 o A c) V = 339,90 / 6 1,51 o V 

2.5- a) 86,3 sen (ω t + 26 o ) b) 34,03 sen (ω t + 51,55 o ) c) 149,26 sen (ω t 6,5 o ) 

2.6- a) 250 Ω b) 2 / +30 o A c) 2 sen (2000 t + 30 o ) 

2.7- a) 3000 Ω b) + j3000 Ω c) 12 / 52 o V d) 12 sen (40000 t + 52 o ) 

2.8- a) 50 Ω b) 50 Ω c) 0,8 / 40 o A d) 0,8 sen (10 5 t 50 o ) A 

2.9- a) R = 90 Ω, X L = + j160 Ω, X C = j40 Ω b) 5 / 3 6,87 o Ω 

c) i = 5 sen (5000 t 23,13 o ) 

d) V R = 450 sen (5000 t 23,13 o ), V L = 800 sen (5000 t + 66,87 o ), 

V C = 200 sen (5000 t 113,13 o ) 

2.10- a) R = 120 Ω, X L = + j60 Ω, X C = j40 Ω b) 84,86 / 4 5 o Ω 

c) i R = 1 sen 1000 t, i L = 2 sen (1000 t 90 o ), i C = 3 sen (1000 t + 90 o ) 

d) 1,414 sen (1000 t +45 o ) 

2.11- a) b) 17,1 Ω c) 46,99 Ω capacitivo 

d) 0,34 adiantado 

2.12- a) b) 22,98 Ω c) 19,28 Ω indutivo 

d) 0,76 atrasado 

2.13- a) 10 kVA e 6 kVAr b) 4,61 + j3,46 Ω 

2.14- a) 234,35 / 3 ,18 o V e 5 / 3 6,87 o A b) 975 W, 650 Var e 1171,75 VA 

c) 25 W e 100 Var d) 1250 VA e) 0,832 

2.15- a) 67,88 / 2 1,66 o A b) 14934,6 VA c) 0,93 

2.16- a) 13,33 kVA b) 104,98 A c) 1,32 mF 

2.17- 424,4 µF 

2.18- a) V TH = 72 j24 V e Z TH = 1,8 + j5,4 Ω 

2.19- a) 44,72 / 26,57 o V b) 188,43 / 4 2,88 o V 

2.20- 6156 kWh e 6047 kVArh 

2.21- 8,7 mF

Capitulo 2

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?