séries univariantes de tempo - metodologia de Box & Jenkins

(/Jmt/)pllllllFundação de Economia e Estatística60orn-t m3•Boiono xsériesunivariantesde tempo -metodologia deBox & JenkinslPORTO ALEGRE, RS - N.4-AGOSTO 1982

F529Fischer, SérgioSeries univariantes de tempo — metodologiade Box & Jenkins. Porto Alegre, FEE, 1982.186p. ilust. (Teses, A)1. Estatística. 2. Econometria. I. TituloCDU 311:330.115Tiragem: 600 exemplaresToda a correspondência para esta publicação devera ser endereçadaã:FUNDAÇÃO DE ECONOMIA E ESTATÍSTICARua Gen. Vitorino, 77 - 29 andar90.000 - Porto Alegre-RSAdministração Amaral de Souza

SUMÁRIOLISTA DE FIGURAS 5LISTA DE QUADROS 8APRESENTAÇÃOi ll - INTRODUÇÃO 131.1 — A Problemática 13l .2 — A Importância das Séries Econômicas de Tempo 17l .3 — O Conceito de Série Temporal 191.4-0 Significado da Análise de Séries Temporais 212- SOBRE SÉRIES TEMPORAIS E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 232.1 — Processos Estocásticos e suas Propnedades 232.2 - Caracterização de um Processo Estocástico 242.3 — Processos Estacionários e Não Estacionários 252.4 — Propriedades dos Processos Estacionários 272.5 — Processos Evolutivos Homogêneos 282.6 — A Função de Auto correlação 293- OS MODELOS DE BOX & JENKINS 393.1 - Fundamentos 393.2 - Modelo Média Móvel 463.3 - Modelo Auto-Regressivo 513.4 - Modelo Auto-Regressivo - Média Móvel 57;i'3.5 - Modelo Auto-Regressivo Integrado - Me'dia Móvel 62l 4-0 PROCESSO DE MODELAGEM 69% 4.1 — Modelagem de Séries Não Sazonais: Modelo ARIMA (p, d, q) ... 694.2 — Modelagem de Séries Sazonais: Modelo SARIMA (p, d, q) xx (P, D, Q) 995-0 MÉTODO DE PREVISÃO DE BOX & JENKINS 1015.1 - Introdução 1015.2 - O Processo de Previsão 1045.3 — A Atualização das Previsões 111

5.4 — Previsões por Intervalo 1135.5 — Previsões para Séries Sazonais 1145.6 — PrevisJo com Dados Transformados 1156 - APLICAÇÕES PRÁTICAS DO MÉTODO DE BOX & JENKINS 1176.1 - Nota Introdutória 1176.2 — Previsões para o índice Geral de Preços (Custo de Vida) para aCidade de Porto Alegre 1186.3 — Previsões para o Consumo de Energia Elétrica no Rio Grande doSul 1397- CONSIDERAÇÕES FINAIS 159ANEXO I - Manual dos Comandos Necessários para a Operação das RotinasComputacionais 165ANEXO II - Relatórios de Saída do Computador: Previsões para o índicede Preços ao Consumidor, Usando Diversos Modelos Supostosna Fase de Identificação 175ABSTRACT 181BIBLIOGRAFIA 183

LISTA DE FIGURASCAPÍTULO 2Figura l — Correlograma característico de um processo de ruído branco . . 32Figura 2 — Correlograma característico de uma série não estacionaria .... 34Figura 3 — Correlograma característico de uma série estacionaria 35Figura 4 — Produção suína nos Estados Unidos (em milhões de cabeças pormés)-jan./62-dez./71 36Figura 5 - Correlograma da série temporal da produção suína nos EstadosUnidos, exposta na Figura 4 36Figura 6 — Produção suína nos Estados Unidos — jan./62-dez./71. Funçãode autocorrelação de (Y t - Y t .j2) 37Figura 7 — Produção suína nos Estados Unidos — jan./62-dez./71. Funçãode autocorrelação de V(Y t - Y t .j2) 37CAPITULO 3Figura l — Diagrama de um modelo de filtro linear para séries temporais . . 45Figura2 — Diagrama do processo ARIMA para modelagem de séries temporais45Figura 3 — Regiões de admissão para que um MA(2) seja inversível 50Figura 4 — Gráfico de uma série não estacionaria quanto ao nível 64Figura 5 — Gráfico de uma série não estacionaria quanto ao nível e à inclinação65CAPÍTULO 4Figura l - Gráfico "Amplitude x Média" para alguns valores possíveis de X 71Figura 2 - Correlograma de um processo não estacionário não sazonal.... 72

Figura 3 - Correlograma de um processo não estacionário sazonal 72Figura 4 — Correlograma de um processo não estacionário sazonal 72CAPITULO 6Figura l - Gráfico da série IPC - jan./75-dez./81 119Figura2 — Gráfico "Amplitude x Média" para a série índice de Preços aoConsumidor — jan./75-out./81 120Figura 3 - Gráfico da série Y t = In X^onde Xj é a série observada do IPC . 121Figura 4 — Gráfico da funçã~o de autocorrelaçá"o da série Y^ 122Figura 5 — Gráfico da função de autocorrelação da série vYf- 123Figura 6 — Gráfico da função de autocorrelação da série V 2 Y^ 124Figura 7 — Gráfico da função de autocorrelação da série V 3 Y{ 125Figura 8 — Gráfico da função de autocorrelação parcial da série V 2 Y(- . . . . 127Figura 9 — Gráfico da função de autocorrelação da série de resíduos para omodelo V 2 In X t = (l - 0,79113B)a t 135Figura 10 - Gráfico da PACF da série de resíduos para o modeloV 2 lnX t = (l - 0,79113B)a t 135Figura 11 — Gráfico da série de resíduos para o modeloV 2 lnX t = (l - 0,79113B)a t 136Figura 12 — Relatório de saída do computador: gráfico dos valores previstos,para o ano de 1982, do IPC 137Figura 13 — Gráfico da série consumo de energia elétrica no Rio Grande doSul - jan./70-out./79 140Figura 14 — Gráfico "Amplitude x Média" para a série consumo de energiaelétrica no Rio Grande do Sul — jan./70-out./81 141Figura 15 — Gráfico da série T{ = In Z^, onde Z^ é a série observada do consumode energia elétrica 142Figura 16 - Gráfico da função de autocorrelação da série T t 143Figura 17 — Gráfico da função de autocorrelação da série VT^ 144Figura 18 — Gráfico da função de autocorrelação da série V 2 T( 145Figura 19 — Gráfico da função de autocorrelação da série VV 12 Tt 146Figura 20 — Gráfico da função de autocorrelação parcial da série VT^ 148Figura 21 — Gráfico da ACF da série de resíduos para o modelo(l-0,940558' 2 )V lnZ t = (l-0,57944B)(l-0,63588B 12 )a t 153

Figura 22 — Gráfico da PAC da série de resíduos para o modelo(l _0,940556' 2 )V lnZ t =(l-0,57944B)(l-0,63588B 12 )a t 154Figura 23 — Gráfico da série de resíduos para o modelo(l-0,94055B 12 )VlnZ t =(l-0,579448)(1-0,635888 12 )a t 155Figura 24 - Relatório de saída do computador: gráfico dos valores previstospara nov./81-out./82 (j o consumo de energia elétrica gaúcho . . . 157

LISTA DE QUADROSCAPITULO 4Quadrol — Comportamento das funções de autocorrelaçffo e autocorrelaçãoparcial para o processo ARIMA (p, d, q) de ordens maiscomumente encontradas na prática 75Quadro 2 - Obtenção dos valores de a t em um modelo W t = (l — 0,4B)a t . 90Quadro 3 - Obtenção dos valores de a t em um modelo W t = (l - 0,4F)e t . 92CAPITULO 6Quadrol — índice de Preços ao Consumidor (custo de vida) em Porto Alegre-jan./75-dez./81118Quadro 2 — Valores numéricos da ACF para as séries Y t e VYj 125Quadro 3 — Valores numéricos da ACF para as séries V 2 Y t e V 3 Y{ 126Quadro 4 — Valores numéricos da PACF para a série V 2 Y t 127Quadro5 — Principais informações estatísticas dos modelos supostos paraa série índice de Preços ao Consumidor para a cidade de PortoAlegre 132Quadro 6 — Relatório de saída do computador: previsão para os valoresmensais do IPC - 1982 136Quadro 7 - Previsto para os valores mensais do IPC - 1982 138Quadro 8 — Consumo mensal de energia elétrica no Rio Grande do Sul —jan./70-out./81 139Quadro 9 — Valores numéricos da ACF para as séries T^ e VT^ 147Quadro 10 — Valores numéricos da ACF para as séries V 2 Tj e VV 12 T^ . . . . 147Quadro 11 — Valores numéricos da PACF para as séries T| e V Tf 149Quadro 12 — Principais informações estatísticas dos modelos supostos paraa série consumo de energia elétrica no Rio Grande do Sul —jan./70-out./81 151

Quadro 13 - Relatório de saída do computador: previsão para os valoresmensais do consumo de energia elétrica no Rio Grande doSul -nov./81-out./82 156Quadro 14 - Previsão para os valores mensais do consumo de energia elétricagaúcho — nov./81-out./82 157

APRESENTAÇÃOEste trabalho de dissertação de mestrado consiste em uma análise da metodologiadesenvolvida pelos professores George E. P. Box e Gwilym M. Jenkins para a análisede séries temporais univariantes e sua aplicação a variáveis da realidade econômicagaúcha.A escolha desse tema surgiu de uma conversa com a colega Economista Sara Brumerque, após' experiência profissional em Madrid, onde havia iniciado seu curso de doutoradoem Economia, salientava a importância que a metodologia de Box & Jenkinstivera no estudo da Análise de Séries Temporais.A curiosidade sobre a metodologia e a infrutífera busca de material bibliográfico noRio Grande do Sul, que apresentasse o assunto de forma acessível e capaz de proporcionarcondições de operacionalização, notadamente aos economistas poucohabilitados a um tratamento estatístico mais sofisticado dos dados da realidade econômica,levaram-me a desenvolver esse tema.A idéia central que norteou o estudo foi expor o assunto com uma estrutura que,além de desenvolver a metodologia de Box & Jenkins propriamente dita, incluíssea análise dos pré-requisitos estatísticos, proporcionando, assim, condiçõ"es para queo documento tivesse um detalhamento técnico que suprisse a deficiência bibliográficaencontrada e servisse de manual aos usuários da Análise de Séries Temporais.Para a realização deste trabalho, contei com a colaboração de colegas e professoresa quem sou grato. Devo um especial agradecimento à Fundaçâ"o de Economia eEstatística que, dentro de uma política de incentivo ao desenvolvimento científicoie sua- equipe técnica, proporcionou as condições materiais para minha formaçSoacadêmica a nível de mestrado.

A presente dissertação, orientada pelo Pró f. Carlos AugustoCrusius, foi defendida no Centro de Estudos e Pesquisas Econômicasda Universidade Federal do Rio Grande do Sul (IEPE), para a obtençãodo título de Mestre em Economia, no dia 12 de maio de 1982.A banca examinadora foi composta pelos professores HerbertGuarini Calhau — Presidente da Banca —, Carlos Augusto Crusius eErnani Hickmann, todos do IEPE.

l - INTRODUÇÃO1.1 — A ProblemáticaO desenvolvimento científico do século XX tem mostrado profundas transformaçõesno que tange aos métodos de análise das ciências sociais.Nos séculos anteriores, as pesquisas nessas áreas caracterizavam-se,basicamente, pela acumulação, organização e classificação dos fatos observadosem investigações empíricas. A pobreza conceituai não permitiaa total compreensão dos movimentos das variáveis sociais, fato que resultava,comumente, em uma falta de clareza e precisão em suas análises.A partir do final do século passado, uma verdadeira revolução no modode pesquisa dessas ciências começou a tomar vulto. Iniciou-se uma etapade conscientização de que o objetivo da pesquisa social não é simplesmenteo acúmulo e a organização de informações, mas, principalmente,a sua compreensão.A necessidade de entender os mecanismos envolvidos nas relações do mundoreal induziu o pensamento cientifico a ressaltar o valor das teorias,notadamente aquelas formuladas com o auxilio da Matemática, e abusca de modelos teóricos específicos tornou-se elemento natural daspesquisas na análise social.A necessidade de "modelizaçao 1 do mundo real tem estimulado, de formaintensa, o desenvolvimento de novos métodos, cada vez mais potentes,capazes de descrever com maior grau de adequação as inter-relações entreas variáveis sociais.Na Ciência Econômica, a busca incessante de sistemas esquemáticos simplificados,capazes de simular e quantificar a complexidade das relaçõesexistentes na atividade econômica, tem sido uma das característicasmais marcantes em seu desenvolvimento neste século. A integraçãoocorrida entre essa Ciência e os instrumentos quantitativos proporcionoucondições de confrontação de seu avanço teórico com os dados numéricosdo mundo real, de tal modo que se pode considerar o avanço daTeoria Econômica do ultimo século intimamente vinculado aos aperfeiçoamentosdos seus métodos quantitativos, onde o progresso de um é estimuloe necessidade exigida pelo outro.O marco inicial da utilização de métodos numéricos na análise econômicapode ser situado no século passado 2 , com as investigações teóricasPara fins deste trabalho, o conceito de modelo e' o mesmo utilizado por ZEITOUN (1971): "Um modelo é uma representaçãode uma realidade provaVel ou concreta, equivalente em sua expressão a um conjunto de variáveis e deDeve-se lembrar, entretanto, que já em e'pocas anteriores os métodos numéricos foram utilizados de forma a descrevers movimenlos econômicos, embora sem uma elaboração teórica consistente como a que se verificou no séculopass do a partir dos trabalhos de Cournot c Walras. Os mercantilistas, no século XV,descreviam precariamente, deforn d contábil, seus movimentos comerciais de além-mar. Posteriormente, no período tisiocrata, Qucsnay, atravésdo s u famoso "'lableau économique", proporciona o primeiro trabalho elaborado numericamente para descrevero íu cinn;nncnto elobal de um sistema econômico.

14de Cournot e Walras, entre outros , para assuntos microeconomicos.Cournot, através das suas "Recherches sur lês príncipes mathematiquesde Ia theorie dês richesses", de 1838, proporcionou um trabalho pioneiroque estimulou a elaboração de todo um novo tratamento analítico emEconomia, não apenas em termos de teoria, mas também, e principalmente,em termos de método. Cournot foi o primeiro pensador a empregar ocalculo integral na analise econômica. Foi ele também o precursor dosmétodos gráficos, utilizando diagramas cartesianos para expressar asrelações entre variáveis econômicas .Seu trabalho pioneiro significou o inicio da Economia Matemática, queteve seguidores em todo o mundo, passando a Matemática a ser vista comoalgo indispensável ao pensamento econômico, como um instrumento paraa exposição de idéias e como um meio para expressar hipóteses paraa analise das relações no sistema econômico.Posteriormente, Walras, em Lausanne, com seu "Élements d'economie politiquepurê", de 1874, sistematizou a analise matemática na CiênciaEconômica, passando a ser, conjuntamente com Cournot, o fundador daescola matemática de economistas. A Universidade de Lausanne tornou-seconhecida no campo da Economia Matemática através dos trabalhos de Walrase seu mais próximo sucessor, Vilfredo Pareto. Este, em seu "Coursd'économie politique", sistematizou as leis da produção e da distribuição,atualmente conhecidas como "Leis de Pareto", sendo um dos primeiros(depois de Edgeworth) a trabalhar com cui /as de indiferença paraexplicar a procura e eliminar a critica, segundo a qual a utilidademarginal não pode ser medida quando comparada ao custo marginal.Foram os economistas de Lausanne os grandes representantes do desenvolvimentodo equilíbrio geral, usando o tratamento de equações simultâneas.Desde então, a quantificação passa a ser vista como uma das bases dadescrição da realidade econômica, e a Matemática torna-se instrumentoindispensável para o economista.Nas três primeiras décadas do século XX, ganha realce a pesquisa comvistas ao estabelecimento de modelos matemáticos para representar fenômenosmacroeconômicos. Esses destaques aos me todos quantitativos culminaramcom a fundação da Sociedade de Econometria, no ano de 1933,criada com o imperativo cientifico de estimular, orientar e divulgartrabalhos teóricos e práticos de Economia Matemática para a verificaçãodas idéias econômicas.O desenvolvimento dos métodos matemáticos em Economia proporciona umalargamento de suas potencialidades na "modelização" da atividade econômica.Um grande numero de linhas de estudos com instrumental quantitativoe pesquisado e divulgado. A preocupação com a análise dinâmicadas variáveis macroeconômicas torna-se constante.O florescimento das investigações matemáticas na Economia teve va'rios seguidores: Jevons, Menger, Cassei,tdgeworth, Wicksell e tantos outros, preocupados, notadamente, com a mensuracâo da utilidade na Teoria doConsumidor. Para maiores detalhes sobre o assunto ver, entre outros, MALANOS (1969) e BELL (1961).Sua postulação de que a oferta e a demanda determinam o preço estí totalmente expressa em termos de diagramascartesianos bidimensionais (BELL, 19611.

já na época da l? Guerra Mundial, muitos cientistas estavam preocupadoscom o estudo de fenômenos que mostravam variação no tempo, notadamenteaqueles que pudessem proporcionar a compreensão da natureza, daintensidade e do controle do comportamento cíclico da atividade econômica,na esperança de que talvez fosse possível prever esses fenômenose, em conseqllencia, diminuir os efeitos nefastos que suas crises causavamou, ate mesmo, evitar sua repetição.Nas primeiras décadas deste século, um numero elevado de estudos sobreo acompanhamento dos negócios foi elaborado. A constatação de certasregularidades dos fenômenos econômicos, justaposta a sua inerente dificuldadede mensuraçao, e o crescente interesse das instituições públicase privadas em obterem previsões sobre o comportamento dos negóciosem vários setores da atividade econômica estimularam o estabelecimentoe o desenvolvimento de novos rumos sobre o assunto.Os estudos de acompanhamento das flutuações dos negócios em seus váriossetores econômicos vão proporcionar subsídios para uma época de grandeeuforia em construções dos chamados "barometros de conjuntura" 5 . Atravésdesse instrumental, pela primeira vez, via-se estabelecida uma ligaçãoestreita entre a Estatística e a Economia Política.As idéias que norteavam a constituição desses barometros tinham origemnos trabalhos de Juglar , e se caracterizavam como uma tentativa de estabelecimentode relações entre, os movimentos do mercado de mercadorias(industriais e comerciais), do mercado monetário e do mercado deaplicações financeiras com as oscilações da atividade econômica. A contínuaobservação das variações das series desses três mercados permitiaconstatar que, embora descrevessem as mesmas variações cíclicas,essas ocorriam em momentos distintos de tempo. Assim, o conhecimento deuma dessas series proporcionava os meios para prever a evolução das outrasduas.Na década de vinte, os estudos das estatísticas econômicas e dos negóciosrefletiam um pensamento homogêneo sobre a análise das variáveis notempo. Os barometros construídos na Inglaterra e na Bélgica eram muitoparecidos com os de Harvard e Berlim. As séries temporais eram, em geral,agregados macroeconômicos e incluiam a maioria dos registros estatísticosdisponíveis que pudessem, de alguma forma, clarear o fenômenodos ciclos da economia.A grande depressão do final dos anos vinte trouxe consigo o questionamentode todas as áreas de pensamento da Ciência Econômica. O Comitê dePesquisas Econômicas da Universidade de Harvard não só não previu o"crack" de Wall Street, como também o negou enquanto foi possível.Em 1936, a publicação da "Teoria Geral do Emprego, Juros e Moedas" deLord John M. Keynes revoluci-onou a forma de pensar a Teoria Econômica.Entretanto a época não era propicia ao florescimento de discussões eidéias sobre o pensamento econômico. A 2 a Guerra Mundial não permitia15Filtre os principais "barômctros", destacavamse o Barômetro de Harvard, criado cm 1917 pelo Harvard Committcctbr tconomic Research, e o do Institui tür Konjunlurforschung, fundado em 1925, em Berlim. Ver a respeito, entreoutros, PIATH:R (1967).' Clcmcnt Juglar, em 1857, publica "Lês crises commerciales et leur retour périodiquc", no qual. pela primeira vez, cmostrado o cara'ter cfclico das crises, até então consideradas acidentais.

16que as atividades de pesquisa alcançassem a intensidade que a revoluçãokeynesiana havia proporcionado ã Teoria Econômica, em termos dediscussão acadêmica da validade de sua base teórica e da comprovação,-através de testes empíricos, do valor de seus métodos de análise.Mesmo assim, a resposta insatisfatória dos barometros aos problemaseconômicos da época tinha sedimentado a idéia de que a forma de pensaros ciclos econômicos nos anos vinte também deveria sofrer drásticas modificaçõespara atender aos requisitos da nova síntese econômica.Ligado ao objetivo básico de obtenção de informações sobre os ciclosda economia, o campo da analise das series temporais veio, no decorrerdos primeiros quarenta anos do século, sedimentando-se sobre uma metodologiacuja característica tem sido norteada no sentido de buscar separara variação apresentada pela série de observações no tempo em quatrocomponentes distintos: tendência, sazonalidade, ciclo e aleatoriedade.O procedimento comumente aceito, a época, para o tratamento das seriestemporais, com vistas a proporcionar informações sobre aspectos cíclicosdas atividades econômicas, era o seguinte :- estimar a componente sazonal com a ajuda de uma media movei de comprimentocorrespondente ao período do ciclo da sazonalidade e posterioreliminação dessa componente da serie original;- estimar a tendência da serie sem a componente sazonal, por meio deuma função de regressão, cujos parâmetros poderiam ser obtidos pormínimos quadrados;- analisar, através da visualização grafica da serie residual (posteriorã eliminação das componentes sazonal e tendencial), seu respectivocomportamento em comparação as demais series econômicas.A lógica implícita nesse tipo de analise era que, embora esse procedimentopropiciasse visualizar comportamentos distintos com respeito ãtendência e as flutuações sazonais entre as diversas series econômicas,se essas peculiaridades individuais fossem eliminadas,os padrões de variaçãoremanescentes em qualquer série lançariam alguma luz sobre o objetivomaior que era o ciclo dos negócios.Nos anos quarenta, os analistas econômicos dedicados aos estudos dosciclos, apôs refletirem sobre o comportamento dessas series de tempoe os novos rumos alcançados pela Teoria Econômica, constataram que essetipo de enfoque pouco estava colaborando com a teoria em sua buscade explicação para o funcionamento da economia.Em parte, os analistas estavam constatando seu limitado instrumentalde trabalho: método de pesquisa quantitativa pouco sofisticado, pequenonumero de variáveis e de equações com as quais os modelos macroeconômicoseram formulados, series pequenas, em geral com periodicidadede tempo que não satisfazia as necessidades da análise. Mesmo assim, osdefensores desses modelos macroeconômicos mantinham a convicção de queAtualmente, a bibliografia especializada sobre séries temporais denomina esse procedimento de análise clássica oume'todo de decomposição. Para uma descrição detalhada, ver, entre outros: FOX (1968), HADLEY (1968), HAM-BURG (1970).

suas concepções básicas estavam corretas. Concordavam, entretanto, queseus modelos agregativos não atendiam satisfatoriamente às finalidades(FOX, 1968) .A partir do final da década de cinqllenta, o desenvolvimento da tecnologiade computação eletrônica permitiu aos economistas, interessadosna descrição quantitativa do mundo dos negócios, intenso intercâmbio deidéias, tecnologias e conhecimento de fatores institucionais do funcionamentoda atividade econômica com pesquisadores de outras áreas do conhecimentocientifico. Alem do maior numero de informações numéricasdisponíveis e do maior entendimento da teoria estatística, que estimulamo desenvolvimento de novas técnicas quantitativas, a Economia Matemáticaadquire expressivo avanço, tendo em vista sua maior integraçãocom os demais campos da. ciência.Dentre os muitos exemplos de novos métodos quantitativos criados recentementepara simular a realidade e fazer previsões sobre o futuro,destaca-se a metodologia que os professores George E. P. Box e GwilymM. Jenkins desenvolveram para analisar o comportamento de variáveisatravés de séries de tempo.Essa metodologia foi desenvolvida no decorrer dos anos sessenta e divulgadano ano de 1970, na obra intitulada "Time series analysis: Forecastingand control" (BOX & JENKINS, 1976).O fundamento do trabalho elaborado por esses dois autores está assentadona possibilidade de obtenção de alguns modelos lineares que seapresentam potencialmente capazes de descrever, com relativa precisãoe de forma parcimoniosa, o comportamento do processo estocastico gerador^daserie temporal em analise, proporcionando, por conseguinte, previsõesacuradas de valores futuros.O objeto deste trabalho de dissertação para a obtenção do grau de Mestreem Ciências Econômicas e uma analise da metodologia desenvolvida porBox & Jenkins e sua aplicação a dados da realidade econômica do RioGrande do Sul.A importância desse tipo de estudo reside na divulgação de uma metodologiaque tem-se mostrado extremamente potente para a "modelizaçao" devariáveis dinâmicas. O estudo visa a apresentar a metodologia de formaacessível e capaz de proporcionar condições de operacionalizaçao desseinstrumento estatístico relativamente complexo e, portanto, de difícilacesso aos economistas pouco habilitados a um tratamento estatísticomais sofisticado dos dados da realidade econômica.17l .2 — A Importância das Séries Econômicas de TempoA Econometria é o ramo da Ciência Econômica que, através da analise estatísticada realidade, busca estabelecer proposições econômicas, decaráter quantitativo, que possibilitam não só compreender e analisar ocomportamento das variáveis sob uma determinada base econômica teórica,como também permitem a previsão de seus comportamentos futuros.O método econométrico utiliza-se de procedimentos estatístico-matemãticos,com os quais proporciona ao economista condições de abstrair o

18funcionamento da realidade econômica, buscando sintetiza-la através daformulação de modelos teóricos.Dentre os instrumentos estatísticos usados em Econometria para o estabelecimentodas estimativas das relações funcionais propostas em seusmodelos teóricos, podem-se destacar dois grandes grupos: aqueles queprocuram estimar relações entre variáveis econômicas, seja através demodelos de uma única equação, seja através de modelos mais complexos,como os de múltiplas equações simultâneas; e aqueles que se valem deequações de serie de tempo.Embora ambos os grupos de modelos se caracterizem por suas finalidadesde descrever a realidade, o modelo de serie de tempo e bastante distintoem sua natureza. Ao contrario dos modelos de regressão, não analisaseus movimentos os relacionando com uma ou um conjunto de outrasvariáveis causais que permitam explicar seu comportamento. O modelo deserie temporal caracteriza-se por ser um estudo onde a previsão e o estabelecimentode seu modelo gerador são obtidos somente baseados nocomportamento passado da própria variável em estudo, sem a relacionarcom nenhuma outra, a não ser o tempo.Assim, a característica básica da analise das series temporais, que adistingue das outras análises estatísticas, é o reconhecimento explicitoda importância da ordem em que as observações são feitas: enquantoem muitos outros tratamentos estatísticos as observações podem serconsideradas independentes, na analise das series temporais as sucessivasobservações são vistas como estatisticamente dependentes.Esse tipo de tratamento torna-se extremamente importante uma vez que,em muitas áreas do conhecimento, existem fenômenos cujo desenvolvimentoe variação assumem elevada importância com o passar do tempo. A análisedas series temporais permite que tanto os objetivos de previsãodo futuro, baseados nos dados passados, como os de controle do processoque gera a serie, possam ser conhecidos independentemente do comportamentode outras variáveis.De outra parte, a analise de series temporais pode-se tornar o único meiode tratamento estatístico disponível. É o^caso em que se apresenta difícil(ou ate mesmo impossível) a explicação do comportamento de uma variávelatravés de um modelo causai que busca explicar esse.s movimentosatravés de outras variáveis econômicas. Isso pode ocorrer quando:- os movimentos da variável são atribuíveis a fatores outros que, simplesmente,não são passíveis dp caracterização em modelos causais ou,pelo menos, quando existe a impossibilidade de avaliar quantitativamenteo efeito que apresentam para explicar o comportamento da variávelem estudo. É o caso, por exemplo, de se querer estabelecer o comportamentodo volume de vendas de um determinado artigo. Sua variaçãopode ocorrer em resposta a variações de preços, a variações de rendada população, a variação de gostos e hábitos ou, simplesmente, por ciclosde sazonalidade que caracterizam o consumo desses artigos. Amaioriadessas causas apresenta efeitos nas variações de comportamento temporalda variável em analise. Porem, a intensidade dos efeitos de cadauma dessas causas é bastante difícil (às vezes impossível) de ser caracterizadae quantificada;- u:esmo sendo possível quantificar seus efeitos, os coeficientes dosmodelos estimados possuem erros padrões relativamente grandes, levandoa erros de estimativas bastante insatisfatórios;

- os custos do processo, no caso de ser possível a quantificação dosefeitos das variáveis, sejam elevados;- e desejável a previsão futura do valor da variável e não se tem osvalores das variáveis explicativas para aquele determinado períodoque se quer estimar. No caso dessas variáveis serem também estimadas,^mesmo tendo-se um modelo que se ajuste bastante bem, com errospadrões de previsão pequenos, os erros padrões das variáveis explicativaspodem não ser suficientemente pequenos, o que levará a estimativascom níveis de confiança inaceitáveis.Assim, a analise das séries temporais, ao se caracterizar como o estudoda variável, baseado unicamente no conhecimento dos seus valorespassados, independentemente do comportamento das demais variáveis, proporcionaum meio bastante útil para o tratamento numérico dos dadoseconômicos.19l .3 — O Conceito de Série TemporalDefine-se uma serie temporal como um conjunto de observações de uma variáveldispostas seqüencialmente no tempo . Conforme o conjunto gerado,pode-se classificar a série em continua ou discreta. Diz-se que asérie cronológica é discreta quando o conjunto de observações no tempofor finito ou infinito enumerãvel 9 . Caso contrário, isto é, se o conjuntogerado for infinito não enumeravel, diz-se que a serie e continua.A grande maioria dos estudos econômicos que se valem do tratamentode séries temporais utiliza séries discretas, onde as observaçõessão geradas em um intervalo de tempo com amplitude constante.De outra parte, uma serie temporal pode ser classificada como deterministicaou estocastica. Diz-se que e deterministica quando os futurosvalores da série podem ser estabelecidos precisamente por alguma relaçãofuncional matemática do tipo Y = f (Tempo). Será dita estocasticaquando seus futuros valores só puderem ser expostos em termos probabilisticos,uma vez que a serie esta descrita por meio de uma relaçãofuncional que envolve não só o tempo, mas também uma variável aleatóriado tipo Y = f (Tempo, a) , onde "a" é o termo aleatório residual,cuja inclusão se torna necessária quando não se consegue explicar completamentealgum movimento irregular da serie através unicamente darelação matemática.Para fins deste trabalho, somente se considerarão series temporais estocásticasdiscretas, cujas observações são geradas em intervalos detempo constantes.Na análise clássica, costuma-se classificar os movimentos da serie econômicade tempo em quatro tipos básicos de variações: a tendência, asvariações sazonais, as variações cíclicas e as variações aleatórias.Assim, as séries podem ser consideradas como constituídas por essasA definição dada aqui é de série temporal univariada. A generalização da definição deve conter séries multivariadas.Optou-se por essa definição tendo em vista os objetivos especfficos do trabalho.

20quatro componentes e tem-se como objetivo especificar a magnitude decada um desses movimentos para possibilitar descrever conjuntamente omovimento da série.A tendência, também chamada por alguns autores de tendência secular, ecaracterizada como aquele movimento regular e continuo de longo prazo,refletindo um movimento ascendente ou descendente em longo período detempo. De certa forma, pode ser vista como aquela componente que descreveas variações graduais que se mantém em um longo período de observaçãoda variável no tempo. Estatisticamente, pode-se caracteriza-lapelo fato de que a expectancia de Y, E(Y), varia no tempo.As variações sazonais são aquelas variações periódicas (cíclicas) queocorrem com certa regularidade dentro de um curto período de tempo. Emborao próprio nome de a entender que esses movimentos ocorrem por umperíodo anual, de acordo com as estações climáticas, esses movimentospodem ser estendidos a qualquer intervalo de curto prazo, como diário,horário, semanal, mensal, trimestral etc.As variações cíclicas são aquelas variações que se referem as oscilaçõesde longo prazo que caracterizam, em geral, os ciclos econômicos.São as flutuações de longo prazo em torno da curva de tendência.As variações aleatórias, também chamadas residuais, referem-se não sóaqueles movimentos esporádicos ocasionados por eventos aleatórios imprevisíveis,tais como as calamidades da natureza, mas também ao conjuntode todos aqueles movimentos da série que não foram passíveis deidentificação em seus demais componentes, uma vez que não obedecem anenhuma lei comportamental capaz de ser descrita de forma determinística,através de relações funcionais exclusivamente matemáticas.Deve-se salientar, entretanto, que, modernamente, a inclusão da componentecíclica e assunto bastante controverso entre os pesquisadores estatísticos10 . As variações cíclicas são pouco comuns. Basicamente, suaexistência resume-se a algumas series econômicas particulares, as quaisnem sempre são passíveis de caracterização. Uma parte de um ciclo deamplitude bastante grande, por exemplo, pode ser confundida com a componentetendencial, dado o conjunto relativamente pequeno de valoresobserváveis em contraste com a amplitude que o ciclo pode ter. Tambémpode ser muito difícil diferenciar as flutuações que são devidas a componentecíclica daquelas estritamente aleatórias.Por essas razoes, é bastante comum, nas análises estatísticas de sériestemporais, decompor os movimentos da série excluindo a componente cíclica.Assim, a serie e usualmente constituída de três componentes: atendência, que descrevera os movimentos regulares de longo prazo, ondese incluirão as flutuações cíclicas de longo prazo e que não podem serpercebidas e explicitadas com os dados da série que se encontram disponíveis; a sazonalidade, que descrevera as flutuações cíclicas decurto prazo; e o termo aleatório residual.Para algumas series econômicas, porem, julga-se que deva ser consideradaa possibilidade de terem suas flutuações influenciadas por algumAlguns autores preferem, por essa razão, denominar essa componente de tendôncia-ciclo.

movimento cíclico da atividade econômica. Nesse caso, ceve ser buscadoinstrumental adequado especifico para sua analise. Por exemplo, a utilizaçãoda analise econometrica dinâmica no estudo do ciclo.21l .4 — O Significado da Análise de Séries TemporaisA base do tratamento requerido pelas series de tempo esta assentada napossibilidade de serem tiradas conclusões sobre o comportamento passadoda variável e que poderão ser úteis para proporcionar informaçõessobre o seu comportamento futuro provável. Os problemas fundamentaisque norteiam o estudo das series temporais dizem respeito,basicamente,a questões como: a serie exibiu, no passado, algum tipo de tendênciaque pos = a influenciar o seu comportamento futuro? A. série exibe algumtipo de comportamento cíclico, seja de curto ou longo prazo, que poderáser extrapolado para o seu comportamento futuro?Se tais tipos de causas comportamentais estão presentes, poder-se-ábuscar construir um modelo para os valores da variável seqüencialmentedispostos no tempo, de maneira que a variável possa ser estudada deforma a recaírem sobre o seu próprio comportamento passado os meios aserem utilizados para a avaliação de seu comportamento futuro provável,sem necessidade de serem estabelecidas relações explicativas dos efeitosda influencia de outras variáveis.Portanto a análise de um modelo de série de tempo significa um estudoque busca obter as características comportamentais sistemáticas da serie,capazes de propiciar a construção de um modelo que descreva os movimentospassados de uma variável, com o que se poderá predizer os futurosmovimentos da mesma.Sua base teórica esta assentada na suposição de que a série tenha sidogerada por um processo estocastico, através do qual sua estrutura podeser caracterizada e descrita. Vale dizer que a análise do modelo de sérietemporal proporciona uma descrição dos mecanismos e da naturezaaleatória do processo estocastico que gerou a amostra de observações emestudo. Sua descrição e dada, não em termos de relação entre variáveis,como no modelo tradicional de regressão, mas sim em termos de como aaleatoriedade está embutida no processo.Basicamente, a analise de serie temporal pressupõe que exista um processo^estocasticogerador da série, ou seja, que, a cada possível realizaçãoaleatória da variável, esteja associada uma probabilidade deocorrência da observação. Assim, o que se busca é descrever os mecanismosdo processo e as características de jua aleatoriedade, porquantoisso irá fornecer os meios para que se chegue a conclusões sobre asprobabilidades associadas aos valores futuros alternativos da série.Em síntese, uma série temporal significa um conjunto de variáveis aleatóriasconjuntamente distribuídas no tempo. Sua análise baseia-se nasuposição da existência de alguma função que assume probabilidades paratodas as possíveis combinações dos valores da variável. Conseqllentemente,se é possível descrever numericamente como é a estrutura probabilísticada variável no tempo, então poder-se-a inferir sobre a probabilidadede ocorrência de um outro futuro valor.

2 - SOBRE SÉRIES TEMPORAISE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS2.1 — Processos Esto castiços e suas PropriedadesO objeto da teoria dos processos estocasticos e o estudo daqueles mecanismosdinâmicos que proporcionam meios de analise de uma seqtlenciade observações, vista conjunta e interdependentemente em uma sucessãode momentos de tempo 1 , as quais são influenciadas por fatores aleatórios.Assim, um processo estocástico deve ser entendido como um modelo^quedescreve a estrutura probabilística de uma seqüência de observações.Formalmente, pode-se definir um processo estocástico como uma famíliade variáveis aleatórias ÍX(t), teTl, classificada mediante um parâmetro"t" que varia em um intervalo de tempo T. Portanto um processo estocásticocaracteriza-se por ser uma função aleatória de "t". Uma seqüênciade observações X t , t=l, 2, 3, 4, ..., t, que corresponde a umaamostra de pontos no tempo, é chamada uma realização parcial do processoestocástico.Ao observar o comportamento de uma serie temporal, verifica-se que essapode ser considerada como uma particular realização de uma seqüênciade observações produzida por um mecanismo probabilistico. Dessa maneira,uma série temporal pode ser vista como uma realização de um processoestocástico. Ou seja, uma serie temporal x-,, Xo, XT, ..., Xj-podeser considerada como uma realização amostrai de uma população infinitaconstituída por uma infinidade de outros possíveis resultados parao conjunto {X(t), teT}, realização que pode ter sido gerada peloprocesso.A analise das series temporais supõe que o conjunto de observações estejasendo gerado por um processo estocástico e, como tal, possua umaestrutura probabilística que possa ser caracterizada e descrita. O estudodas series temporais proporciona, então, a descrição da naturezaaleatória do processo que gerou a amostra de observações em estudo. Suaanálise supõe que cada ocorrência x-^, X£, xo, •••, x t da serie seja obtidaaleatoriamente com base em uma estrutura probabilística. Conseqüentemente,a série temporal X t é uma seqüência de variáveis aleatóriasconjuntamente distribuídas, vale dizer, existe alguma função de probabilidadeP(x^, X2, x-j, ..., x t ) que assume valores para todas as possíveiscombinações x^, X£, x-j, ..., x .Assim, o objetivo básico da análise estatística de séries de tempo ébuscar, a partir da realização amostrai do processo (isto e, a seriex-^, X2> x-^, ••-, x f)> descrever as características de sua aleatorieda-Embora, cm termos práticos, seja comum tratar a sucessão de observações em um domínio temporal, nada impedeque a sucessão de observações seja analisada em qualquer outro domúiio, tal como volume, distância etc.

de, coni o i. ito de proporcionar os instrumentos para a inferencia sobroas probabilidades associadas com o coniunto de valores futuros alternativosda serie. Ao se conseguir especificar numericamente como éa função de probabilidade da serie, torna-se viável inferir a probabilidadede um ou outro futuro valor ocorrer.Portanto estudar modelos de séries temporais significa buscar obtermeios capazes de inferir as características de seu processo gerador, bemcomo buscar modelos estocasticos que sejam capazes de descrever as situaçõesparticulares que ocorrem na realidade.2.2 — Caracterização de um Processo EstocásticoUm processo estocástico pode ser caracterizado como uma família de variáveisaleatórias definidas em um espaço de probabilidades (ti, f| , P) ,o qual estará perfeitamente especificado se se conseguir obter a suafunção de probabilidade conjunta para a série.Assim, considerando t|,^,t n um vetorde elementos de T elf -.., t n )=P(X(t 1 )

25onde o segundo membro dessa equação deve ser entendido comom+1i m F(x ]f x,, ..., x m ,X -> »nContudo a especificação completa da função de probabilidade n-dimensional,que rege o processo gerador da série temporal, I bastante improvávelde se obter. Por isso e usual, nesses tipos de analises , estudaralgumas características paramétricas associadas com sua estruturaprobabillstica, capazes de proporcionar meios alternativos mais simplificadosde descrição daquela estrutura do que propriamente a função deprobabilidade .Uma maneira equivalente de especificar a distribuição n-dimensional ,geradora da série temporal, é determinar todos os seus momentos-produtosde ordem (r,, r „, ..., r ) das variáveis X(t.), X(t_), ..., X(t ),ou seja,E(X r l' C f(x l' ••" Vt l' •••' fc n )dx l ••' dx nque, como se pode verificar pela sua formulação, apresenta as mesmasrestrições do conhecimento da estrutura probabilística.A busca de meios capazes de descrever o processo gerador da série impõea necessidade de se restringir o estudo a momentos de baixa ordem. Paraas finalidades especificas dos processos estocásticos que se estudarãoneste trabalho, serão úteis os momentos de primeira e segunda ordem,ou seja, média, variância e covariância, os quais podem ser definidoscomo segue.Seja um processo estocastico {X(t), tcT ), então:a) função valor médio: é definida por E(X ) = p , qualquer teT.Observe-se que, a nível de serie temporal, a função valor médio de seuprocesso gerador significa a componente tendencial da série.b) função variância: e definida por Var(X ) = E(X - p ) = a', qualquer teT.c) função covariância: e definida por Cov(X , X ) = E (X - p ; (X • - p ) = y ,qualquer t, s e T.2.3 — Processos Estacionários e Não EstacionáríosSe o processo estocastico que gerou a serie de observações e invariantecom respeito ao tempo, diz-se que o mesmo e estacionario. Se as característicasdo processo se alteram no decorrer do tempo, diz-se que enão estacionario.

26Segundo PAPOULIS (1965), um processo estacionario pode ser classificadoem:a) estritamente estacionario: quando suas estatísticas não são afetadas por variaçõesdevido a escolha da origem dos tempos, ou seja, quando asséries X,, e X._ , estão distribuídas identicamente, qualquer queseja "k".Dessa definição segue que a função densidade de um processo estritamenteestacionario deve ser tal que permaneça idêntica quando se varia aorigem dos tempos, ou seja:r (x -j , x £ j • • • s x *-» *- ^» ^ 2' •••' *" t ^x i ' x 2 > •••» x t't l+k > t 2+k' "•'t t+k' )para quaisquer t^, t2> ..., t E T e k.b) estritamente estacionaria de ordem finita: diz-se que um processo é estritamenteestacionario de ordem "i" se a estacionariedade no item (a) é válidanão para todo t. e T, mas somente para j < i;c) estacionaria em sentido lato (ou fracamente estacionario ou, ainda, estacionario de segunda ordem):quando a sua função valor médio e constante e sua função de covariânciadepende somente da diferença, em valor absoluto, de t s -t... JAtente-se para o fato de que um processo estacionario em sentido latopode não ser estritamente estacionario, pois os momentos ate segunda ordemnão garantem condições sobre a estacionariedade da função de probabilidade.Porem, se o processo e estritamente estacionario de ordemdois, então ele é estacionario em sentido lato.Deve-se salientar, entretanto, que, se o processo for gaussiano 14 e estacionarioem sentido lato, ele será estritamente estacionario, devidoao fato de a distribuição normal ser determinada unicamente em termosdo primeiro e do segundo momento.Para fins deste trabalho, onde a suposição usual e a de um processogaussiano, é suficiente o requerimento das condições da definição de estacionarioem sentido lato, o qual será, a partir desse instante, denominadosimplesmente estacionario.Um processo estacionario, assim definido, satisfaz as seguintes condições:E(x ) = y, qualquer teT;Var(X ) = y , qualquer teT;Cov(X ,X r) = y, > isto é, depende somente de "k".t t K K3 Observe-se que o processo estacionario em. sentido lato requer condições envolvendo somente os momentos deprimeira e segunda ordem, ao invés de sua função finito-dimensional. Dai' porque é chamado por muitos autore.ide estaciona'rio de segunda ordem.4Um processo é dito gaussia"O se a distribuição de probabilidade da sc'ric Xj é multinormal.

A importância do conhecimento de a serie ser ou não estacionaria resideno fato de que, quando se trabalha com uma serie estacionaria, se estaem presença de uma função amostrai do processo que tem a mesma formaem todos os instantes de tempo te;T,o que acarreta possibilidades deobtenção de estimativas das características do processo de forma bastantesimples, o que, em caso contrario, não seria tarefa fácil.De outra parte, um processo estacionario, que se caracteriza por possuirum comportamento geral de sua estrutura probabilística invarianteno tempo, impõe que uma realização amostrai x t , x t+^, x t+ 2, ..., x t+n>para qualquer "t", embora não necessariamente seja igual a, por exemplo,x t+100> x t+10]> x t+102> •••' x t+100+n' apresente sua forma geral e suasfuturas observações de maneira similar, o que implica facilidades de sefazerem previsões acuradas com esse tipo de processo.272.4 — Propriedades dos Processos EstacionáriosUma serie temporal pode ser vista como sendo gerada por um conjunto devariáveis aleatórias conjuntamente distribuídas. A serie x-,, XT, x-i,..., x t , portanto, representa um especifico resultado da função de probabilidadeconjunta P(x-,, X2> x-,, ..., x ). ConseqUentemente, uma futuraobservação, x^^, pode ser considerada como sendo gerada pela funçãode probabilidade condicional P(x t+ j 1 /x^, X2, x^, ..., x t ) .Conforme foi visto no item anterior, um processo estacionario pode serdefinido como um processo onde a distribuição conjunta e a distribuiçãocondicional são invariantes aos deslocamentos no tempo, ou seja,P < x l> X 2> X 3x t } = P(x l+k' x 2 + k' x 3 + k>•'•' x t+k } ' **•Assim, se a série é estacionaria, sua função valor médio mantém-se invarianteno tempo, ou seja,uma vez que:E(X_) = E(X ) = v (constante),LC"*" KE(X t ) = /xf(x t )dx = /xf(x t+k ) dx = E(x t+k ), Vk.— 00 —00Significa dizer que, se o processo é estacionario, E(X ) = y, qualquer"t", a série não apresenta a componente tendencial.Sua função variância também é constante:Var (X t ) = E(X t - u) 2 = E(X fc+k - y) 2 = Var (X fc+k ), Vk,pois,i r*Var(X t ) = ECX 2 .) - E(X t ) 2 =^x 2 f(x t )dx - y 2 = J x 2+k> - E(5 W 2= Var ~ (

28Sua função de covariancia e função somente da distancia "t-s",independenteda origem do período de tempo:Cov(X t ,X s ) = Cov(X t+n , X^) = y t _ s ;Cov(X X ) = Cov(X , , X ). Fazendo n = -s, tem-se que:t S L~"~K S "•" nC°v(X t+h , X s+h ) = Cov(X t _ s , X o ) = y t _ s .Note-se que, se o processo é estacionário, então tem média evarianciaque não variam no tempo e a covariancia entre observações existentes emdois períodos distintos de tempo depende somente da distância entre essespontos e não do especifico período de tempo das observações.Na prática, entretanto, o que se dispõe é de uma realização amostrai doprocesso. Assim, as funções valor médio, variancia e covariancia sãoobtidas através de suas estimativas. Como a função de probabilidadeP(x- + k> Xy+k' x 3+kX t+k^ ^a mesina P ara todo "k", se o processo éestacionário, então uma estimativa da função valor médio do processo,E(X ^) = u, qualquer "k", pode ser obtida pela função valor médio amostraida sérieX = E X.Da mesma forma, a estimativa da função variancia pode servariancia amostrai,obtida pelav2r~(X t ) = i I (X t - X) 2 = Ô 2 ,e a estimativa da função de autocovariancia,, X g ) =2.5 — Processos Evolutivos HomogêneosEmbora a teoria mostre a conveniência prática do uso de series estacionárias,no mundo real, infelizmente, muito poucas series encontradaspodem ser classificadas como estacionar ias.a sérieum redu-A estacionariedade é uma condição bastante restritiva impostatemporal e, no que diz respeito a séries econômicas, somentezidíssimo numero satisfaz essa condição.Um simples exame de algumas das variáveis mais comuns em Economia, comopor exemplo, preço, produto nacional, renda, vendas, consumo,investimentoe tantas outras, mostra que suas variações apresentam um comportamentonão estacionário evolutivo no decorrer do tempo.

O tipo de não estacionariedade mostrado por essas series pode ser caracterizadocomo homogêneo. Ainda que as series se movimentem livrementesem se fixarem em torno de um particular valor médio, seu comportamentoem diferentes períodos de tempo e essencialmente similar.Felizmente, series não estacionarias homogêneas são aquelas que se caracterizampor apresentarem propriedades tais que,diferenciando-as umaou mais vezes, resultam em séries estacionarias.O número de vezes que a série original deve ser diferenciada para setornar uma série estacionaria é chamado de ordem de homogeneidade. Assim,por exemplo, se Xj. e uma serie não estacionaria homogênea de primeiraordem, então a série Y t = X t - X t _^ = V X t é estacionaria. Damesma forma, se X t é não estacionaria homogênea de segunda ordem,entãoa série Y t = V 2 X t = V X t - V X t _^ será estacionaria 5 .292.6 — A Função de AutocorrelaçâoCom base nas características paramétricas definidas no item 2.2, pode--se definir o coeficiente de autocovar iancia com defasagem "k" da sériecomo sendo a covariancia entre X), e Xt+k> onde "k" e o numero deintervalos de tempo defasados, ou seja,Cov(X t , X t+k ) =E(X t - u t ) (X t+k - y t+k ).Se a serie e estacionaria, tanto a media quanto a variancia não variamno tempo, e a autocovariância entre duas observações quaisquer dependesomente do numero de intervalos defasados. Assim,Cov(X t , X t+k ) = E(X t - y) (X t+k - u) = Yfc.Vale dizer, a autocovariância entre dois pontos da série é o valor esperadodo produto do desvio de cada ponto em relação ã média do processo.A análise dessa fórmula proporciona importantes interpretações sobre ocomportamento da serie. Por exemplo, se uma observação que se encontraacima do valor médio tende a ser seguida por outra observação acima damédia, "k" períodos defasados ou, semelhantemente, para observações Xe X +k situadas abaixo da media, então a autocovar iancia será positiva .Caso contrario, será negativa.Assim, e importante analisar os valores dos coeficientes de autocovariância,pois eles irão desempenhar papel fundamental no estudo do comportamentodas séries temporais. Por exemplo, se o sinal da autocovariância,para um período defasado (k=l), e negativo para algum processo,significa que a série se caracteriza por ser uma seqdência de observaçõessituadas alternadamente acima e abaixo do valor médio.5 O símbolo V e chamado de operador de retardo ou de diferença de rerardo e será' especificamente analisado no capitulosubseqüente.

30Para um processo es t acionário, a função de autocovariancia,Yj, = E(X - u) (X -u), apresenta as seguintes propriedades:(2.2)(2.3)(2.4)* y, é tal queK3 j a k Y j-k _ O,V., r c IR • (2.5)JAs propriedades (2.2) e (2.3) são imediatas, a partir da definição deautocovariancia do processo estocástico.A propriedade (2.4) prova-se a parti r do fato de E f (X +, - y) ± (X -y)T í.0.O 1 E f (X - y) ± (X - y)T" = E[(X , ~ p) 2 ± 2 (X , - y) (X -u)L t+k t J L ' t+k t+k t+ U - y) 2l = E(X . - y) 2 + 2 E [(X - y) (X -t j t+k L t+k tLogo 2y ± 2y, - O y - Yo k o »kPara provar a propriedade (2.5)vê-se que:nna i\ Y i-k = Z E a a E(X -y)(X -p) =J k J k j=1 k=1 J k kJl L a.,,, (X. - u)(£ - u))= E( r, a.a.(X. -y)(X. -y)) =kj = l k=l -' '• Jj = 1 J J J Jn= E( Z a 2 (X. - y : ' 0^ 0.j =1 J JPara fins de comparação entre diferentes séries, é conveniente trahalliarcom uma medida padronizada do coeficiente de autocovariancia, semunidade de medida, uma vez que diferenças em escala e/ou medida podemlevar a diferenças acentuadas nos coeficientes de autocovariancia, dificultandoa comparação entre series distintas.

Essa padronização e obtida através do coeficiente de autocorrelaçao,que se caracteriza por ser o quociente entre a autocovariancia de defasagem"k" e a autocovariancia de defasagem zero. Ou seja, o coeficientede autocorrelaçao de defasagem "k" é definido por:31v- Var(x t ) . Var(x t+k )'Cov (x t x t+k )p, = — - — - , onde DP e o desvio padrão.DP(x t ) . DP(* t+k )Observe-se que, se o processo for estacionario , existirá a igualdadeVar(X t ) = Var(X t +k). Então, o coeficiente de autocorrelaçao para processosestacionários e dado por:Conseqüentemente ,Como na prática se tem somente uma amostra de observações, o coeficientede autocorrelaçao é obtido através de sua estimativa,que e dada por:*KZ (X, - X) (X , - X)k t+kZ (X t - X) 2A função que associa cada valor de "k" com o seu respectivo coeficientede autocorrelaçao é chamada função de autocorrelaçao. Seu gráfico écomumente chamado de correlograma.Deve-se notar que a função de autocorrelaçao é simétrica em relação ak = O, ou seja, os valores da função para as defasagens positivas de"k" são os mesmos que os valores para as defasagens negativas correspondentes:p = p , V . 6Além das características interpretativas que se obtêm com a análise daautocovariancia, a autocorrelaçao proporciona maiores informações. Aseqllencia p, , k = O, l, 2, 3, ..., é uma indicação da extensão para aqual um valor do processo é correlacionado com seus valores defasados"k" períodos de tempo. Pode, então, para alguma extensão, ser usada pá-6 Essa propriedade é uma conseqüência natural de (2.3): se

32rã medir o numero de defasagens e a intensidade da "memória" do processo,isto e, a extensão para a qual o valor tomado no tempo "t" dependedaqueles tomados no tempo "t-k".A analise da função de autocorrelaçao da serie, portanto, torna-se importantea medida que proporciona um grau de intensidade da correlaçãoexistente entre observações vizinhas da série. Indica, por conseguinte,uma medida de interdependência entre as observações e será uir instrumentode extrema importância para caracterizar propriedades de processosgeradores de séries temporais.Assim, por exemplo, estando em presença de um processo caracterizado poruma seqllencia de variáveis independentes e identicamente distribui-,7crito, pois,e, conseqdentemente, seu correlograma será dado por:Figura 1 — Correlograma característico de um processo de ruído brancoDe outra parte, a função de autocorrelaçao também i um instrumento bastanteútil para ser usado como teste inicial de verificação de estacionariedadeda série temporal, a medida que satisfaz um conjunto de condiçõesque estabelecerá restrições aos diversos valores de seus coeficientes.Essas condições podem ser assim deduzidas: seja uma série temporal estacionaria,xj_, y. 2, •••» x t I suas funçoes^de autocorrelaçao e autocovariancia,expostas na forma matricial, são:l ssc processo, quando possui media zero e variáncia constante, recebe o nome de processo de rui'do branco e seráintensamente utilizado nos capítulos subseqüentes.

=t1 p1 ' t-1( 1 o1 ' ' t-2-fl-He 1 = t->o '1v v1 oLCJ -, P . r, 1onde II = v lit o tSeja L t uma função linear de x. e seus valores defasados, ou seja:L =ax +ax +...+axt l t 2 t-1 n t-n+1Como X,, e estacionar io, Cov(X.,X.) =y. ., então a variancia de LL i j i-j teVar(L t ) = Z a.a. i-ii Je, se a. e a. não são todos zeros, por (2.5) e (2.2) tem-se que:Var(L ) > 0.Vale dizer que, para um processo estacionario, a matriz de autocovarianciae a de autocorrelaçao se apresentam positivamente definidas,com determinante e todos os menores principais positivos.Conseqüentemente, as restrições aos valores dos coeficientes de autccorrelaçaopodem ser assim obtidas, se o número de observações da sériefor:t = 2 , det > O --> l - v 2 . > O -l •< ,t = 3, det •0; det •- Odeti

34o que implicaPT -l -P--e assim sucessivamente para t = 4, 5, ...Como se vê, essas restrições impostas aos valores da função de autocorrelaçaotornar-se-ao gradativamente de mais difícil obtenção ã medidaque "t" cresce.Embora exista complexidade analítica em sua dedução, essas restriçõesapresentam como característica principal o fato de p diminuir rapidamentepara zero a medida que "k" cresce . Como o calculo desses valorespode ser obtido sem maiores dificuldades via pacotes computacionaisde processamento eletrônico,tem-se, através de um simples exame visualdo correlograma, uma avaliação da possibilidade de a série ser ou nãoestacionaria.Assim, por exemplo, se, construindo o correlograma, se constata que ocoeficiente de autocorrelaçao não diminui rapidamente quando o valor de"k" aumenta (conforme se visualiza na Figura 2), então está indicada anão estacionariedade da série. Em caso contrário, se o coeficiente deautocorrelaçao diminuir rapidamente, estar-se-a em presença de uma sérieestacionaria (Figura 3).Figura 2 — Correlograma característico de uma série não estacionariaDa mesma forma, pode-se provar que, se um processo é não estacionário, sua função de autocorrelaçao tende a declinarlentamente. Ver a respeito: ANDERSON (1979); BOX & JENKINS (1976) e NELSON (1973).

35l M l l l l l lFigura 3 - Correlograma característico de uma série estacionariaPode-se também utilizar o Correlograma para verificar o grau de homogeneidadedas series não estacionar ias. Para tanto, basta diferenciar,sucessivamente, a série original e construir os respectivos gráficos dafunção de autocorrelaçao. Se, na k-esima vez que se diferencia, resultaque a função de autocorrelaçao tende rapidamente para zero, entãopode-se determinar que a série original é homogênea de k-ésima ordem.A função de autocorrelaçao e a sazonalidade: seja uma serie que exibe algum comportamentosazonal. Por exemplo, seja uma serie cujo ciclo sazonal tem periodicidadeanual. Como a sazonalidade e uma componente oscilatoria dasérie, que se caracteriza pela regularidade dentro de um período curtode tempo (no caso 12 meses), então as observações originais da seriex t e x t ,- deverão mostrar algum grau de correlação. Da mesma forma,para x 94» x t_->6> x r_4«> ••• Essas correlações serão necessariamentemantidas na função de autocorrelaçao. Assim, pode-se identificara sazonalidade da série pela observação de picos regulares no correlograma(no caso exemplificado, quando k = 12, 24, 36, ...), mesmo que naserie original esses picos não possam ser percebidos.No caso^de série que apresenta ciclo sazonal de 12 meses, o meio de quese dispõe para sua eliminação é gerar uma nova série a partir da diferençade 12meses, ou seja, obtendo-sea série Z = X - X _ , qualquer teT.A análise através do Correlograma: exemplo: seja a serie temporal graficamente apresentadana Figura 4 representativa de 120 observações mensais da produçãosuína nos Estados Unidos, no período de janeiro de 1962 a dezembrode 1971. 91O exemplo aqui apresentado foi retirado de PINDYDK & RUBINFELD (1976). A fonte dos dados brutos utilizadospor aqueles autores foi o Survey of Currení Bussiness.

36Deseja-se saber se a serie em questão apresenta algum componente cíclicoou tendencial. Através da apresentação grafica da série original éimpreciso concluir algo. Porém, quando se constrói o correlogratna (Figura5), pode-se perceber facilmente que existem picos em k = 12,24,36, o que e indicativo de uma serie com oscilação sazonal anual. De outraparte, verifica-se, também, que o coeficiente de autocorrelação nãodecresce rapidamente, o que e indicativo de uma serie não estacionaria(isto e, serie que apresenta a componente tendencial).8,5007,0005,5004,0001 7 11962 1963 19657 11966 1968719691197171972Figura 4-Produção suína nos Estados Unidos (em milhões de cabeças por mês) -jan./62--dez./7111 16 21 26 31 36 41Figura 5 — Correlograma da série temporal da produção suína nos Estados Unidos, expostana Figura 4

Para retirar a sazonalidade, cria-se uma nova série Z = X - X ,conforme o explicado no decorrer deste capitulo. O correlograma dessanova serie pode ser visto na Figura 6. Nota-se que esse já não apresentapicos tão intensos, característicos da sazonalidade. Verifica-se,também, que o declínio do coeficiente de autocorrelacão e lento, o queé um indicativo da permanência de componente tendencial. Constrói-seuma nova série W = V Z = V(X - X „) e seu respectivo correlograma.A Figura 7 mostra um rápido declínio do coeficiente de autocorrelacão,apresentando pequena flutuação em torno do ponto de estabilidadezero.A rápida queda do coeficiente de autocorrelacão indica que essa novasérie W,, é estacionaria (sem tendência) , e as pequenas variações emtorno do valor zero indicam a eliminação dos picos sazonais. Assim, We estacionaria, não possuindo sazonalidade.37-111 16 21 26 31 36 41Figura 6 — Produção suína nos Estados Unidos — jan./62-dez./71. Função de autocorrelacãode(y t -y t _ 12 )6 11 16 21 26 31 36 41Figura 7 — Produção suína nos Estados Unidos — jan./62-dez./71. Função de autocorrelacãode v(y t -y t _-| 2 )

3.1 —Fundamentos3 - OS MODELOS DE BOX & JENKINSEmbora esteja-se tornando comum na literatura especializada denominaros modelos aqui tratados, seus processos construtivos e a inferenciade previsões como de Box & Jenkins , deve-se salientar que a maioria dosmodelos utilizados por esses dois autores eram bastante conhecidos jáno segundo quartel deste século, bem antes, portanto, de suas pesquisas.A justificativa para o uso do nome Box & Jenkins associado a essesprocessos está na contribuição representativa que deram ao estudode series temporais, através de uma minuciosa e fundamentada integraçãodesses processos, que lhes permitiu um tratamento analítico de inferenciaestatística nas previsões de valores futuros das variáveis dinâmicas.O tratamento desenvolvido por Box & Jenkins para a analise das seriesestocásticas de tempo esta baseado no fato de que, embora seus respectivosvalores no tempo, x , apresentem correlação serial, cada um delespode ser considerado como gerado por uma seqllencia de choques "a ",teT, aleatórios e independentes entre si, cada um possuindo uma determinadadistribuição 1 , com média zero e variância constante a^. 2a.A seqüência de choques aleatórios "a", t e T, com as característicasacima mencionadas é denominada de processo de ruído branco .O fundamento da metodologia de Box & Jenkins, para a busca de uma classegeral de modelos capazes de representarem o processo gerador da sérieestocastica, esta assentado no teorema da decomposição de Wold paraséries estacionárias (WOLD, 1938). Esse teorema demonstra que todoo processo estocastico estacionario pode ser decomposto em um modelolinear de tipo média móvel , cuja formulação eonde u e f i , j = l , 2 , 3 , . . . são parâmetros estabelecidos pelos valoresda série, x t e a observação no período "t",a t oruído branco no período"t" e os f -j devem formar uma serie absolutamente convergente paraque X seja estável (isto_e, tenha variância finita e capaz de sersomável e mantenha a condição de estacionariedade.1 Em geral, cada choque "at" e' considerado como possuindo distribuição normal., , fo a 2 , sck=0Vale dizer: E(at) = 0; Var(a t ) = o. d ; Cov(at, at-k) =

40Nesse caso,E (X t ) = E(u+ E(a t + .í =l f. a t _ lVar(X t ) = Var(y + a^ + ^ a t _ 1 + ^ a t _ 2 + .= Var(a t ) + ijj^ Var(a t _ 1 ) + '^ Var(a t _ 2 ) +Cov(X fc , X t _ k ) = E(X t - E(X t ))(X t _ k - E(X t _ k ))= E [ ( V lJ; i Vi + •••> (a t-k + *i Vk-i^"2= ° a k=0°°que tem significado se a soma k Z Qexiste 5 .Para maior simplicidade, pode-se utilizar uma notaçãoesse modelo linear:condensada paraj a t-j + a tt_.x t = x t - u = !,'J(B) a t , (3.1)onde i|i(B) = l + iJJiB + 4j2B 2 +^2B 3 + ^A^1*+ • • • é chamado de operador linear,função de transferencia ou, simplesmente, filtro do sistema 6 .Em termos gerais, podem-se definir os seguintes operadores que serãoúteis no desenvolvimento deste e dos demais capítulos:4 Deve-se ressaltar que, se a série não é estacionaria, o parâmetro /jé somente um ponto de referência para o niVeldasérie, sem ter um significado especial.5 Ohservc-sc que nas condições impostas aos coeficientes i//j (isto é, Si//j < od ), a média e a variância são constantes esua autocovariância depende somente de k, condições essas que definem a estacionariedade do processo.6 Para que um processo linear seja estacionário é necessário não só que a série i^tB) seja convergente para que se tenhavariância finita. Além disso, a função de autocorrelação deve satisfazer um conjunto de condições, conforme se viuno capftulo anterior, para assegurar a estacionariedade do processo, [issas condições podem ser englobadas na condiçãoúnica de que a série i//(B) deve convergir para o interior ou sobre o circulo unitário, ou seja, IfiKl. (BOX&JKNKINS, 1976. p. 49 eAnexoA3.lt.

a) operador de retardo: esse operador impõe uma defasagem de um período detempo para trás a cada vez que e usado. Assim, definindo o operadorde retardo por "B", pode-se dizer que:Al" X t-2B m xt= xt-mNote-se que esse operador foi utilizado na formulação condensada do operadorlinear da equação (3.1).b) operador de avanço: e o operado F = B , inverso de B. Ou seja, e o operadorque impõe uma defasagem de um período para a frente a cada vezque e usado:F X t = X t+lF2 \ ' V2F m xt= xt+mc) operador diferença de retardo: e o operador que impõe a diferença de um períodopara trás a cada vez que e usado. Seja V esse operador. Então:' = V x - V x ,t t t-1d) operador somatório: e o operador inverso do operador diferença S = VConforme foi visto no Capitulo II, diz-se que uma série é evolutivahomogênea de ordem "d" se Z t = V°X t é uma série estacionaria.A operaçãoinversa, consiste em tendo-se a série Z t , transforma-la em X tsomando Z "d" vezes. Assim, X = £ d Z - S d Z , onde T. = S d é o operadorsomatório.

42Portanto.tSZ = ",z = . E z. = .E.. z_ . = z + z . + z „+...t t i =-oo i j=0 t-j t t-1 t-2= (l + B + B 2 + B 3 + ...) z =Logo, S = V .= (l - B - B 2 - B 3 - ...)~ 1 z t = V ~ 1 z t

43ou trabalhando com variáveis centradas na media, x = x - y:x = .E, ir. x . + a.t J=l J t-j tx - . E. ir. x . = at J=l J t-j tir (B) x = a .Nesse caso, as restrições impostas aos coeficientes devem ser tais que. Z n ir- converge. Ou seja, a serie it(B) deve convergir para o interiorj -U Jou fronteira do circulo unitário, isto é, |fi < 1. Processos linearescom as condições restritivas citadas recebem o nome de processos inversíveis.As condições de estacionariedade e inversibilidade dos modelos (3.1) e(3.4) serão analisadas de forma especifica mais adiante, no decorrerdeste mesmo capitulo, ao se estudar cada um dos modelos de descriçãodo processo estocástico original. Por ora, é importante ter presenteque:- um processo linear é .estacionãrio se a série ijj(B) converge paraB l 1; é inverslvel se a série ii(B) converge para | B | 11;- dadas as formas condensadas das equações (3.1) e (3.4),ir (B) x t = a t e x t =a relação entre esses dois operadores e- a condição de inversibilidade é independente da condição de estacionariedade.Esse fato pode ser visto através do seguinte exemplo:seja um modelo linear finito do tipo (3.1):Esse modelo apresenta il> = l ,

44Note-se que, para esse processo, os pesosir. de (3.4) s ao TI.= - 6 . Ora,se | 6 | >l os pesos crescem exponencialmente com o deslocamento do tempo,a série £ir. é divergente, a variãncia do modelo "explode" (não éfinita) , e os maiores pesos são dados para os valores mais distantes notempo. Para evitar essas contradições, impõe-se a condição de inversibilidade6 < l.A proposta de Box & Jenkins para a modelagem do processo utiliza o princípioda "parcimônia"-, buscando a descrição aproximada do modelo linear'de decomposição de Wold.Box & Jenkins, percebendo a relação dual existente entre os processosmédia movei e auto-regressivo, propuseram-se a trabalhar com a postulaçaode que os dados são gerados por processos lineares do tipo equaçãomédia móvel (3.1), do tipo equação auto-regressiva (3.4) ou por umaclasse de processos mistos, compostos pela utilização conjunta dos doisprocessos, denominados modelo ARMA (iniciais de "autoregressive-movingaverage") .A justificativa principal para a inclusão de ambos os processos na descriçãodo modelo está em que, muitas vezes, as características do processoestocastico não permitem uma descrição satisfatória através de umprocesso puramente auto-regressivo ou puramente media móvel, de poucosparâmetros, porque a série original incorpora, em sua forma parcimoniosa,ambos os tipos de processos. A existência da dualidade entre elesse da de forma que um processo media movei finito (de qualquer ordem)pode ser descrito como um processo auto-regressivo infinito, e vice--versa . Isso implica, em termos práticos, que a obtenção de estimativasde seus parâmetros, de forma parcimoniosa, muitas vezes requer ainclusão de ambos os processos no modelo.7 Isto é, que o modelo contenha um número de parâmetros tão pequeno quanto possível.8 SejVum processo auto-regressivo. No momento "t" pode-se defini-lo porDa mesma forma, um processo média móvel, no momento "t" valeA dualidade entre eles pode ser percebida de imediato, utilizando o operador "B". Seja, por exempío, um processoauto-regressivo finito de ordem 1. EntãoA t-lConseqüentemente,(l - 0B)x t:Ou, o que é o mesmo:o que eqüivale a um processo média móvel de ordem infinita (tipo 3.1). Semelhantemente, conforme foi dito noexemplo da p.43, verifica-se a recíproca: um processo média móvel finito eqüivale a um processo auto-regressivoinfinito.

Essa classe de modelos pode ampliar sua capacidade de ação para processosnão estacionarios homogêneos, bastando para tanto ser acrescida deum operador que seja capaz de transformar processos evolutivos homogêneosde ordem "d" em estacionarios, o qual, como vimos no capitulo anterior(seção 2.1.4), é o operador somatório S , inverso do operadordiferença de retardo, V^. A essa classe de modelos não estacionarios,que utilizam os princípios desenvolvidos no modelo ARMA, acrescidos deum operador de transformação de processos evolutivos homogêneos em estacionarios,dá-se a denominação de modelo ARIMA (iniciais de "autoregressive-integratedmoving average").A razão para a inclusão da palavra "integrated" no modelo ARIMA es tá nofato de que a existência de um processo não estacionario exige o operadorsomatório. Como se sabe, o operador somatório para variáveis continuase o operador integral, de onde surgiu a inclusão do termo "integrated".Sinteticamente, pode-se assim especificar a proposta de Box & Jenkins:enquanto o teorema da decomposição de Wold supõe que o processo de ruídobranco é transformado na observação x t , através de um filtro linear,conforme esquema apresentado na Figura l, a metodologia de Box & Jenkinssupõe que o processo de filtragem do ruído branco pode ser decompostoem três etapas, conforme a Figura 2 está a indicar: um processo de filtragem"média móvel", através do qual o ruído branco é transformado emet; um processo de filtragem "auto-regressivo estacionario", transformandoet e m Wt; e, caso a serie seja não estacionaria, um processo defiltragem "somatório" transformando Wj- na observação da serie temporal x t ,45rufdo branco•tS/filtro linear série temporal x*,Figura 1 — Diagrama de um modelo de filtro linear para séries temporaise (B)sérieruído branco x•t)filtromédia móvel\•, >filtreestacionarioauto-regressivo«tN>filtrosomatóriotemporal x/x tFigura 2 — Diagrama do processo ARIMA para modelagem de séries temporais

463.2 — Modelo Média MóvelSeja a decomposição do Ceorema de Wold, dado através do processo linearestabelecido pela equação (3.1). Considerando que somente as primeiras"q" ponderações são diferentes de zero, então o processox =a -8 a n - O a „-...- 9 a kt t L t-1 2 t-2 q t-q= (l - 9 ,B - 9.,B - ... - O B q ) a =í / q t= O(B) adefini-é chamado de processo média móvel de ordem "q", simbolicamentedo por MA(q).Assim, em um processo média móvel de ordem "q", cada observação daserie e gerada por uma media ponderada do presente e "q" valores passadosde um processo de ruído branco. Em outras palavras, um processomedia movei e um processo de filtro linear do tipoqx =a - . L .. 8 . at t j = l j t-jEm geral, em sua postulaçao parcimoniosa adquirem particular importânciaos processos de primeira e segunda ordem: MA(1) e MA(2).O processo media movei de ordem "q", MA(q), apresenta as seguintescaracterísticas:- a media e independente do tempo, E(X(.) = y;- como cada a t e gerado pelo mesmo processo de ruído branco, E(a^) == O, E(a 2 ) = c/ e E(a , a . ) = O, para k ^ O, então o processo ét o. t C K.descrito por q + 2 parâmetros que são a média y, avariancia do ruídoa e os pesos 9 6 Q . e ;a l / j q- a variancia do processo e:a 2 + O, a- + ... + O 2 a 2 - O - ... - 0) =a l a q aa ' 1- a função de autocorrelaçao e dada por:-8, +88. , + ...+ O ,8k l k+1 q ~ k c l y se b t k IS. = l 1,^-,...^'! 7 n, se k :• q.

Deve-se observar que um processo media movei de ordem "q" apresenta coeficientede autocorrelaçao igual a zero para k>q. Ou seja, o processoestoclstico no período "t", x , só está correlacionado com x ,., x ,„t±3' ''•'t±q. Para os demais valores da série não há correlação. Issosignifica que o processo não sofre influencia de eventos que ocorramalem de "q" períodos de distancia. Diz-se, então, que o processoMA(q) possui uma "memória" de "q" períodos, pois desconsidera, ou melhordizendo, esquece o que ocorreu a distâncias superiores a "q" períodos.Deve-se notar, também, que a obtenção dos valores da função deautocorrelaçao se apresenta útil a medida que permite especificarV47Condições de inversibilidade e estacionaríedadeSeja um processo media movei de ordem "q", então:x =a - 8, a .-...-8a. =t t l t-1 q t-q= (l - 0^ - 9 2 B 2 - ... - 6 q B q )a t == 6(B) a fc6" 1 (B) x = aTT(B) x = a onde TT(B) = 8~ 1 (B).Conforme se viu no item 3.1, a condição de inversibilidade do processolinear e que ir (B) convir j a para o interior ou fronteira do circulo unitário.No caso de um MA(q),ir(B) = (l - 8,B - 8,,B 2 - ... - 8 B q )~ 1 = S" 1^).l 2 qSe 8 (B) deve convergir, então necessariamente as raízes da equação característica6(B) = l - 8,8 - 8_B 2 - ... - 6 $1 = O devem estar todasq• -fora do circulo unitário. Ou seja, os valores solução B., i =l,2, ...,"q" da equação acima devem ser todos maiores que um, em valor absoluto.Para que haja estacionariedade, note-se que um MA de ordem "q" implicaque a série f (B) = 6 (B) = l - 8 ] B - O^2 .- ... - e q Bl seja finita.Então, as condições impostas para estacionariedade de um processo linear,expostas no item 3.1, não são necessárias para um processo MA(q)garantir sua estacionariedade. Um MA(q) , com "q" finito, será sempre estacionário.Os modelos média móvel usuais em séries econômicas,MA(1) e MA(2), apresentamas seguintes características:

48Processo Média Móvel de Primeira Ordem: MA (1)ModeloCondições de estacionariedadex = u + a - (j, at t i t-1Como o processoe. de ordem finita, o MA(1) é sempre estacionário.Condições de inversibilidadePara que o processo seja inversivel, a serie Tr(B) deve convergir para|B| < 1. Como TT (B) = 6" 1 (B), as raízes da equação característica 6 (B) = Odevem cair fora do circulo unitário.Para um MA(1), f] (B) = (l - OjB). Como a raiz vale B^" 1 , então |6j| < 1.MédiaE(X t ) = E(y + a t - 9ia t _ 1 ) == ECu) + E(a t ) - E^a^) == y + O - O =VariánciaVar(X t ) = E(X t - u) 2 = E(a t -= (l - e 2 -) a 2J. 3.Coeficiente de autocovariância= Var(X t ) == E(a tY. =E(a t - ^t_ l )(- t _. ~ e iat _= O, quaisquer j > 1.Coeficiente de autocorrelaçãoPI = - e 1 /(i + Q^)p. = O , qualquer j > 1.

49Processo Média Móvel de Segunda Ordem: MA (2)ModeloCondições de estacionariedadeComo o processo é de ordem finita, o MA(2) e sempre estacionãrio.Condições de inversibilidadeAs raízes da equação característica 9(B) = 1- 8-,B-62B 2 -C devem cair íorado circulo unitário. Então devem satisfazer a:0 2 + 6 ! < l6 2 - e, < lMédiaE(X t ) =E (y+ a t -9 i a t _ 1 -6^^)= p + E(a t ) - e,E(a t _ 1 ) - ^(a^)= u + O - O - 0 =Variãncia= yVar(X t ) = E(X t - y) 2 = E(a t - 6 ] a t _ 1 - 6= a 2 + e, 2 o 2 + C,, 2 aa I a ± z= (i + e, 2 + e 2 ) a 2j- a aCoeficientes de autocovariânciaY c = Var(X t ) = (l + 6^ + 9 2-,,, z 2 )a 2aY; = E(a t - 8 i a t _ 1 - e 2 a t-2 )(a t-l " 9 l a t-2 ~ e 2 a t-3 }= - V 1 - V V

50Y2 = E(a t - 6 1 a t _ 1 '^t^ (a t-2 " 9 l a t-3 " 9 2 a t-4 )y. = O , qualquer j > 2.Coeficientes de autocorrelaçãoPTl =L + 62 + 9 2l + 6 +p. = O , qualquer j > 2.e 9 que sa-A figura a seguir ilustra as várias possibilidades para 9tisfazem a condição de inversibilidade de um MA(2).O «2Figura 3 — Regiões de admissão para que um MA(2) seja inverswel

3.3 — Modelo Auto-Regressivo51Seja a decomposição do teorema de Woid, dado através do processo linearestabelecido pela equação (3.4). Considerando unicamente as primeiras"p" ponderações diferentes de zero, então a observação x é gerada pelamedia ponderada de, somente, as "p" primeiras observações próximaspassadas da variável, acrescidas de uma "disturbancia" aleatória do períodopresente a . Então, o processoX t = Vt-1 + Vt-2i chamad He processo auto-regressivo de ordem "p", simbolicamente definidopor AR(p) .Na postulaçao parcimoniosa de modelos , adquirem especial importância osprocessos auto-regressivos de primeira e segunda ordem, AR(1) e AR(2) .O modelo auto-regressivo de ordem "p", AR(p) , apresenta as seguintescaracterísticas :- a media independe do tempo, se e somente se, o processo for estacionãrio.Nesse caso, como E(x ) = E(x .) = ... = E(x ) = y , então,Se o processo é estacionario, a media E(xt) = y deve ser uma constante.Portanto, uma condição necessária (porém não suficiente) para que o processoseja estacionario e que sua media seja finita e determinada. Ouseja, necessariamente deve ocorrerConseqUentemente, se o processo auto-regressivo for estacionario, a média será zero somente se o termo constante S for igual a zero.Condições de inversibilidade e estacionariedadeSeja um processo auto-regressivo de ordem "p". Então,x =ó,x . + ct> 0 x T+...+JJ x. +attv l t-1y 2 t-2 -p t-p

Conforme se viu no iteia 3,1, para que o processo linear definido pelaequação (3.1) seja estacionário, e necessário que W (B) convirja paraB | l l . Ou seja, como Y (B) = (^(B) , sejam G±~ l , i = l, 2, 3, . . . , p, asraízes de cj>(B) = 0. Então, (J>(B) = (1-G^B) (1-G 2 B) ... (l-G p B) e, expandindoem frações parciais, tem-se o modelo AR(p):X t - >HB)a t - * (B)a t - a t .Como para í' (B) = (B) convergir deve-se ter, necessariamente, BJ < l,então GÍ l , = l , 2 , 3 , p, o que é equivalente a dizer que asraízes de y (B) = O devem cair fora do circulo unitário.Para a condição de inversibilidade , note-se que um AR(p) , comnito, implica que"p" fi-TT(B) = cf (B) = l - j_B - ^> 2 B 2seja finito. Então, as condições impostas para a inversibilidade doprocesso linear, expostas no item 3.1, não são requeridas paraumAR(p)com "p" finito. O processo AR(p) sempre será inversível.Deve-se ressaltar que as duas formasmodelo linear geral,equivalentesdeapresentação doonde= TT~(B),refletem a dualidade existente entre esses modelos lineares. Pode-seperceber a dualidade entre a estacionariedade e a inversibilidade doprocesso, as quais são caracterizadas em função da convergência das sériesH 1 (B) e ir (B) respectivamente. A estacionariedade funciona para osprocessos auto-regressivos , assim como a inversibilidade funciona paraos processos media moveis.Processo Auto -Regressivo de Primeira Ordem: AR (1)ModeloXt=Condições de estacionariedadeA raiz da equação característica í|'(B)=0 deve ser tal que | . < 1.

53Condições de inversibilidadeComo o processo l de ordem finita, o AR(1) é sempre inversível.MédiaE(x t ) = E(,5 1 x t _= 6 [V - & - E(a t ) =VariânciaE(x t - y) 2 = E(ó x t _ 1 + ô + a t - Ô/U-?-,;) 2 == a 2 /(i - ó 2) (3. 5)a lCoeficientes de covariáncia= EC -=EAssim, para k=l , j =

54Coeficiente de autocorrelação>k h 'o kp, = = = cp. qualquer kk y Y T JL , i MokNote-se que, como p, = i , a observação presente depende de todos o;valores passados, embora seu grau de dependência decline com o tempo.Consequentemente, o processo au to-regressi vo estacionario de prineiraordem tem memória infinita.Processo Auto-Regressivo de Segunda Ordem: AR (2)Modelox t = «|, 1x t_ l +

55Coeficientes de autocovariánciaY k = E( VVk> =E [ ( Vt-l- + Vt-2 + a t )X t-Note-se que:Vk-2se k = O,se k - l,se k = 2, Y2 = E(5 t .x t _ 2 ) = Ep^UjX^ + ^^ + a^ j == «l E(x t-r x t-2 ) + *2 E(x t-2- X t-2 ) + E(a t' x t-2 ) == 2, y k = ^ y k _ 1 +

56se k = 2, p 2 = "í^p-, + ií ) 2P == «K + *T =se k > 2, p k = * 1 p k _ 1 + ^p k _ 2 .tem-se que sua covariân-Em geral, para um processo AR(p) estacionãrio,cia vale\ - *iVi + Vk-2 + ••• + Vk- P > k > 0 >e seu coeficiente de autocorrelaçao valep k = V k -l + *2 p k-2 + '•• Vk- P 'k > °onde os parâmetros 4"-,, §2 > •••» * podem ser obtidos através das chamadasequações de Yule-Walker. Ou seja, se pj, P£, P3 ..... p são conhecidos(e, em geral, o são através da função amostrai de autocorrelaçao),então o conjunto de equações p. , para k = l, 2, 3, . . . , p:KP 2 = Vi + *2 P op p = *l p p-l + *2 p p-2 + ••' + *p p o'chamadas equações de Yule-Walker, pode oferecer os valores dos parâmetrosatravés da resolução simultânea do sistema.e multiplicar ambos os membros por x , e utilizar o operador expectância:E(a t ' x t-k>T kbasta dividir a equação acima por T para se obter o coeficiente de autocorrelaçao p. ;

57Sinteticamente, podem-se expressar as equações do Yule-Walker porp p-l p p-2p p-3 '•• p oe a solução do sistema e dada, conseqUentementê, por3.4 — Modelo Auto-Regressivo — Média MóvelSeja um processo estocastico estacionario. Se o processo apresenta característicasque não permitem sua descrição através de uma parametrizaçaoparcimoniosa de um processo puramente auto-regressivo ou puramentemedia movei, pelo fato de seu comportamento incluir característicasde ambos os tipos de processos, então, considerando um modelo misto,obtido pela agregação desses dois processos, auto-regressivo e mediamovei, tem-se;nt-1+ 6 + a_ - 6-, a_ nt L t- 13 a (3.8)q t-qou V x ~ a.P t-p t3 aq t-q

58Portanto,5 = 'i' 1 (B) 8 (B)2 ql - e-,B - e 2 B- ... - e BAssim, um processo misto auto-regressivo estacionario-media movei podeoer suposto como sendo gerado de várias maneiras:- cada observação da serie X(- e gerada por um filtro linear cuja funçãode transferência é a razão de dois polinômios, B(B) de grau "q"e !(>(B) de grau "p", quando o "input" e um processo de ruído branco;- como um processo auto-regressivo de ordem "p",CB)x t = e tonde, pôsteriornonte, esegue um processo media movei de ordem "q",e t = 8(B)a t ;- como um processo média móvel de ordem "q",x t = 6(B)b tonde, posteriormente, b segue um processo auto-regressivo de ordemV\Portanto,v(B) b t = a t •c(B) S = 8 (B) V(B) b = 8 (B) a.O processo misto auto-regressivo estacionário-media móvel, ARMA (p, q),apresenta as seguintes características.MédiaE(x t ) =6 + E(a t ) - 9 1 E(a t _ 1 )-...-9 q E( a^q)

59Condições de inversibilidade e estacionariedadeComo os termos do processo media movei da equação (3.8) não impõem nenhumaexigência para a estacionariedade do processo misto ARMA (p,q), entãoesse terá suas condições de estacionariedade estabelecidas somentepela parcela do processo auto-regressivo. Assim, a equação4>(B)x t = 9 (B) a tserá originária de um processo estacionário se (B) = O tiver todas assuas raízes fora do círculo unitário. De forma semelhante, para o processoser inversível, exige-se que as raízes de 6(B) = O fiquem fora docirculo unitário.Funções de autocovariância e autocorrelaçãoObtém-se de forma semelhante a utilizada para um AR(p). Seja o processoARMA(p,q), dado porx .=

60Para k < q, o processo misto auto-regressivo estacionario-media moveiterá "q" coeficientes de autocorrelaçao, p , p _ , ..., p , ..., p,,cujos valores dependerão tanto dos parâmetros do processo media movei6 l, 82, 6'i, •••, 9 , como dos "p" parâmetros auto-regressivos i, , „l í ! 3,• • • , '^p-Na prática, os modelos ARMA(p,q) conseguem descrever satisfatoriamenteas series de tempo com um numero bastante reduzido de parâmetros. Emgeral satisfazem ã condição de p + q - 2.O processo misto auto-regressivo-media movei irais freqüentemente encontrado,o ARMA(1,1), apresenta as seguintes características.ModeloX t = l X t-l + + a t - 6 l a t-lx t - IVI = a t - e l a t-l(l - ^ ( < * > - & ) converge. Para tanto, | q, \ '• 1, que e a condijj - l l 1 1 icão de estacionariedade requerida para um AR(1).

61Condição de inversibilidadePara um processo ser inversivel é necessário que Tf(B) convirja.Semelhantemente ao que foi desenvolvido para o estabelecimento da condiçãode estacionariedade, pode-se escrever a equação (3.12) como umprocesso auto-regressivo infinito, bastando para tanto substituir aseqtlenciade valores a f_-> i = 1> 2, 3, ... em (3.12). Nesse caso, os pe-Í — l ~sós TT.=9-]_ (•]_ - 0 ]_) , para satisfazerem a condição de inversibilidade,devem ter 10,1 < 1.MédiaVariância e coeficientes da autocovanânciaO i aa a(> Y - 6, a 2 =J o J- a(l - 40 )(

62Coeficientes de autocorrelação^-1 Y oPI =-YO i + e* - 2o 1 e 1Y 0íi(KY,ilP k = Ó lk-1' 1 ualc l uer k - 2 •Note-se que, como o processo e um ARMA(1,1) , e função de ^ e 8^. A funçãode autocorrelação apresenta um decréscimo exponencial a partir dep, . A presença do termo média móvel entra na determinação de p-^ somente.As restantes autocorrelaçoes são determinadas pela parte auto-re—gressiva do modelo. Consequentemente, a função de autocorrelação combinacaracterísticas de MA(1) e AR(1).3.5 — Modelo Auto-Regressivo Integrado — Média MóvelSeja um processo estocástico não estacionário. Se esse apresenta característicastais que sua não estacionariedade é do tipo homogêneo, istoé, que permite sua transformação em série estacionaria pela aplicaçãodo operador diferença, então o processo não estacionário homogêneo, descritopela transformação da serie em estacionaria e, posteriormente, pelautilização de um processo misto auto-regressivo-média móvel, é chamadode processo Auto-Regressivo Integrado-Média Móvel de ordem (p,d, q) ou, simplesmente, definido por ARIMA (p, d, q). Simbolicamente,(B) v d x t = e(B)a t •Note-se que, conforme foi visto nos itens anteriores deste capítulo, aexigência para que o processo ARMA (p,q) seja estacionário esta somentena parcela do modelo descrito pelo processo auto-regressivo. Ou seja,as raízes da equação característica (t (B) =0 devem todas, necessariamente,cair fora do círculo unitário. Porem, se houver raízes quecaiam dentro ou na fronteira do círculo unitário, o processo deixa deter comportamento estacionário, passando a possuir um comportamento nãoestacionário explosivo ou não estacionário homogêneo.Define-se uma serie não estacionaria homogênea de ordem "d" como aquelaonde "d" raízes da equação característica (B) = O caem sobre a fronteirado circulo unitário e as demais fora dele.

63Conforme o exposto no item 3.1. o operador diferença e tal que sua aplicação"d" vezes é capaz de transformar o processo homogêneo evolutivoem estacionario. Portanto, considerando o modelo:', (B)x = 0(B)a ,onde :•' (3) é um operador auto-regress ivo não estacionário homogêneo, talque "d" raízes da equação característica !(B) = O estão sobre o círculounitário e as demais fora, então pode-se estabelecer que:;(B)x t = (b)(l-B) d x t = e(B)a t . (3.13)Repare-se que, como V >• = V x , d = l, 2, ..., e indiferente escrever? (B)x ou : : (B)x no modelo (3.13). Portanto, o modeio ARIMA (p, d, q)vale:-(B)x = -(B)(l-B) d x = e(B)a (3.14)(f-(B)w = O (B) a , com w = V x ,onde•', (B) e um operador auto-regressivo estacionário.Deve-se observar que w =V x => x = S w , o que permite estabelecera equação (3.13) por'."(B) S d w t = e(B)a f , (3.15)onde x = S w é uma série não estacionaria homogênea de ordem "d".Dessa maneira, o modelo definido pela equação (3.15) permite que, aplicandoo operador diferença "d" vezes a serie homogênea não estacionaria,essa se torne capaz de ser representada pelo modelo estacionárioauto-regressivo-média móvel.O modelo ARIMA (p,d,q), assim definido para descrever uma série temporal, é:UB)x t = (B) 7 d x t = 6(B)a t ,onde:- -'(B) é chamado operador auto-regressivo. Supõe-se que seja estacionário,isto e, que as raízes de .'(B)=0 caiam fora do circulo unitário;- S(B) = V :(B) é chamado operador auto-regressivo generalizado. É umoperador não estacionário, com "d" raízes da equação característicaí(B) = O iguais a um e as restantes fora do círculo unitário;- 9(B) e chamado operador media movei. Supõe-se que e inversível,ou se j a,as raízes de 8(B)=0 devem, todas, cair fora do círculo unitário.

64Observe-se que, se d=0, o modelo ARIMA (p,O,q) representaestacionario descrito por um ARMA (p,q).Da mesma forma, e possível descrever a serie estacionaria wum processounicamentepor um processo auto-regressivo ou unicamente por um processo mediamovei. Assim, se w e somente um AR(p), então o modelo ARIMA (p,d,0) setorna somente um modelo Auto-Regressivo Integrado de ordem (p,d), denotadopor ARI (p,d). Semelhantemente, se w e descrito somente por umMA(q), então o modelo ARlMA(0,d,q) se torna um modelo IntegradoMovei de ordem (d,q), definido sinteticamente por IMA(d,q).MediaEm geral, o número de vezes "d" de diferenças que se deve obter paraque a serie Vd x possa ser representada por um modelo estacionario inversívelARMA(p,q) e, no máximo, igual a dois.Os casos onde d = l e d=2 se caracterizam por descrever não estacionariedadequanto ao nível e/ou quanto a inclinação, os quais abrangem a grandemaioria dos comportamentos das series encontradas na vida real.Necessita-se de d=l quando a serie não e estacionaria, somente porqueocorrem trocas aleatórias em relação ao nível. Ou seja, quando o comportamentoda serie oscila ao redor de um nível durante um certo períodode tempo e apôs passa para outro nível, sem que haja troca significativade direção da serie. Nesse caso, diz-se que a serie e não estacionariahomogênea de grau um ou que apresenta uma tendência estocãsticaem relação ao nível da serie. Essa situação é visualizada graficamentena Figura 4 e, na pratica, esse tipo de comportamento é característicoda maioria das séries econômicas de tempo.A não estacionariedade homogênea de ordem um pode ser percebida a partirdas equações (3.13) e (3.14), que comprovam o fato de a série nãoser influenciada pelo nível do processo. Nesse caso,para qualquer constanteK, t em-s e:;(B)(x t + K) = §(B)x t ,ou seja, :-(B)K = 0. Isso implica que : (1) = O, vale dizer que f (B) temum fator (l - B) e, portanto, ao se diferenciar uma vez, obtém-se umaserie estacionaria.Figura 4 — Gráfico de uma série não estacionaria quanto ao nfvel

65Necessita-se de d=2, quando a série é não estacionaria também quanto ãinclinação, ou seja, quando o comportamento da serie oscila em uma direçãopor um certo período e, após, muda para outra direção, conformese visualiza na Figura 5.x t /NFigura 5 — Gráfico de uma série não estacionaria quanto ao nível e à inclinaçãoA componente tendencial e o modelo ARIMAO modelo ARIMA, ate aqui exposto através das equações (3.13) e (3.14), étal que a série não i influenciada pelo nível nem apresenta persistênciaem relação a alguma direção que possa caracterizar tendências determinísticas.Em termos da equação (3.14),1

66Portanto, o modelo descrito pela equação (3.14) pode ser generalizadopela inclusão de um termo constante, o qual permite a descrição de possíveltendência determinlstica.Então,9(B)a t . (3.16)A componente sazonal e o modelo ARIMAEm grande numero de series temporais, principalmente em Economia, e comumo aparecimento de algum comportamento cíclico de curto prazo (deaté um ano),chamado de sazonalidade.Em vista disso, para um tratamento completo sobre séries de tempo, torna-senecessário caracterizar e eliminar essa função cíclica do tempopara se obter a condição de estacionariedade.Sazonalidade significa uma tendência de repetição de um determinadocomportamento da variável que ocorre com certa regularidade no tempo.Series sazonais são, então, aquelas series que apresentam variações similaresde um espaço de tempo a outro, caracterizando-se por mostraremalta correlação serial entre observações da variável distanciadas peloperíodo da sazonalidade, além, é claro, da correlação serial existenteentre observações próximas.O ajuste sazonal necessário requer alguma forma de eliminação dessacomponente cíclica de curto prazo, ou seja, de eliminar a correlaçãoentre valores sazonais periodicamente defasados.Box & Jenkins sugerem a aplicação de um modelo ARIMA sazonal para descrevera serie possuidora de correlação serial nos períodos sazonalmentedefasados do tipoí(B S )V s D x t = 9 0 + 0(B S ) a t , (3.17)ondes s °s Ps —O(B ) = l - $iR - $98 -...-$ B e o operador auto-regressivosazonal de ordem "p", estacionário;s s 2.S Os •— -• —0(B ) = l - 9-^B - 626 - ... - CUIT' e o operador media movei sazonalde ordem "Q", inversível;V = (l - B S ) é o operador diferença sazonal, tal que V x = x -xS S ti L L Se "D" indicam o número de diferenças sazonais.Deve-se notar que (3.17) busca descrever somente o comportamento sazonal.Nessa equação, a t não é um processo de ruído branco, pois ainda per-.;;; ;i n i' c f :n as correlações entro observações próximas.

Para descrever essas correlações para os cc t , cuja sazonalidade já estádescri* a por (3.17), usa-se o modelo comum ARIMASubstituindo (3.18) em (3.17), tem-se: (B) V d a fc = 6(B)a t • (3.18)V d V° x = 9 n + 9 (B) Q(B S )a , (3.19)o qual Box & Jenkins denominaram modelo ARIMA sazonal multipli cativo deordem (p, d,q)x(P, D, Q) , simbolicamente chamado de SARIMA (p, d, q) x(P, D, Q) .Note-se que, para obter uma serie estacionaria, w , deve-se tomar "d"diferenças simples e "D" diferenças sazonais da variável x , ou seja,„ =t

4 - O PROCESSO DE MODELAGEMOs modelos completos ARIMA (p,d,q) e sua variante sazonal SARIMA(p,d,q) x (P,D,Q), definidos no capítulo anterior, são tidos como algunsdos meios mais poderosos e úteis para representar modelos de sérieseconômicas de tempo e, conseqUentemente, para inferir previsõessobre os movimentos futuros da variável.O processo de construção de modelos proposto por Box & Jenkins está absentadoem um ciclo iterativo, composto de três estádios: identificação,estimação e checagem do diagnostico.A identificação consiste no estabelecimento da ordem i.p,d,q) — ou, nccaso sazonal, (p,d,q)x(P,D,Q) — e deve ser determinada inicialmente.Essa fase é a mais crucial, requerendo certo grau de conhecimento teóricoe experiência sobre o assunto, uma vez que a definição do tipo demodelo que se ajusta aos dados do mundo real e precária, de difícil caracterização,feita através de medidas amostrais, o que implica uma identificaçãogeralmente inexata. Ê" comum, inclusive, que a avaliação f ei tá nessaetapa sugira a viabilidade de a serie ser ajustada por mais de um modelo.O grau de acuracia, entretanto, poderá ser aumentado no decorrer dasetapas do ciclo iterativo de modelagem.Concluídas as fases de identificação da ordem e de estimação dos parâmetrosdo modelo, que fornecem as estimativas dos parâmetros auto-regressivose médias moveis, deve-se realizar um processo de checagem dodiagnostico, isto é, de verificação da acuracia do modelo estimado naetapa anterior, com o fito de avaliar quão bem o modelo matemático estaajustado aos dados da realidade. Caso se verifique que um modelo não éadequado, o ciclo será repetido.Para facilitar processos computacionais, é bastante comum trabalhar^se commais de um modelo durante o ciclo iterativo de modelagem. No final do ciclo,a etapa de checagem do diagnostico permitira avaliar a viabilidade do ajustamentopara cada um dos modelos sugeridos na fase de identificação.De outra parte, se mais de um modelo se apresenta viável, têm-se meiospara escolher aquele que melhor atende as finalidades do estudo.Assim,por exemplo, para fins de previsão, a escolha deve recair naquele queapresenta menor erro de previsão,vale dizer,menor erro quadrático médio.O processo de construção de modelos pode ser estabelecido como segue.4.1 — Modelagem de Séries Não Sazonais:Modelo ARIMA (p, d, q)t4.1.1 - A IdentificaçãoA identificação compreende um conjunto de procedimentos com o objetivode proporcionar uma idéia aproximada da estrutura do modelo. Assim, aidentificação e a etapa onde se estabelecem as características básicas

70da serie, tais como o tipo de processo gerador (estaci onario ou não estacionãrio); a existência ou não das componentes sazonal e tendencial,e que capacita o pesquisador a estabelecer a ordem do modelo que seajusta ã série observada; e as estimativas iniciais para os vai ores dosparâmetros envolvidos.Como primeiro passo na identificação do modelo, é conveniente plotar osdados para se obter, "a priori", uma idéia do comportamento das observações.Já neste momento, pode-se detectar informações úteis que poderãoabreviar alguns procedimentos posteriores. A grosso modo, pode-seperceber se a serie e ou não estacionaria, e ou não sazonal, e algumaidéia sobre a necessidade de transformações.A possibilidade de transformação é salientada por Box & Jenkins pelofato de a modelagem ser sempre melhor se os dados são homoscedasticos .Assim, se a serie apresenta heteroscedasticidade , e conveniente fazer--se uma transformação a fim de tornar sua variancia constante.Para facilitar a tomada de decisão sobre qual a transformação que melhorse adapta, e sugerida a utilização de um grafico cartesianodo tipoamplitude y media, o qual apresenta em um eixo a media de segmentos deobservações da serie original (no caso de dados sazonais, o comprimentodos segmentos deve ser de ura cie l o completo ; caso os dados não sejam sazonais,8 a 12 observações satisfazem) e no outro a amplitude de cadaum desses segmentos. A idéia básica desse grafico e colocar em um eixouma medida de posição e, no outro, uma da variação. Se a amplitude forindependente da média, não há necessidade de transformação. Se for diretamenteproporcional , a transformação sugerida e a logarítmica natural.Representando a transformação por Zt(A), onde A é um vetor paramétricoa ser estimado, Box & Cox sugerem as seguintes ai ternat i vás , es tando algumasilustradas na Figura 1.Z,,-. i (Z v ' - C)/A , para A + O' log Z, para A = ODeve-se notar, entretanto, que o problema da conveniência de se fazertransformações e ainda ura campo bastante controverso. Embora Box & Jenkinssugiram sua feitura, outros autores questionam a sua utilidade e aqualidade das previsões assim obtidas, as quais podem estar ocasionandotendenciosidade em seus estimadores .A identificação do modelo, entretanto, envolve o estudo da função deautocorrelação . Essa função irá, conforme visto no Capítulo 2, diagnosticaras principais características da serie, permitindo ao pesquisadorinferir informações sobre a estrutura do modelo gerador.' t ssf i.' o caso mais comum cm scncs econômicas, onde a componente tendencial mdu/ o crescimento da vananciaa medida que o (empo pass.t: Ver a rcspcho. entre outros. M l SO\ i I47.il. (,R \S(,I K & M \Vli()[ I) l !

71/Ml-UIAFigura 1 - Gráfico "Amplitude x Média" para alguns valores possíveis de AA função de autocorrelaçao, inicialmente, informara se o processo geradoré ou não estacionário. Para tanto, deve-se lembrar a característicadessa função em uma serie estacionaria, a qual, conforme expostono Capítulo 2, deve aproximar-se rapidamente de zero quando "k" cresce.Se os coeficientes de autocorrelaçao possuírem valores grandes etiverem uma diminuição lenta, enquanto "k" cresce, indicam que a sériee não estacionaria.Esse fato pode ser comprovado a partir da equação (3.11), onde a funçãode autocorrelaçao de um modelo ARMA estacionário satisfaz a equação(B)P, K = O, k>q. Seja c|)(B) = (1-G,B) (1-G B) ... (1-G B). Entãoasolu-L l. pçao para os coeficientes de autocorrelaçao, supondo raízes distintas,k k ke dada por p, = A n G, - A 0 G 0 - .... - A G , k>q-p. Se o modelo é t-skl l 22 P Ptacionario, G.0, pequeno, então, como G. = (1-A) = 1-kA , ten;--se que p =A.(l-kA), fato que indica um declínio lento e linear paraízero da função de autocorrelaçao 3 . Nesse caso, se a queda demorada ocorrede forma regular e contínua, conforme Figura 2, a série I não sazonal ; sea queda demorada ocorre de forma descontínua, apresentando picos regularespelo período "s" de sazonalidade (Figura 3), ou em um padrão cíclico, com períodoigual a"s" (Figura 4),a serie e sazonal de ordem "s".

72Figura 2 — Correlograma de um processo não estacionário não sazonalO s 2s 3s 4sFigura 3 — Correlograma de um processo não esí acionário sazonal2sFigura 4 — Correlograma de um processo não estacionário sazonal

O processo de transformação da serie não estacionaria em estacionariaé feito através do operador diferença, V c '=(l - B)^. O número "d" de diferençasnecessárias para se obter a cstacionariedade da serie e alcançadoquando a função de autocorrelacao da série W t = V^Xj. decresce rapidamentepara zero.Na maioria das séries, o número de diferenças "d" é pequeno,com d < 2.Para tais casos, a análise das autocorrelaçoes é suficiente, em geraj-,com uma inspeção nos 15 ou 20 coeficientes iniciais de autocorrelacao(isto ê, p k , k=l, 2, 3, ..., 20).Deve-se notar, entretanto, que essa forma de obter "d" se baseia em umaavaliação subjetiva do pesquisador. O julgamento do fato de a função deautocorrelacao decrescer rapidamente para zero poderá apresentar situaçõesde duvida.Como foi visto, o numero de diferenças necessárias para tornar a serieestacionaria e igual ao numero de raízes da equação característica(B) = O que caiam sobre a fronteira do círculo unitário.A dificuldade de julgamento e bastante comum naquelas series onde o modeloé definido por parâmetros que, embora satisfazendo a condição deestacionariedade, se apresentam com valores próximos a fronteira do círculounitário. A queda, nesse caso, da função de autocorrelacao parasucessivas diferenças da serie pode não apresentar alterações significativas.Para facilitar a escolha de "d", ANDERSON (1979) sugere a análise demais um instrumento, que e o estudo do comportamento da variancia dasséries sucessivamente diferenciadas. A análise baseia-se no fato de avariancia de uma série não estacionaria ser maior que avariancia da sérietransformada em estacionaria, através do operador diferença,e, quandoessa e conseguida,uma sobredif erenciaçao (isto e,uma operação diferençaa mais do que o necessário para a obtenção da estacionariedade) apresentaum acréscimo substancial da variabilidade da série.Apôs estabelecer "d", tal que W(- = V Xj. e estacionaria, trabalha-se coma série W t , que pode ser representada por um processo ARMA, para estabelecera ordem (p,q). Como a maioria das séries econômicas se caracterizampor serem passíveis de descrição por um modelo de baixa ordem,onde tanto "p" quanto "q" assumem valores inferiores ou iguais a dois,o estabelecimento da ordem (p,q) torna-se bastante simples, tendo emvista o conhecimento que se tem das características da função de autocorrelacaodas séries descritas por modelos AR(p) , MA(q) e ARMAÍp.q) 14 :um MA(q) tem memória de^"q" períodos e um AR(p), embora possuindo memóriainfinita,tem função de autocorrelacao que declina geometricamentepara zero 5 . Alem disso, para uma definição precisa da ordem "p" de umprocesso AR(p), existe o instrumento da função de autocorrelacao parcialdo processo, a qual, para um modelo auto-regressivo, se apresentacom memória finita de ordem "p".' Deve-se salientar que, se a série não se caracteriza por ser representada por um processo de baixa ordem, a especificaçãode "p" e "q" torna-se bastante difícil, pois o meio dispontVel e' o de tentar adivinhar seus valores, fato que,obviamente, só terá algum valor prático se houver experiência suficiente (e, às vezes, sorte!) no processo de modelagemde se'ries temporais.[ sse é o caso geral, onde as raízes de r/>! Ht são distintas e reais. Se houver raízes complexas, o declínio das autocorrelaçoesterá a forma senoitlal (para maiores discussões a respeito, inclusive demonstração, ver BOX & J l- NKINS (1976).

74A função de autocorrelaçao parcial, denotada por ^kv» e um instrumentoanalítico que, partindo do fato de um processo AR(p) ter uma função deautocorrelaçao com memória infinita, permite sua obtenção através de"p" funções de autocorrelaçao diferentes de zero 6 .Define-se a função de autocorrelaçao parcial por:p; p,se k = lse k _ 2^ é a. matriz de autocorrelaçao elr ^ e a matriz que difere de IP^somente pela ultima coluna, a qual e substituída pelo vetor colunaÍP1.P2.P3. ••-.P k }-Para um processo auto-regressivo de ordem "p", a função de autocorrelaçaoparcial 4>kk será diferente de zero para k l p e zero para k > p.Dessa maneira, embora função de autocorrelaçao de um processo AR(p) tenhamemória infinita, a função de autocorrelaçao parcial, assim definida,possui memória de "p" períodos, permitindo, conseqüentemente, aidentificação da ordem do modelo auto-regressivo.Em geral, o comportamento da função de autocorrelaçao de um processoauto-regressivo tende a imitar o comportamento da função de autocorrelaçaoparcial de um processo média móvel e, inversamente, a função deAs funções de autocorrelação parciais podem ser assim obtidas: seja 0iq o j-e'simo coeficiente de um AR(K), tal que0kk se J a ° último coeficiente. Como se viu no capi'tulo anterior, 0^j deve satisfazer aou, utilizando as equações de Yule-Walker,Pi"W"k-\P k-2p k-3'Resolvendo para os diversos valores de k, tem-se:,; 221 pl1p lp lP 2P,p iP 2 - P]i -P!, '0 33"2 p i "3i P! P 2e assim por diante.

autocorrelaçao de um processo média móvel tende a imitar o comportamentoda função de autocorrelaçao parcial de um processo auto-regressivo.Assim,a função de autocorrelaçao parcial de um processo auto-regressivode ordem "p" tem memória de "p" períodos, enquanto sua função de autocorrelaçaotem memória infinita. De forma inversa, para um processomédia móvel de ordem "q", a fungao de autocorrelagao parcial tem memóriainfinita, enquanto sua função de autocorrelaçao tem memória de ' qperíodos. Se ambas as funções, autocorrelaçaoe autocorrelaçao parcial,apresentam memória infinita, possivelmente um processo misto seja o maisconveniente para descrever a série temporal.No Quadro l, estão sintetizadas as principais propriedades das funçõesde autocorrelaçao e autocorrelaçao parcial, para a identificação dosprocessos auto-regressivo, média móvel e misto (auto-regressivo-médiamóvel), pcxia as ordens comumente encontradas na prática. Nas páginassubseqüentes, apresentam-se os gráficos dos padrões comportamentaisdessas funções.75Quadro lComportamento das funções de autocorrelaçao e autocorrelaçao parcial para o processo ARIMA (p,d,q)de ordens mais comumente encontradas na pr.ttícaDISCRIMINAÇÃO(2,d,0) (O,d,2} (l,d,l)ial e senoidal da primtiíra defatecida

76Padrões de p, e KKKpara um AR(1)Autocorrelaçoes: p. = $KAutocorrelaçoes parciais:~ 2 ' P ° ÍS f 221p l1p lp lP 2p l1P 2 - PJ $1 - 2T " 1 ~ $1 - PJ= O,0 > Oó > O0 2 4 6 8O 10 < O< oJLPadrões de p k e 0 ^ para um AR(2)Autocorrelaçoes: p fcp + 1)1.-, P,_ 2 .Autocorrelaçoes parciais:f lP 2 - P x-''l

'kkhi,.1 O O 1 2l0 2 4 j 618l l 10 2 5 | 824 OliO 1Cada um desses quatro tipos de comportamento dependerade estacionariedade requeridas por esse modelo.dascondiçõesAssim, as regiões admissíveis são as apresentadas a seguir.

-K p, < 1-K p 2 < Tp\ < 1/2(p 2 +O p 2-i M/Padrões de p k e 0 y^para um MA(l)Autocorrelaçoes: pei1 + 8;Autocorrelaçoes Parciais:l - 62< k+1 >

79l 2 3 4 5l M'-''> OO 11 3 l 5 l 7 • 9Padrões de p^ e 0^ para um MA(2):Autocorrelaçoes: p i62Autocorrelaçoes Parciais: semelhantes a AR(2)"k0 kk1 O1 21 2 3 4 5 6l l1 3 5 7O 1 2l .

1 2 3 | j | 8 91 4 5 6 7 | 1Condições de admissibilidade para o MA(2)1 /KP: + p, = --0,5P: - P, = - 0,5OPip| = 4p ; (1 -2p :-1 O-1Pi

81Padrões de p ^ e (4 ^ para um ARMA( 1,1)Autocorrelaçoes: p, = P I> k :• 2Autocorrelaçoes Parciais:

82Condições de admissibilidade para um ARMA(1,1):e,-1\p 2 \< Ip, lP 2 > p,(2p, + 1), p, < OP 2 >p,(2p, - 1), P! >0-1

Na prática, porém, surge outro problema, ã medida que não se dispõe dasfunções de autocorrelaçao e autocorrelaçao parcial teóricas, necessitando-setrabalhar com suas funções estimadas. Isso porque e importanteter alguma indicação de quanto um valor estimado pode diferir do valorteórico correspondente. Ou seja, torna-se necessário usar algum instrumentopara detectar se, de fato, os coeficientes de autocorrelaçaoe autocorrelaçao parcial são efetivamente zero após alguma determinadadefasagem 'V'.Box & Jenkins sugerem, como instrumento, uma simplificação da formulade Bartlett para grandes amostras , através da qual podem-se calcularerros padrão das autocorrelaçoes e autocorrelaçoes parciais estimadas,denominadas erros padrão de grande defasagem, onde as estimativas amostrais substituemas autocorrelaçoes teóricas. Essa fórmula é dada por:835 (rk) = -J- /l - 2(rj + r2 + ~ . + r')', k :- qvnPara as autocorrelaçoes parciais, o erro padrão de grande defasagem édeduzido com a hipótese de que o processo e auto-regressivo de ordem"p". Sua fórmula é dada por:A distribuição dos coeficientes de autocorrelaçao e autocorrelaçao parcialestimados, onde o valor teórico respectivo e zero, e aproximadamenteuma Normal. Então, o valor estimado r^, dividido pelo seu erro padrão,será uma variável normal padronizada. Resultado similar obtém-separa as autocorrelaçoes parciais.Esses aspectos proporcionam meios bastante bons para verificar se asfunções de autocorrelaçao e de autocorrelaçao parcial teóricas sãoiguais a zero, após alguma determinada defasagem. Como se sabe, em umadistribuição Normal, distancias que excedem um erro padrão, em módulo,tem probabilidade de ocorrência em torno de 1/3, e as mesmas para doiserros padrões tem probabilidade de 1/20 (5%).Assim, para avaliações com as funções de autocorrelaçao e autocorrelaçaoparcial estimadas, é conveniente plotar linhas de controle em ± âou ± 2a. Se os valores dessas funções caírem na região limitada por7 A expressão para a variância do coeficiente de autocoirelação estimado de um processo estaciona normal, dadopor Bartlett, pode ser assim definida:Como as autocorrelaçoes p v — O para v >q, todos os termos da equação, exceto o primeiro, são zero quando k >q.Então, a variância da autocorrelaçao estimada de defasagem k pode ser obtida usando a aproximação de Bartlett:iVARlr, )=— {l +2 Z p j },k>qkvn v = lFm geral, para maior confiança, c usada uma região limitada por dois desvios padrão estimados.q

84essas linhas de controle, então proporcionam ao pesquisador uma boa indicaçãode que as hipóteses formuladas sobre o tipo de processo empregadosão aproximadamente corretas, isto e, , , e r são si gnif icativa-K.K. K.mente diferentes de zero se !r |>2DP(r ), j>q e |$ . j > 2DP ($,.), j>p.K, K. K, K. rCtCApós a identificação de "d" e da ordem (p,q) da série estacionaria Wç,pode-se, então, verificar a existência do parâmetro 6 o .Para tanto,testa-sea hipótese de E(W t ) ser igual a zero, através da comparação da médiaamostrai W com seu desvio padrão estimado DP(W).Os valores aproximados desses desvios padrão para os modelos usuais,estão sintetizados a seguir, onde n=N-d, sendo N o número de valores dasérie 9 .AR(1) + DP (W) =/ (1+r )(l-2r2+rAR(2) -* DP(W) = /*S 1l —/ (l+2r +2r )MA(2) -> DP (W) = /^ARMA(1,1) -> DP (W) = X 12 - (1+ r r r 2Se o desvio padrão DP(W) > |w , a média pode ser considerada igual azero. Conseqllentemente, 6 =0.Se o desvio padrão DP(W) < |w|, a média pode ser considerada diferentede zero. Nesse caso, como E(w t ) - W = ^ — , o valor de 8 é ob-e1-4^-...-4> ptido após a obtenção dos parâmetros auto-regressivos $ , „, ..., .oPaia a dedução do DP(W) de cada modelo, ver BOX & JENKINS (1976: 193-95).

Por fim, o estudo das funções de autocorrelaçao e autocorrelaçao parcialproporciona as estimativas iniciais para os parâmetros, as quaisserão os instrumentos básicos para, no item subseqüente deste capítulo,produzir as estimativas convenientes dos parâmetros do modelo.No Capítulo 3, as analises dos processos media movei, auto-regressivo emisto auto-regrcssivo-media móvel, para ordem inferior ou igual a dois,proporcionaram as expressões dos coeficientes de autocorrelaçao em termosdos parâmetros do processo. As estimativas iniciais podem ser obtidassubstituindo valores estimados.Deve-se salientar que, no processo de obtenção dos valores parametricos,surgirão, muito freqüentemente, múltiplas soluções para estimativasdos parâmetros, porem somente uma dessas soluções ira satisfazer ascondições restritivas de inversibilidade e/ou estacionariedade.Na página 75, o Quadro l expõe os valores calculados para os parâmetros$ e 9 em função dos coeficientes de autocorrelaçao,para as ordenscomumente encontradas nas séries econômicas de tempo.Da mesma forma, as estimativas iniciais para a Ãa são obtidas pelos valoresda autocovariancia, conforme analise do capitulo anterior.Sinteticamente,suas formulas são:Para um AR(p) : ô 2 = C (l-d>_ r,-

86dignifica, portanto, a obtenção de "p" estimativas para os parâmetros«j)., _, o> . . . $ , e "q" estimativas para os parâmetros 6 ,6_,9,, ...,6 , alem da variancia do ruído, a . ®qaEmbora os parâmetros auto-regressivos sejam lineares, permitindo o usode métodos simples de estimação como, por exemplo, ode mínimos quadradosordinários, os parâmetros media movei não são lineares, o que tornabastante mais complexos os processos de estimação. Por essa razão,a escolhada técnica usualmente utilizada recai no método de máxima verossimilhança.Esse método é uma técnica de estimação bastante usual na inferencia estatística,ã medida que as estatísticas assim obtidas apresentam muitasdas propriedades aconselháveis para a escolha dos estimadores.O principio da verossimilhança sustenta que, se o modelo está corretamenteidentificado, todas as informações que os dados observados fornecemsobre os parâmetros estão contidas na função de verossimilhança,e todos os demais aspectos informativos das observações são irrelevantes.Para grandes amostras, as estimativas da máxima verossimilhança possuemas propriedades assintoticas de:- eficiência, com menor variancia que qualquer outro estimador;- consistência;- no caso de haver um estimador suficiente, ele será o produzido peloestimador de máxima verossimilhança;- ser normalmente distribuído, com facilidade de cálculo para a obtençãodos parâmetros média e variancia.A idéia básica do método de máxima verossimilhança é achar grandezaspopulacionais que gerem os valores que mais se assemelhem aos da amostraobservada, ou seja, o método busca estabelecer os valores populacionaishipotéticos que maximizam a verossimilhança da amostra observada.Dito de outra maneira, o método consiste em selecionar aquelesestimadores que maximizam a probabilidade de se obter a amostra realmenteobservada.No caso de um modelo de regressão, o objetivo do processo de estimaçãode um modelo ARIMA(p,d,q) passa a ser achar um vetor dos parâmetros auto-regressivos§ = (,> $91 •••> $ ) e um vetor dos parâmetros médiasmoveis Q_ = (8 , 9 , ..., 6 ) tais que minimizem a soma das diferençasquadradas entre os pontos observados na amostra e os esperados pela estimativaobtida com esses parâmetros estimados: $_ = ( , rf ...,$),B = (9,, B , ..., S ) e os resíduos â associados com os valores desses~ _ q tparâmetros. Ou seja, simbolicamente, deve-se achar fy_, _9_, tais queS(,6) = I. a 2 seja um mínimo.Por simplificação de exposição, optou-se, aqui, por considerar um modelo onde 8 0 - 0. Caso 9 0 ¥= O, então, tambémesse parâmetro deve ser estimado.

Esses vetores serão $,6, e a , de tal forma que, para a equação í>(B)W =_ _ £ • ^ l= ê(B) â , onde W = V X , S(, S) = E â 2 é um mínimo.Como se supõe que o processo de ruído branco e normalmente distribuídocom E(a )=0 e Var(a ) = o , para qualquer t, então as estimativas demáxima verossimilhança são assintoticamente equivalentes aos estimadoresde mínimos nuadrados.O processo de estimação desses parâmetros é bastante complexo. A minimizaçaoda equação S(J>_,_6) = Ea 2 f requer um método iterativo de calculo,ã medida que os valores de a t dependem dos valores passados e não observáveisde Wj. e at. Assim, por exemplo,o primeiro termo do ruído branco,a\, depende dos valores passados e não observáveis w^,w_ ,w_ 0 ,...,w e a , a , a 0 , ...,a ,. Consequentemente, algum critério de--p+1 o -l —Â -q+Lvê ser usado para estabelecer esses valores não observáveis e assim iniciara obtenção dos valores de a t , antes que o processo de estimação,propriamente, seja aplicado.Box & Jenkins destacam dois procedimentos para a obtenção dos a s .0 primeiro,chamado de condicional, onde, partindo de suposições razoáveisdo ponto de vista teórico, são atribuídos valores aos a^ não observáveis;o segundo, incondicional, onde os valores não observáveis são estimadosa partir da amostra de dados.Critério condicionalPara um processo ARIMA(p,d,q),a série X posáuin + d observações: x ,t l—d+1x _, „, x , . . . , x , x, , ...,X. Através da aplicação do operador di--a+/ -d+j o i nferença "d" vezes, V , pode-se transformar a serie X em W = V X ,com "n" observações w , w , ..., w , onde W é especificado por um ARIMA(p,q). Assim, o problema de estimação de e 8 do modelo ARIMA(p, d,q) ,especificado para a série X t , é equivalente a estimar §_ e Q_ do modeloARMA(p,q) especificado por:a =w - ij),w . - ... -d> w +6,a ,+6 0 a „+ ... +9 a , (4.2.1)t t l t-l p t-p l t-l 2 t-2 q t-q'onde w = w -u, E(w ) = u.Como a t é um processo de ruído branco tal que, para qualquer "i", a^ enormalmente distribuído com media zero e variancia o^'-, a função de verossimilhançapara uma dada serie W^ será logcondicional,associada comos valores paramétricos (^_,^§_ ) a 2 l) , condicionadas as escolhas dos vetorespassados e não observáveisw _ 2 ' •'•' w - p+ i } e a * = (a o' S -l' a -2'

Assim, a função log condicional de Verossimilhança, associada aos vetoresparametricos , 6 e ao desvio padrão residual a , é) = -n In a2o 2 aComo tanto a função de verossimilhança L^(,6 ,a a ) como a função somados quadrados 3^(^,60 são funções condicionadas aos valores passadosnão observáveis de wt e a^, as estimativas obtidas pela função de verossimilhançadependem dos valores que são fixados para esses vetores.De outra parte, a maximizaçao da função de verossimilhança S obtida minimizandoa função soma dos quadrados S^(^,6_) .Entre as alternativas disponíveis para a fixação dos valores iniciaispara os elementos dos vetores não observáveis de W;- e de a;-,a mais simplese que proporciona uma aproximação satisfatória é considerar o conjuntode elementos w^ e a^ igual aos seus valores esperados incondicionais. Os valores esperados incondicionais para os elementos a A são todoszero e, se o modelo não contém a parte determinística (ou seja,8 0 == 0), a media do processo também e zero, o que implica ter todos os elementosde w^, em valor esperado incondicional, também iguais a zero.Embora essa mecânica de iniciação da serie seja bastante boa, gerandoestimativas suficientemente aproximadas aos valores reais para_a maioriadas series usualmente analisadas na prática, essa aproximação podenão ser satisfatória se as raízes da equação (j>(B) = O são próximas docirculo unitário e o numero de observações não é grande em relação aordem (p,q) do modelo.Nesse caso, existem outros procedimentos que estabelecem valores esperadoscondicionados para w í( e a^. Esses procedimentos são,em geral,extensose trabalhosos em termos de operações de cálculo necessárias e,muitas vezes, sua eficiência em melhoria da precisão das estimativasdos parâmetros pode não ser significativa.A sensibilidade dos valores de iniciação da sérj.e dependera do tamanhoda amostra que será modelada relativamente aos valores estabelecidospara "p" e "q". Se a série é pequena em relação a "p" e "q", haverá,possivelmente, algum ganho de eficiência nas estimativas. Porem, se asérie e relativamente grande, a função condicional soma dos quadradosserá, aproximadamente, a mesma que a função incondicional.No caso de se necessitar do ganho de precisão originado pelo uso da funçãocondicional, um procedimento usual para estabelecer valores esperadoscondicionais é iniciar um processo iterativo tomando w^ e a^ comosendo zero. Estima-se o modelo ARMA por minimizaçao de S^C^.jO condicionala esses valores zero, gerando novos valores passados para w..Note-se que, se o modelo não contém a paite auto-regjessiva, os dois procedimentos são equivalentes. Em modelossazonais, entretanto, o primeiro procedimento não apresenta aproximação satisfatória. Ver detalhes em BOX & JEN-KINS (1976).

Um exemplo pratico permite maior clareza no exposto.Seja uma série descritapor um modelo ARIMA (0,d,l). Então,W = a - 9 a , onde W =Nesse caso, a função soma dos quadrados pode ser expressa por:ns^Cep = 2a t 2 (e 1 ) = E (w t + 9 1 a t_ 1 (9 1 )) 2 .Em concordância com o que foi exposto, tomando-se a=0, tem-se:Como ]8]_

90Quadro 2Obtenção dos valores de aem um modelo W =(l-0,4B)atW ta t°' 4a t-l012345678910--3,0-4,04,05,0-4,06,0-3,02,05,0-2,00-3,0000-5,20001,92005,7680-1,69285,3229-0,87081,65175,6607-0,2643-0-1,2000-2,08000,76802,3072-0,67712,1292-0,34830,66072,2643A soma condicional dos quadrados é10S*(0,4) = £ a 2 (0,4/a =0) = 139,7948t=l °(4.2.2)Critério incondicionalUm outro procedimento proposto por Box & Jenkins para a obtenção da funçãosoma dos quadrados é através da função log incondicional de verossimilhança.Pode-se demonstrar 12 que a função log incondicional de verossimilhança,para uma série com número de observações suficientemente grande emrelação ã ordem (p,q) do modelo, é, aproximadamente,S (£,6)L(4>,6,a ) = -n In a ,S E 2 a aonde a soma incondicional dos quadrados vale12 HOX &JINKINS. (19761.n 13SÓ,6) = £ E(a /

Para o calculo de S(_$,ô_), os [ a tj sao obtidos aplicando o operador expectanciacondicional em (4.2.1). Xesse caso, e necessário começar umprocesso recursivo de previsão para trás, para calcular os w ., j=0,l i, ^, ? ...~ JNote-se que a serie estacionaria e inversivel W tem seu modelo ARMAdescrito tanto por91-HB) W= 8(B)comp por (F) W = 9(F) e ,onde F e o operador para diante, tal que FW = W , ; F'W = ri ,,; ....f f H t t +1, t t+2> »conforme o definido no Capitulo 3, e Cj. e um processo de ruídocom E(e t ) = O e Var(e t ) = Var(a t ) =a ? .âAssim, pode-se obter w , w_ , w_ 2 , . .., w_de previsão para trás.branco, a partir de um processoTomando-se o mesmo modelo exemplificado anteriormente, o processo podeser exposto como segue.Um ARIMA(0,d,l) pode ser expresso de duas maneiras:W = (1=9 B)a ou W = (1-9 F)ePortanto deve-se calcularL a tj = [ w th e i [vi](4 - 2 - 3)[ e t] = [ w t] + 0 i [Vi](4.2.4)Nesse caso, a relação (4.2.4) proporciona as previsões para trás e(4.2.3) os [a t ].Numericamente, o exemplo pode ser assimilustrado:seja 9 = 0,4. Então W = (l - 0,4 F)e .["e l = l" w l + 0,4 [en e Ta , = í w l + 0,4 fã _ "] , e o processo recursivode cálculo está exposto no Quadro 3.

92Quadro 3Obtenção dos valores de aem um modelo W =(l-0,4F)e['c][•t]••< [vj[V]'•' [•«]-1 000000 1,47491,474900-1,47491 -3,0-2,41000,5900-3,6872-0,68722 -4,0-4,9640-0,9640-1,71802,28203 4,02,0144-1,98565,70491,70494 5,05 -4,05,8058-1,67770,80582,32234,2622-1,8445-0,73782,15556 6,05,3289-0,67115,3888-0,61127 -3,08 2,0-0,86841,86842,1316-0,3474-1,52803,68001,47201,68009 5,05,66100,66104,2000-0,800010 -2,00,26442,2644-2,00000A soma incondicional dos quadrados e(4.2.5)10S(0,4) = E (a /0,4; W) 2 = 135,0284 .t=l lNote-se que, para esse exemplo, utilizando um MA(1), tem-se:|W l = w , t=l, 2, ..., n é previsto para trás se t l 0;pendentes de w;, ... são nulos,pois e , e , e_«, ..., são indea[ , l a , ... são nulos, pois, em um MA(q), a_ , a_ , ...independentes de w;

para iniciar o processo que se arbitrar el = G . DLsso segue, por(4.2.4), r;,,eO- -2,0] = [ w = 5>0 = 5>0 ~= 4 ' 2f e Q "1= fw Q l + 0,4 e < -> O = i" vi + 0,4(3,6872) < = 1,4749j w_ j | = O, j = l, 2, ...e, por (4.2.3), obtém-se os f aObserve-se que, mesmo para uma serie pequena, a soma condicional dosquadrados (4.2.2) é próxima da sojna incondicional dos quadrados (4.2.5).Após a obtenção dos valores de a t , que permitem calcular a soma dos quadrados,esta-se apto a atender aos propósitos da estimação, ou seja,achar estimativas Jos parâmetros que minimizem a soma dos quadrados.No exemplo dado, uma maneira de obtenção do parâmetro 6^ que minimizeS(9^) seria calcular o processo para vários valores de 6^,acompanhandograficamente a evolução dos respectivos S(61), para então concluirpelo mais eficiente (isto e, por aquele que minimize S(fNa pratica, entretanto, para um modelo mais complexo, envolvendo maisde um parâmetro, tornam-se necessários procedimentos metodológicos maissofisticados para a obtenção precisa dos parâmetros mais eficientes.O processo de calculo sugerido por Box & Jenkins emprega uma rotinaiterativa baseada na expansão da série de Taylor 1Lf para a linearizaçaoda equação geral do modelo ARIMA, a partir de valores iniciais para ,8) que se querpode ser escrita por:,e_) = i f a /í)>,e,wL tS(6_) = 1fã l ' ,_tjn 2a t j .

94Expandindo |_at:/JLjWJ em serie de Taylor (com aproximação para somente asduas primeiras parcelas), a partir dos valores iniciais de B = (B, n,P 2,0' '••' p ), tem-se que:k,0a t /B,w =p+qE«i-*i.o> X i,t'X.. , t3 ^ip+qEssa ultima equação pode ser vista como uma regressão linear múltipla,onde o lado esquerdo é o vetor colunay, composto por t = l, 2, ..., nvariáveis aleatórias dependentes,p+q- Z B- X.y/a / WI B,2 l 2p+qe. x.1,0 i,2p+q: l rr r/w r 1 BT l n- Z g. X. .1,0 i, ne o lado direito composto pela matriz n x (p+q), de p+q variáveis independentes,multiplicadas pelo vetor p+q x l de ... p+q parâmetros desconhecidosque se desejam estimar e mais o vetor de termos residuais:X n 1 A- .. ... A ..1,1 2,1 p+q,l8 ia lX l,2X 2,2 •'• X p+q,2; (B =S 2; a=a 2X 1 X 0 ... Xl,n /,n p+q,nB p+q J'a nSinteticamente, =

95Porque os [e.t/S,wn não são exatamente lineares em relação aos 6, oajustamento a partir de g não produz estimativas de mínimos quadradosimediatamente. Essas estimativas iniciais servem para iniciar um mecanismoiterativo de aproximações sucessivas, a partir dos valores 3 anoteriores. O processo e repetido n vezes ate a ocorrência de convergência,ou seja, até que g -g—n —n— l = 0.A velocidade de convergência dependerá dos valores iniciais tomados pafinais,a convergência ocorre apôsrã g . Se os g são próximos dos—o —opoucas etapas iterativas Porem, se os g_ são muito distantes dosfinais, o processo pode necessitar de um número bastante grande de etapasiterativas, podendo, inclusive, em alguns casos, não convergir totalmente.Em termos práticos, os valores iniciais obtidos no processode identificação, conforme o estudo feito no item 4.1, são, em gerai,bons valores iniciais.Felizmente, as dificuldades de calculo desse processo iterativo apresentam-sediminutas, a medida que as rotinas programadas para elaboraçãopor meios eletrônicos estão bastante desenvolvidas, proporcionandorapidamente estimativas satisfatórias.Uma avaliação da precisão dos parâmetros assim estimados pode ser feitaa partir da variância desses estimadores e da construção dos respectivosintervalos de confiança e testes de hipótese.Da teoria da inferencia estatística sabe-se que os estimadores de máximaverossimilhança têm distribuição aproximadamente normal, se "n" égrande, com expectância igual aos verdadeiros parâmetros, e sua matrizde variancia-covariância e dada por:- lVar(B) = 2p+qComo â 2 = — — - , substituindo a 2 por sua estimativa ô 2 e calculando osa n a avalores da matriz, obtém-se estimativas para a variância de seus parâmetros.Para os modelos geralmente utilizados na prática, as variancias estimadasestão sintetizadas a seguir.AR(1)AR(2) VAR( 2 ) =

96MA(1) -> VAR(8 n ) = -l nMA(2) -> VAR(82 0 )/ = VAR(Ô »"^\"., 1 )/=ARMAU.l)_ 1-4,2 (i-4> 1 e i ) 2VAR(S n )l1-62 (1-6 ) 2n4.1.3 — A Checagem do DiagnósticoApós o modelo ter sido identificado e seus parâmetros eficientementeestimados, chega-se ã última etapa do processo de modelagem, denominadade checagem do diagnóstico, que consiste em averiguar a adequação domodelo utilizado para ajustar os dados observados na vida real.Essa etapa apresenta-se importante, pois, se a verificação mostrar algumaevidencia de que o modelo ajustado é inadequado para descrever osvalores reais da série, é necessário que ela própria (a etapa_da verificação)aponte as causas da inadequação e sugira as modificações apropriadas.As técnicas existentes atualmente são ainda pouco evoluídas, portanto,precárias, não permitindo que se obtenham respostas científicas plenamenteconclusivas acerca da adequação do modelo identificado.Uma das técnicas recomendadas por Box & Jenkins para a checagem do modeloé o chamado sobreajustamento. É baseada no princípio de que o modeloidentificado na primeira etapa do processo, embora seja capaz de descrevera série, está sob a suspeiçao de que necessita um modelo maiselaborado, com um número maior de parâmetros. Justifica-se esse procedimentopelo fato de o modelo mais elaborado conter parâmetros adicionaisque permitem descrever melhor as dúvidas e discrepâncias não abrangidaspelo modelo inicialmente identificado. Assim, se a análise de ummodelo estimado com parâmetros extras não indicar que os parâmetros sãosignificativos e a variancia residual não diminuir,pode-se supor que asadições de novos parâmetros não são necessárias, e que o modelo identificadoconsegue descrever razoavelmente a série observada.O método do sobreajustamento, portanto, é uma técnica bastante precária,pois somente estende o modelo para ordens superiores,assumindo quese conhece o tipo de discrepância cuja identificação ainda proporcionaalgumas duvidas.Outro procedimento menos dependente do conhecimento inicial do modeloe de uso mais corrente no processo de checagem do diagnóstico está baseadona analise dos resíduos.

Esse processo de checagem, em geral, envolve dois estágios. Em primeirolugar, a função de autocorrelaçao para a serie gerada pelo modelodeve ser comparada com a função de autocorrelaçao da série de dadosrealmente observados. Se as duas funções de autocorrelaçao se apresentambastante distintas entre si, pode-se imaginar que o modelo especificadonecessita de uma melhor identificação. Por outro lado, se as duasfunções de autocorrelaçao apresentam comportamentos semelhantes, entãose passa para o segundo estagio, que e uma analise quantitativa dos resíduosgerados pelo modelo identificado.A análise dos resíduos está baseada no fato de testar-se se realmente osresíduos formam um processo de ruído branco. Fundamentalmente, busca-setestar se os resíduos não estão correlacionados entre si.Assim, se o modelo está bem especificado, espera-se que os a t (â t == 9" 1 (B)cf; 'B)w t ) sejam não correlacionados entre si, t- que a função deautocorrelaçao dos resíduos£a .1 ,r, (r. = -) se aproxime de zero para deslocamentos k - l .k k97O teste de independência dos resíduos, sugerido por Box & Jenkins, é. odesenvolvido por BOX & PIERCE (1970) a partir das constatações de AN-DERSON (1942) para as funções de autocorrelaçao. Esse teste comprova que,se o modelo está corretamente especificado, então, para grandes deslocamentosde "k", os coeficientes de autocorrelaçao r, estão não correlacionadosentre si, e estão normalmente distribuídos com media zero e variancial/n, onde n e o numero de observações da serie Wj- .Box & Pierce definiram a estatística Q=n Er^2 , constituída por uma somade variáveis normais de média zero e variância l/n elevada ao quadrado,a qual, portanto, possui distribuição qui-quadrado 15 , com k-p-q grausde liberdade. A regra de decisão consiste em que um valor de "Q" abaixode 10% da cauda direita na tabela qui-quadrado indica que não é, necessariamente,aceitável a hipótese de os resíduos serem processos de ruídonão branco, uma vez que a probabilidade dessa hipótese ser verdadeira émenor que 90%. O teste do qui-quadrado é, portanto, um teste fraco, umavez que testa somente de forma indireta a hipótese dos resíduos formaremum processo de ruído branco.De outra parte, se o valor de "Q" calculado estiver entre os pontoscompreendidos pelas áreas de 10% e 5% da tabela, alguma dúvida sobre aadequação da identificação do modelo permanecerá, necessitando-se buscaroutros meios para dirimir as incertezas sobre a especificação domodelo.Por último, após ter decidido aceitar a adequação do modelo identificadoe estimado os valores ótimos dos respectivos parâmetros , é, ainda,aconselhável mais avaliação sobre a representatividade dos parâmetrosestimados . É possível que o modelo apresente um número não convenientede parâmetros, os quais podem caracterizar uma sub ou uma superparametrizaçaodo modelo.15 Na verdade, "Q" é aproximadamente qui-quadrado, pois poderá haver correlação entre as primeiras f k e sua variânciaser menor que l/n.

98Para o caso de se objetivar a verificação da existência de parâmetrosem demasia no modelo ajustado (modelos superparametrizados), o testeutilizado é comparar os valores dos parâmetros com o dobro de seus respectivosdesvios padrão (vale dizer, ct=5%) . Se houver parâmetros inferioresao dobro de seus desvios padrão, em modulo, esses são possíveiscandidatos a serem eliminados.Se o parâmetro não significante e o de ordem mais elevada,o modelo podeser simplificado, reduzindo-se de um a ordem do operador.Exemplo: seja o modelo Vx t =(l - 0,47B - 0,05B 2 )a t com desvios de 0,02e 0,07, respectivamente, para BI e 02-O parâmetro 0,47 é significante, pois § 1 >2DP(8i),isto é, O, 47> 2 x O,02.O parâmetro 0,05 é não significativo, pois é menor que 2 x DP(§2), istoé, 2 x 0,07.Sugere-se, então, o modelo alternativo VXç =(l - 0,47B)at-Se o parâmetro não significante não e o de ordem mais elevada, deve-severificar o grau de correlação entre os parâmetros através de sua matrizde correlação. Se a matriz indica correlação entre os parâmetros,pode-se eliminar a de maior ordem; se não houver correlação entre osparâmetros, então,mantêm-se todos os parâmetros.Exemplo: seja o modelo Z - Z = (l - 0,08B - 0,56B 2 )a , com desviospadrão dos parâmetros de 0,09 e 0,01 respectivamente.O parâmetro 0,08 e não significante, pois e menor que 2 x 0,09.O parâmetro 0,56 é significante, pois é maior que 2 x 0,01.Se a correlação entre os dois parâmetros for, por exemplo, de 0,95, ouseja, se existe cor ré laçaoentre eles,então se sugere o modelo Zj- - Z t _^ == (l - 0,08B)a t .Um ultimo caso e aquele em que todos os parâmetros se apresentam comsignificância, mas altamente correlacionados. Nesse caso, deve-se optarpela redução do numero de parâmetros, baixando a ordem do modelo. Apôscada simplificação, os valores ótimos devem ser reestimados.Para o caso de modelos subparametrizados, onde o modelo especificadoapresenta um numero de parâmetros menor do que o necessário para descreveradequadamente o comportamento dos dados, o processo de analisede sua subparametrizaçao e baseado no fato de os resíduos obtidos apôsa estimação dos valores dos parâmetros terem autocorrelaçoes significantes.Sua avaliação e feita através dos seguintes procedimentos:- se os valores dos coeficientes de autocorrelacao são significantes nasdefasagens iniciais e/ou nos períodos múltiplos de sazonalidade,issoindica que os comportamentos regular e/oú sazonal não foram consideradosna integra. Devem-se buscar as causas da deficiência através dacomparação dos coeficientes significantes desse modelo com os coeficientesconhecidos para os operadores AR e MA. Obtidas as razões,elimina-sea deficiência pela agregação de tais operadores ao modelo;- se os coeficientes de autocorrelacao significantes ocorrem em defasagensdistintas das expostas acima, não apresentando então a necessidadede operadores regulares e/ou sazon'ais adicionais e, além disso,

aparecem escassamente no correlograma (por exemplo, 5% das autocorrelaçoessão significantes), então, a serie de resíduos deve ser aceitacomo aleatória e o modelo considerado satisfatório.Exemplo: seja um modelo MA(1):w t = (1-9,B)a t .Se os resíduos apresentam autocorrelaçao significante na defasagem l,isso esta a indicar a necessidade de um operador MA adicional de ordem1. Sugere-se o modelo MA(2): w = (l - 9^8 - 02B 2 )at •Exemplo: seja o modelo sazonal V. ? ln w = (l - 0.4B)(1 - 0.5B 12 )a comdesvios padrão dos parâmetros 0,06 e 0,04 repectivamentt.No caso, ambos os parâmetros são significantes e devem permanecer nomodelo (a correlação entre eles é zero) e não existe qualquer evidenciaque i.idique superparametrizaçao. Fazendo uma^analise das autocorrelaçoesdos resíduos após o ajustamento, essa não mostra melhoria domodelo.Poderá, ainda, ocorrer um caso especial, onde a super e a subparametrizaçaoestão presentes simultaneamente.Isso acontece quando se necessitatanto uma simplificação como uma melhoria do modelo. Ocorre quando estãopresentes tanto parâmetros sazonais que se desejam simplificar,quanto parâmetros regulares, que se pretendem incorporar.994.2 — Modelagem de Séries Sazonais:Modelo SARIMA (p, d, q) x (P, D, Q)O processo de modelagem para series de tempo que apresentam variaçõescíclicas de curto prazo e bastante similar aqueles em que a sazonalidadeé inexistente. Fundamentalmente, essas diferenças residem em seprecisar estabelecer um numero maior de parâmetros e identificar valorespara a ordem (p,d,q)x(P,D,Q). Como o processo de estimação dos parâmetrosde um modelo SARIMA segue os mesmos princípios de ummodelo nãosazonal, e essa técnica de calculo encontra-se embutida nos pacotes computacionais,o problema do modelador reduz-se somente a estabelecer valorespara a ordem (p,d,q)x(P,D,Q).Assim,para se obter "d" e "D", deve-se utilizar,conjuntamente, os operadoresV d = (l - B) d e vj? = (1-B S ) D , de maneira a tornar W = V VJ? XO t S Lestacionaria.A obtenção das ordens "p", "P", "q", "Q" é feita, como no modelo nãosazonal, através das funções de autocorrelaçaoeautocorrelaçao parcialda serie V = V V X . Para o modelo multiplicativo,as conclusões obtidaspela existência de correlações diferentes de zero nas primeirasdefasagens devem ser agora vistas conjuntamente com as defasagens sazonais.As funções de^autocorrelaçao e autocorrelaçao^parcial do processo multiplicativosão geradas pelo produto das funções de seus componentesnão sazonais e sazonais. Dessa maneira,as conclusões obtidas pela exis-

100tencia de correlações diferentes de zero nas primeiras defasagens sãoindicações dos valores das ordens "p" e "q" e nas defasagens sazonaisdas ordens "P" e "Q".Por exemplo, para um processo (O,l,l)x(0,l,1) «, os coeficientes de autocorrelaçoesda série W X devem ser diferentes de zero soincndefasagens l, 11, 12, 13.

5-0 MÉTODO DE PREVISÃODE BOX & JENKINS5.1 —IntroduçãoApôs o termino do processo iterativo de identificação, estimaçaoe checagemdo diagnostico, o qual proporciona uma estimativa do modelo geradorda série que se ajusta aos dados da realidade, pode-se utiliza-lopara prever valores futuros da variável.Entretanto deve-se sempre ter presente que, na pratica, nunca se tem oprocesso gerador verdadeiro da realização amostrai. Dispõe-se apenas deuma aproximação desse processo gerador, a qual estasujcita a erros tantono que se refere a identificação quanto a estimação. E claro,então,que o sucesso do processo de previsão dependera, fundamentalmente, daqualidade representativa do modelo teórico estimado, a qual depende dotrabalho nas etapas de identificação e estimação.Os processos de previsão com modelos de séries de tempo são procedimentosque visam a estendera valores futuros o modelo descrito e ajustadoaos valores passados e ao valor presente da variável. Dessa maneira, oestudo dos processos de previsão que aqui se analisam envolve um conjuntode técnicas, que busca estabelecer a base teórica que norteia oestudo de previsões de séries univariantes de tempo, proposto por Box& Jenkins, bem como os fundamentos da inferencia estatística dos errosde previsão e os conseqílentes intervalos de confiança para aqueles procedimentos,além, é claro, da etapa posterior de cálculo das previsõespropriamente ditas.Ao estender a valores futuros prováveis o modelo de série temporal construídode forma a descrever os valores passados e o valor presente davariável, esta-se diante de uma analise que busca obter as característicascomportamentais sistemáticas da série, vale dizer, que busca apresentaruma descrição dos mecanismos e da natureza aleatória do processoestocãstico que gerou a serie de valores passados e do valor presente.O estabelecimento da estrutura probabilística da realização amostraida variável proporcionara os meios para inferí r conclusões sobre as probabilidadesassociadas a cada possível valor futuro da variável.Portanto a previsão se torna o calculo do valor esperado de uma futuraobservação, condicionado aos valores passados e ao valor presente davariável. Ou seja, chamando de x t (h) o valor previsto estimado para umhorizonte de "h" períodos de tempo futuros e "t" o período de origem daprevisão, então,Í t (h) = E(x t+h /x t , x t _ 1( ...).O valor de x no tempo t+h e obtido pela equação do modelo ARIMA.Como foi visto em capítulos anteriores, uma observação x^+h gerada porum modelo ARIMA §(B)x t = 8(B)a t , onde § (B) = 4>(B)V d , pode ser expressade três formas distintas:

102- em termos de equações a diferençasat +h ;- em termos de uma soma ponderada do presente e dos passados choquesaleatóriost+h °°x . = . Z T , . a . = .ZH'.a,., ,,- ^\t+h j=-» t+h-j j j=o j t+h-j (5.2)onde V =1 e f . são tais que (l - SB- ... - § ,B P+ ) (l+y.B+f-B "+. . .) =o j l p+d l 2.= (l -8^ - ... -9 B q ) ;- em termos de uma soma ponderada das observações passadas mais um choquealeatório no período presente\+h-j + a t+h '(5 - 3)onde os pesos TTj são tais que 5 (B) = (l—ir B-TT B 2 -. . .) 6 (B)A base do estudo que norteia a teoria das previsões é que essa inferenciadeve estar sujeita ao menor erro possível. Matematicamente, significadizer que a previsão ótima deve apresentar um erro quadrático médio de previsão mínimo, ou seja, x (h) deve ser tal queE(e (h) 2 ) = E(x h~^t C 1 ) ) 2 se J a um mínimo.O desenvolvimento dessa expressão estabelece os valores que a satisfazem.Seja o modelo ARIMA §(B)x = 9 (B) a , então,x = T 1 (B) 6 (B) a = f(B)a = ^j V j 'Portanto o valor de x no tempo t+h valet+hEf.j=Q ja . . = St+h-j j=_ coy,.a.=t+h-j j= 't' a ,+V.a , . +. . .+'i', a +V. , a + ... , (5.4)o t+h l t+h-1 h t h+1 t-1o que estabelece o valor de Xj.+j^ através de uma função linear de valoresdo processo de ruído branco, do tipo da equação (5.2).

103De maneira semelhante, pode-se obter os valores de x (h) .x t (h) = E ( x t+ll/ x t> x t_i> •••) deve ser tal q ue dependa somente dos valorespassados e do valor presente.Seja x t (h) - < a t H- ^ a^ + < +2 a t . 2+ ... , (5.5)dado também através de uma função linear de valores do processo de ruí-do branco, onde os pesos ^h+j , j=0, l ,2,,. . . são determinados de forma quex t (h) seja uma previsão ótima, então,E(e (h)) 2 = E(x ,_- x (h) 2 =t t+h t+ f, J o 2 + Z (Y, . - f," .) 2 o 2 .h-1 a . h+i h+iJaJ=°A expressão acima será minimizada quando os f*h+i forem iguais aos verdadeirospesos f, . , j = O, l, 2, . . .h+jEntão, por (5.4), x (h) deve ser igual ax (h) = fã-i- * h+1 a t _ 1 + * t+2at -2 + "•(5>6)ou, deduzindo pela equação. (5.5),\ + i E(a t-i }- O + O +... +Vt+Vl a t _ 1 + ... = _^Portanto a função ótima de previsão éx t (h) "ECx^/x^x^,...) = .^\ +j \_j 'Note-se, por outro lado, que o erro no instante "t" para o avanço "h"pode ser obtido por (5.4) e (5.6): 1Note-se que, para h = l, e t (l) =xt+l - xt( 1) —at+1-

104Conseqüentemente,E(e t (h)) = E(x t+h -x t (h)) = 0 ;Var(e (h)) = (l +n LVale dizer, a previsão é não tendenciosa e sua variancia é função davariância do processo de ruído branco, a| . (5.7)5.2 — O Processo de PrevisãoA obtenção da estimativa do valor futuro provável x (h) = E(x /x ,x, ...), proposta por Box & Jenkins, é feita através de um processoiterativo onde, primeiro, e calculada a previsão para um período adiante,para posterior utilização desse resultado no cálculo da previsãosubseqUente.Dado o modelo ARIMA (p,d,q), o qual pode ser escrito de três formas distintas,de acordo com (5.1), (5.2) e (5.3), as respectivas expressõespara a previsão são apresentadas a seguir.Previsão utilizando equações a diferençasO valor de x no tempo t+h é dado por:X t+h =§ l X t+h-l + - ' •Então a previsão eDeve-se ter presente que:E (x ./x ,x , ,. . . ) =x .parat+h t t-1 t+ht- qualquer H 4 h _ < O ;E(a t+h /x t' x t-l"-- ) = a t+h = Vh - 5 t+h-l (l)se h < 0;E(a /x ,x _.,... )=0 para qualquer h > 0.

105Previsão utilizando equação da soma ponderada do presente e dos passados choques aleatóriosO valor de x no tempo t+h é dado por:t+1x . = .L v . .a. = .£_ ¥ .a .t+h j=-» - t+h-j j j O j t+h- jEntão a previsão eÍ t (h) - * 0 E(a t+h ) + ¥ 1 E(a t+h _ 1 ) + ...+ Vl E < a t+l> + V (a t> ++ \+l E(a t-l } +--- +E (a t - h > 'Previsão utilizando equação da soma ponderada das observações passadas mais um choque aleatórioO valor de x no tempo t+h e dado por:00x = .£ TT.X , . + a , .t+h j=l j t+h- j t+hEntão a previsão éir i E(x t+h-i /x t' x t-r-- )+^2 E(x t+h-2 /x t' x t-i'--- )+ --- +E K+h )Exemplo 01: previsão de um MA(1) : X = (1-6 B)a +PO valor de x no tempo t+h e dado porX t+h = (1 ~ 9 l B)a t+h + *e a previsãoB)+lj) =E(a t+hEntão, para h=l,para h > 2,x t (h)=

106Como o processo MA(1) tem memória de somente um período, os dados sócondicionam as previsões para um período adiante. Para dois ou mais períodosadiante, a melhor previsão i a média do processo.A variancia do erro de previsão vale,para h=l,E(e t (l) 2 ) = E(x t+1 -x t (l) 2 ) = E(a t 2 ) = a 2 ;para h > 2,E(e t (h) 2 )=E(x t+h -x t (h) 2 )=E(a t+h -6 1 a t+h _ 1 ) 2 = (l - 6 2 ) a 2 .Vale dizer que a variancia do erro de previsão cresce até dois períodosadiante. A partir deste horizonte, torna-se constante.Exemplo 02: previsão de um AR(1) : (l-if B) x =a +ôComo (1-41,8) x t = a_ + 6 x - 4),x , = a + 6 x =f>x +a +ô,o valor de x no tempo t+h é dado pore a previsão ex t (h) =E( Vt+h _ 1 ) + E(a t+h ) + 6 =Então, para h=l ,x t (l) =para h=2,x (2) = $ E (x ) +E(a ) + 6 = 4>,x (1) + O + 6 = iKU.x + ô) + 6 =

107ou seja,para h > 2,x t (h) = ^^(h-1) + 6 =Note-se queisto é, para horizontes muito distantes do valor de origem, a previsãotende ã média do processo.A variancia do erro de previsão valeet(h) = xt +h - x t (h) = *i x t+h-i + 6 + a t+h - x t (h) =- x t (h) =Logo, E(e (h) z ) = (l +

108Então, para h=l,x t (l) = E(a t+1 ) - 6 1 E(a t ) + 6 + O - + ô =para h=2,x t (2) = * 1 E(x );+1 ) + E(a t+2 ) - * 1 E(a (;+1 ) + 6 + O - O + ó =6 =9 l l a te, para h ^ 2,x t (h) = 6 -Note-se que, semelhantemente a um AR(1),lim x (h) = - =i t 1 — Ò^ YDeve-se salientar que, tanto o AR quanto o MA e o ARMA são processosque apresentam a característica comum de suas previsões tenderem ã média,quando o horizonte de previsão se torna distante. Esse fato implicauma limitação significativa no uso desses processos para a obtençãode previsões de valores distantes. A potencialidade dos métodos é elevadasomente para pequenos horizontes. Para valores distantes,sua utilidadee questionável e, certamente, outros métodos que não apresentamessa limitação seriam mais adequados.Exemplo 04: previsão de um ARIMA (1,1,0) = ARI(1,1):l t t(!- B) (l-B)x = 6 + ai L U= 6Vi + Vt-2

109O valor de x no período t+h éx t+h = (1 + ^) x t+h _ 1 - * lXt+h _ 2 + a t+h + 6 .Portanto, as previsões são:para h=l,E(x t )para h=2,x t (2) = E((l+4, 1 )x t+1 - $ l x t + a t+2 + 6) = (1+^) ^(1) - Ç^ -0 + 6para h > 2,x - * X _ + a + 6) -x t (h-l)- 1 S t (h-2) + 6 .Exemplo 05: previsão de um ARIMA(0,1, 1) = IMA(1,1):V x = (1-9 B) a + ó(I-B)X C = a t - e 1 a t _ 1 + 0X t - X t-l = a t - Vt-1X t = X t-l + 3 t - 9 i a t-lO valor de x no tempo t-h éx , = x , ,+a , -Ô, a . ,+6t+h t+h-1 t+h l t+h-1Portanto as previsões são:

110para h=l ,x t (l) = E(x t + a t+1 - 9^ + ô) = x t + O - 6^ + ô = x t - 9^ + 6 ;para h=2,x t (2) = E(x t+1 + a t+2 - 9la t+1 + 6) = ^(1) + O - O + 6 .Logo, para h > 2 ,x t (h) = x t (h-l) + 6 ,ou seja, para qualquer horizonte, a previsão e uma linha horizontal nonível de x t (h), caso o termo 6 não esteja presente ou, se estiver, seráuma reta com declividade (aclividade) definida por ô .Exemplo 06: previsão de um ARIMA (1,1,1):(1-B) V X _ = (l-e) a + 6(l-B)x t = (l-e i B)a t + 6X t =1+ *l x t-l - *l X t-2 + a tO valor de x no tempo t+h ex t+h = Ü+V*^^ - *l x t+h-2 + a t + hi a t + h-lPortanto as previsões são:para h=l,x t (l) = E((l+

1 11para h=2 ,x t (2) = E, para h > 2,x t (h) =5.3 — A Atualização das PrevisõesEm geral, o processo de previsão para vários períodos de tempo pode requererque se atualize o período de origem das previsões. Nesse caso,e conveniente a montagem de um processo onde os valores condicionadosutilizados como base do calculo da expectancia de x^+jj possam ser atualizadosde período a período, eliminando a necessidade de repetir o complexoprocesso de calculo elaborado para a obtenção das previsõesSc t (h).Assim, o processo de atualização das previsões consiste em gerar instrumentosque permitam o calculo de uma previsão x (h) = E (x /xt+n t+h t + nx _,,...)) a partir da previsão de x (h) = E (x ,/x , x , ...)» quandosão obtidos novos valores x , x +2, ... x , através de um processoiterativo, sem necessidade de recalcular o modelo.Esse processo de atualização é denominado previsão adaptada e consiste emtomar o conjunto de valores realmente oi servados (ou mesmo suas previsões)para os períodos anteriores, juntamente com o erro de previsão doperíodo da previsão desejada.Ou seja, para atualizar a origem da previsão de xquando se obtémo valor x , deve-se calcular a previsão de x na origem t + 1, atravésdo valor de x (h+1) acrescido de um múltiplo do erro de previsão a . .Para constatar a validade dessa forma de atualização, pode-se ^verificarque as previsões de x , feitas nas origens t+1 e t, são, respectivamente,as que seguem.Seja um modelo ARIMA dado por (5.2), então:Vi

112subtraindo membro a membro,Vt+1onde o estabelecimento do valor de Th é obtido pela relação entre ospesos da equação (5.2), §(B) T(B) = 8(B).Ou seja,(1-§ 1 B-§ 2 B 2 - ...- § p+d B P+d )(l+f 1 B+T 2 B 2 + ...) = (l - ej_B - ... - g fil),+6 5 — B2Ü 2f. =§, v. ,+...+§.,J l J-l P+donde ¥= l, V. = O, V. < O e 6. = O, V. > qSe K = mãx(p+d-l; q), então, para j > k,*. = ^Y. .. + §„¥. ,+ ... + § , ¥ . , . .. Q.j l J-l 2 j-2 p+d j-p-d (5.8)Note-se que os Y. são calculados facilmente de forma recursiva.Exemplo: seja a série modelada por (l-l,8B+0,8B 2 )x =a ,onde § = 1,8, § = -0,8 ,então:-í.),8)1 = 2,44= l,8(2,44)+(-0,8).l,8 = 2,95

Se as previsões para um, dois e três períodos adiante, com origem "t",são x (1) = 200, x (2) = 210 e x (3) = 220, então, no momento em que seobtém o valor x, pode-se atualizar a origem das previsões.113Seja X = 201,então: a =x - x (1) = 201 - 200 = le x (1) = x (2) + ¥ a =t+1 t l t+1= 210 - (l,8).l = 211,8:J f'J'! = í ("3 1 ! -t W at+l ( ' t (ò) 2 t+1e assim sucessivamente.= 220-(2,44)(1) = 222,445.4 — Previsões por IntervaloConforme (5.7), a variância do erro de previsão é dada por:Var(e (h)) =(!+¥,+...+ f, ,) ot l n l aSe cada elemento do processo de ruído branco é considerado como tendodistribuição normal, toda a distribuição dos futuros erros e, conseqüentemente,as futuras observações x terão também distribuição normal.Ou seja,N(0,Var(e t (h)))e(x t+h /x t' X t-l' "• ) ~ N(5 t (h))Então, a estatística/Var(e t (h))K(0,X).Conseqllentemente, pode-se obter previsões por intervalo, fixado um determinadonível de confiança (l - a) , tal que P(-z < "U < z ) = l - a,

114ou seja, a previsão de xpor intervalo éNote-se que Var(e (h)) = (1+^ +V ? , + . . . + f, 2 n) a 2t l / n—l a 'Como, naprática, os erros de previsão são valores estimados, o intervalode previsão possível de ser obtido é.- ,,

115Portanto o valor de x no tempo t+h valeOa t+h-13 ,e a previsão x (h) e dada pela expectancia condicionalx r (h) = E(x t+h /M) -H- 60E (aonde a condição "M" são os valores realmente observados da variávelX: x, x, ...5.6 — Previsão com Dados TransformadosConforme foi visto no processo de modelagem de séries não estacionárias,quando a magnitude das flutuações da variável X não se mantém constanteno decorrer dos períodos de tempo, Box & Jenkins indicam a conveniênciade se fazer alguma transformação de variável do tipo Y =f(X ),com o fito de tornar suas flutuações mais homogêneas .Nesse caso, a previsãogerada pelo modelo ARIMA transformado propicia estimativas de futurosvalores transformados y (h) .Para obter a previsão de x (h) em função de y (h), deve-se salientarque essa pode não ser simplesmentex t (h) = fno caso de "f" admitir inversa.Para séries econômicas, por exemplo, a transformação geralmente viávelé do tipo logarítmica natural, tal que Y = In X , onde X é a variávelrealmente observada. Para obter a previsão de x (h) em função de y (h),deve-se ressaltar que essa não é necessariamente x (h) = expy (h) , umavez que a convexidade da função exponencial implica que, se a serie Yé normal,E(exp x t+h /x t , x t _ lt ...) ji exp

116pois,E(exp x /x ,x _,...)= exp["E(x /x ,x , . . )+l/2Var (>x t ,x t _ 1 ,...) exp l/2Var(x t+h /x t ,x t _ 1 ,...)Isto é,x (h)=expfY (h)+l/2 Var(Y -)], onde Var (Y +h) = Var(e (h)),ee t (h) = Y t+h - Y t (h)'Então, como a distribuição de Y , é normal, com E(Y , ) = y (h) eVar(y, ), sua previsão por intervalo seráP(? (h)-z / Var e (h)' < Y , < ? (h)+z / Var e (h)' ) = l - a ,t e t - t+n - t c t 'e a previsão de x, será dada porP(exp (Y t ( Var eh)' ) < X < exp(Y(h)+z / Var

6.1 - Nota Introdutória6 - APLICAÇÕES PRÁTICASDO MÉTODO DE BOX & JENKINSEste capitulo constitui-se de um trabalho pratico de previsão de valoresfuturos de determinadas series de tempo da realidade econômica gaúcha,utilizando a metodologia proposta por Box & Jenkins.Foram escolhidas duas variáveis: índice de Preços ao Consumidor (custode vida) para a Cidade de Porto Alegre e consumo de energia elétricano Rio Grande do Sul.A escolha dessas variáveis não se deu ao acaso. Pelo contrário, chegou--se a elas tendo em vista não só a importância que apresentam na atividadeeconômica rio-grandense, mas também através de consultas a técnicosligados ao setor publico estadual que as sugeriram em função dointeresse pratico de suas analises. De outra parte, foi fundamental paraa escolha o fato de essas variáveis terem particularidades distintasumas das outras, em suas flutuações temporais, situação que permite,em conjunto, mostrar as principais características do processo deconstrução de modelos com o método de Box & Jenkins.A finalidade deste capitulo e, alem de oferecer um estudo detalhado deprevisões de variáveis econômicas importantes, apresentar um acompanhamentopratico de todas as etapas da metodologia, propiciando um entendimentomelhor da teoria exposta nos capítulos anteriores e capacitandoo leitor a melhores condições de manuseio e utilização da mesma.O "pacote" computacional utilizado foi o de PACK (1977), que se encontraa disposição dos usuários no Centro de Processamento de Dados daUniversidade Federal do Rio Grande do Sul'. Esse "pacote" e compostopor duas rotinas, denominadas "Identificação" e "Estimação", estandoincluídos, nessa última, os processos de cálculo das previsões e osinstrumentos analíticos da etapa de checagem do diagnostico^.No final do trabalho, no Anexo I, juntam-se copias do manual do usuário,onde se encontram os comandos necessários para cada sub-rotina.1 Deve-se ressaltar, entretanto, que existe um grande número de outros "pacotes" contendo o método de Box&Jenkins, embora nenhum deles, ate' o momento, se encontre à disposição no mercado gaúcho. Kntre eles pode-secitar: FCONOMETRir SOI-TWARI. PACKAGh (1974), MKlíKhK (s.d.) e NIK & HUl.I. (1980).2 Infelizmente, no desenvolvimento do trabalho foi constatado que o "pacote" utilizado apresenta alterações significativasem relação ao seu manual, implicando a necessidade de obtenção de algumas fases importantes do processode forma extra "pacote' 1 .

1186.2 — Previsões para o índice Geral de Preços(Custo de Vida) para a Cidade de Porto AlegreA série escolhida para essa variável perfaz um período de sete anos,com informações mensais desde janeiro de 1975 até dezembro de 1981, eseus valores estão expostos no Quadro 1.Quadro líndice de Preços ao Consumidor (custo de vida) em Porto Alegre —jan./75-dez.781(base: jun./75)MESES1975197619771978197919801981Jan.Fev.Mar.Abr.MaioJun.Jul.Ago.Set.Out.Nov.Dez.91949797991001021061091121141161171271331371391411441511551591611651711781851922002062102132172202252342432482572642692772872943003043083173353473653833904014244454804965285575876146476737117638198769451 0241 0911 1441 2351 3391 4361 5001 5841 6421 7601 9372 0132 0802 1662 286FONTE: Centro de Estudos e Pesquisas Econômicas da Universidade Federal do Rio Grandedo Sul (IEPE).6.2.1 — A Etapa da IdentificaçãoA utilização da rotina "Identificação" permite o estabelecimento dasprincipais características do modelo.6.2.1.1 — Avaliação preliminarEm primeiro lugar, é conveniente plotar os valores da série observada.Seu gráfico (Figura 1) permite a visualização de uma série com tendênciacrescente, geométrica, sugerindo, inicialmente, a inexistência decomponente sazonal significativa 3 . Por outro lado, percebe-se que ase-3 No decorrer da fase de estabelecimento da ordem do modelo, essa suposição sobre a inexistência da componentesazonal deverá ser mais precisamente analisada (e sua suposição confirmada ou nffo) através do comportamento dafunção de autocorrelação.

119rie se caracteriza por apresentar maior dispersão de seus valores emtorno da linha de tendência, a medida que o tempo cresce, sugerindo apossibilidade de conveniência de transformação da variável para estabilizara variancia.im wFigura 1 - Gráfico da série IPC - jan./75-dez./81Para melhor avaliação da existência ou não de heteroscedasticidade naserie, constrói-se o Gráfico "Amplitude X Media" 1 *.Para a construção desse diagrama, optou-se por dividir a seqüência deobservações em segmentos de tamanho doze, uma vez que esse número, além4 Deve-se ressaltar que o programa utilizado não apresenta nenhuma sub-rotina para esse fim, o que implicou a necessidadede programação à parte para a geração desse diagrama.

120ob-de satisfazer a conveniência de tamanho dos segmentos , permite atenção de segmentos de mesmo tamanho.O Grafico "Amplitude X Media", assim construído, esta apresentado naFigura 2. Pode-se perceber, através dele, uma tendência crescente daamplitude em relação ã média dos segmentos, o que sugere a possibilidadeda transformação logaritmica natural, Y^ = In X t , onde X- representa o índice Geral de Preços da Cidade de Porto Alegre no períodode janeiro de 1975 a dezembro de 1981.Figura 2 — Gráfico "Amplitude x Média" para a série índice de Preços aoConsumidor — jan./75 - out./81A analise do grafico da série de dados logaritmados, exposto na Figura3, permite verificar que a dispersão dos valores em torno da curva detendência e menor, o que a torna mais conveniente para fins de previsão.Em vista disso, a serie escolhida para o trabalho é a logaritmicanatural.6.2.1.2 - O estabelecimento da ordem do modeloObtenção do valor da ordem "d"A analise da Figura 3 permite verificar a existência de uma série comtendência geometricamente crescente. Significa dizer que a serie e nãoestacionaria, (d í 0), e torna-se necessário diferenciá-la para se obteruma serie estacionaria. A grosso modo, como a tendência é geome-5 A experiência aconselha, conforme o exposto nos capTtulos anteriores, segmentos de tamanho entre oito e 12 observaçõespara séries sazonais e de tamanho igual ao pen'odo do ciclo sazonal paia series que contenham essa compo-

tricamente crescente, pode-se inferir que e bastante provável a obtençãode serie estacionaria com a aplicação do operador diferença duasvezes.121liíFigura 3 - Gráfico da série Y t = 1 n X t , onde X t é a série observada do IPCPara o estabelecimento mais preciso da ordem "d", o rigor analítico sugereo estudo da função de autocorrelaçao, a qual, para simplificação,será chamada de ACF. Para tanto, buscou-se analisar a ACF das seriesVY, V' z Y t e V 3 Y t 6 . Os gráficos da ACF para essas quatro series estãoexpostos, respectivamente, nas Figuras 4, 5, 6 e 7, e seus valoresnuméricos, nos Quadros 2 e 3.Embora nem sempre esteja explícito, deve-se ter presente que Y ( — In X ( .

122Pode-se observar, na Figura 4, que a ACF da série Y t não apresenta nemuma queda rápida para zero, nem flutuações cíclicas em seus valores,revelando a correção da suposição inicial de inexistência da componentesazonal e da não estacionariedade tendencial da serie, quando daavaliação da Figura 3.Figura 4 — Gráfico da função de autocorrelaçao da série Y tA ACF da série VY t (Figura 5) também não apresenta uma queda rápida parazero. A ACF da série V 2 Y t (Figura 22), ao contrário das anteriores,apresenta uma queda rápida para zero. Deixando de considerar o valorda defasagem seis, significativamente diferente de zero 7 , somente o valorda ACF de defasagem um é diferente de zero, de acordo com o testede significância de 2 DP(r k ), k>0.O que é razoável de se supor, uma vez que esse valor se mostra distinto de seus próximos, incoerente com a teoriaque mostra a diminuição dos r^, à medida que k cresce, permitindo supor que esse fato é devido às característicasdo diagrama ser obtido através de estatísticas amostrais.

123Figura 5 - Gráfico da função de autocorrelação da série v Y tA ACF da série V 3 Y t apresenta também uma queda rápida para zero, porémcom maior flutuação em seus valorps. De acordo com o critério de AN-DERSON (1979), a Var(V 2 Y t ) < Var(VY t ) e a Var(V 3 Y t ) > Var(V 2 Y t ), o quetorna preferível a série V 2 Y t . Portanto, pode-se concluir que d = 2.Obtenção dos valores da ordem (p, q)Para obter a ordem (p,q), a análise é efetuada através das funções deautocorrelação (ACF) e autocorrelação parcial (PACF) da série estacionariaV 2 Y t .

124Pode-se perceber, pela Figura 6, que a ACF da serie V 2 Ytj apresenta aprimeira defasagem significativamente diferente de zero (o valor critico,apartir do qual e traçada a "linha de controle",ê 2 DP(r^) , k>0),embora seu valor seja bastante pequeno, voltando a apresentar valorsignificativamente diferente de zero somente para a defasagem seis. ,-.t073tí-01L- D o 3 1 F - O l75 J5tr"3i9 9 .í n 3 F • O lFigura 6 — Gráfico da função de autocorrelação da série v 2

125Quadro 2Figura 7 — Gráfico da função de autocorrelaçao da série v 3 Y tValores numéricos da ACF para as séries Y evYf fíLlKl^S • QHI-ItAL StHIuS U0.03 o «e b o«ai

126Quadro 3— -* • 9 "3Valores numéricos da ACF para as series V^Y e V YJATA - lOExTiFlCACAÜ JPC-lLPuJlFF.RLNCllG -2) l jF ^RLu»7S/l*ãl3lFFE.tLNl.Li tíuLJW ARE ^FSFÜRlE^ DAtA = LJG l í ( T ) «úI" TOuf DATA ul FFÍ.RLNC L Ji 31 i UF JROLR iJ R I G i rt A L i>ERiEbN J M 8 L R Ò F JBüLRVATID,:» = o 21- 12 -3.30 • .12 -0.1J -0.03 -3.014iT.t. O.ll .12 0.12 0.12 3.1213- 2» -3.02 .Ou -O.U3 -0.1)0 -0. 00iT.E. 0.13 .1 j 0.1 J 0.13 0-132b- 3o 3. 00 " ,lu -0.11 O.H 0,0»37- 3o 0. 17 - .OiST. L. 3.15 .liN L A N ü í V I 3 L D B Y b T . ;. K R u R =JIFF^RLNCE *"ILAN J f T -Ic. jE-ULb " .17S10L-UJjT. JtV. JF iERILS » . 303314L-01.NO>

127Quadro 4Figura 8 - Gráfico da função de autocorrelação parcial da série V 2 Y tValores numéricos da PACF para a série V 2 Y

128Resumindo, o processo de identificação indicou a possibilidade dos seguintesmodelos, todos com a variável transformada Y t = In X[.Modelo suposto n9 1: ARIMA (0,2,1)Modelo suposto n9 2: ARIMA (1,2,1)Modelo suposto n9 3: ARIMA (1,2,0)Modelo suposto n9 4: ARIMA (2,2,0)6.2.1.3 - O estabelecimento das estimativas iniciais dos parâmetrosPara completar o processo de identificação, devem-se estabelecer as estimativasiniciais dos parâmetros dos modelos supostas, fase onde tambéme feita a avaliação da existência ou não da componente tendencialdeterministica.O "pacote" computacional utilizado não apresenta sub-rotinas para essesfins, e torna-se necessário obter esses resultados manualmente, oque é feito a seguir 8 .Primeiro modelo suposto: ARIMA (O, 2, 1)Primeiramente, deve—se verificar a existência ou não da componente tendencialdeterminís tica, ou seja, deve-se avaliar se 9 0 é s_ignif icativamentediferente de zero ou não. Para tanto, testa-se se V 2 Yj-, em modulo,é maior do que DP (V 2 Y t ) .Para esse modelo,V 2 Y t = 0,00026203, /Co(l+2r 1 )'e DP(V 2 Y t ) = / i- , com n = N - d/0,0003496(1 + 2(-0, 3))82= 0,001306Como V 2 Y t < DP(V 2 Y t ) , a media pode ser considerada igual a zero e o modelonão contem 0.2O modelo suposto é V 2 In X t = (l - 6^B)a t e a estimativa inicial do párametro6^ e tal que r-^ = --, -l < B, < 1.Logo, -6 1 = r l (l+ 9*) =>•' Essa deficiência e' relativa no que tange à obtenção das estimativas iniciais dos parâmetros, uma vez que o processode aproximações sucessivas de MARQUARDT é bastante potente. Mesmo que sejam dados valores aleatórios, dentrodas regiões admissíveis, para estimativas iniciais dos parâmetros, a convergência para as estimativas eficientes é rápida.No item seguinte, quando do processo de estimação dos parâmetros dos modelos, voltar-se-á a abordar, com melhorescondições, esse assunto.

129Portanto o modelo suposto inicialmente e:V 2 lnX t = (l-0,33B)a t = a t -0,33a t _ 1Segundo modelo suposto: ARIMA (1,2, 1)Para esse modelo, / ^—iDP (V 2 Y.) = /— (l —), n=N-d.n r r r 2= /0.000 3 496 _ 2Ç-0.3) 2 -.v^ 82-0,3- (-0,12)'= 0,00289827con-Como V 2 Y t = 0,00026203 < DP(V 2 Y t ) = 0,00289827, a média pode sersiderada igual a zero e o modelo não contém 6 0 .O modelo suposto e ( l— iji^B) V 2 lnX(- = ( 1-6-^B) aj- e as estimativas iniciaisdos parâmetros t n e 9-, são tais que r, = - - ^y —s^— - - e r, = r,,,1 1^ l + u": - 2 1 < l e -1

130Quarto modelo suposto: ARIMA (2, 2, 0)Para esse caso,Como V 2 Y; 0 (1 + rj(l-2r: + r 0 )l 2' = /0.0003496(O, 7) (l -0,18-0,12)1782(1,3)(1,12)0000014 = 0,0011832< DP(V 2 Y ), a média pode ser considerada igual a zero e o modelonão contem 6 0 .O modelo suposto é (l - B - 9 B 2 ) V 2 InX = a e as estimativas iniciaisnde ()> e 4> são-L ^ L tr 2 -r 2Logo,^ = 0,3692 2 = -0,2308Portanto o quarto modelo suposto inicialmente e(l - 0.3692B + 0,2308B 2 )V 2 lnX =a .Com a obtenção dos valores iniciais dos parâmetros dos modelos supostos,esta encerrada a etapa de identificação.6.2.2 — A Etapa da EstimaçãoApôs a etapa de identificação de um ou mais modelos para descrever aserie temporal e o estabelecimento das estimativas preliminares de seusparâmetros, pode-se trabalhar com a outra rotina do "pacote".A rotina "estimação", fazendo uso das técnicas do algoritmo de Marquardt,gera um processo iterativo de aproximações sucessivas, a partir das estimativaspreliminares obtidas na etapa anterior. Essa rotina proporcionaraas estimativas eficientes^ dos parâmetros de cada modelo suposto,o restante dos instrumentos estatísticos das demais etapas doprocesso de construção de modelos e a fase final de previsão de valoresfuturos da variável.Nas paginas seguintes,es tão expostos os sumários das saídas do computadorpara a etapa da estimação, para os modelos supostos. Após, noQuadro 5, estão resumidas as principais informações para a avaliaçãodesses modelos.Deve-se ressaltar que o "pacote" não oferece, diretamente, valores dosdesvios padrões dos estimadores e a estatística Q = nEri^, os quais tiveramde ser calculados ã parte, com base nas informações que o programaapresenta no sumario do relatório de saída.O termo "estimadores eficientes" está aqui empregado no sentido de especificar aqueles parâmetros que proporcionamum Sl$ , $) múlimo.

1 JF jR.LN i"ÍSSSÉÍ"'*?!!['"Ortucn V-i-uE LOntH i. T I T ^cr(WL I »» I T

Principais informações estatísticas dos modelos supostos para a série índice de PreçosDISCRIMINAÇÃOESTIMATIVAS DOSPARÂMETROS (1)NUMERO DE ITE- NÚMERO DEDESVIO PADRÃO DOS 2 n m SAÇÕES A PARTIR ITERAÇÕESESTIMADORES °a " DAS ESTIMATIVAS A PARTIRINTCTAIS DE ZEROARIMA(1,2,0) sem 9O.f{ =-0,3U632 (S)DP (L) =0,108301 0,00032103 25,129 22ARIMA(0,2,1) sem 6OQI = 0,79113 (S)UP (9 x) =0,0697 0,00026259 21,338 55ARIMA(1,2,1J sem 9QÍL = 0,243586 = 0,85552 (S)DP(9 )=0, 07521*ARIMA(2,2,0) sem 0Q*1 =-0,38239 (S)4>2 =-0,24489 (S)DP(4> )=0, 11088DP((ji2)=0, 109322ARIMA(1,2,0) com GO, =-0,32118 (S)00 = 0,00028055DP(4>1)-0, 1082142 Q 00036777 25 357DP(00)=0, 00215153ARIMA(0,2,1) com 6QQI = 0,83557 (S)90 = 0,00034417DP(ei)^0,0634948 0>00028753 ^^DP(60)=0, 00030827ARIMA(1,2,1) com 6Q$l = 0,25165QI - 0,91993 (S)DP(sj> )=0, 1264285DP (8 t) =0,0475102 0,00028984 12,611190 = 0,00031330DP(0Q)=0, 0001797ARIMA(2,2,0) com 6O =-0,51789 (S)2 =-0,42455 (S)DPUp-0,1038520DP ($2) =0,1 098061 0,00031665 24,215480 = 0,00054322DP(eo)=Q, 0020438ARIMA(0,2,2) com OQ9 = 0,77134 (S)Q2 = 0,17711DP(6)=0, 0927142DP (6 2) =0,14 01 326 0,00028655 14,323700 = 0,00033700DP(00)=0, 0003741ARIMA(0,2,2) sem QQPL = 0,60013 (S)Ü2 = 0,20872DP(S I }=o, 11301DP(92)=0(113194

133O Quadro 5 permite algumas considerações importantes para a escolha domodelo mais adequado ao estudo.- Na etapa de identificação, concluiu-se pela não inclusão do termoconstante. Porém, para fins exemplificativos, optou-se por estimartodos os modelos supostos, considerando também a existência de 0 0 .Percebe-se que essas inclusões não alteraram substancialmente as estimativasdos demais parâmetros em relação aos modelos supostos semo termo constante. Para todos os modelos, 6 Q e bastante pequeno e seapresenta não significativamente distinto de zero. A melhora do ajustamentoé desprezível, conforme se constata pelo ínfimo acréscimo davariância residual, comprovando a correção da decisão de não incluir9 0 e a potencialidade do teste de significancia feito na etapa inicialde identificação.- Assim como foram estimados, para exemplificar, os n.odelos com o termoconstante, optou-se em estimar todos os cinco modelos mais parcimoniososcapazes de descrever a série observada, embora, de antemão,se saiba que alguns não satisfazem as características para umbom ajustamento aqueles valores.- As estimativas eficientes dos parâmetros dos modelos supostos foramobtidas não só a partir de valores iniciais 'calculados na etapa deidentificação, como também supondo estimativas preliminares iguais azero. O numero de iterações necessárias para se obter estimativas eficientesfoi bastante semelhante em ambos os casos, revelando a capacidadede rápida convergência aqueles valores que o processo de aproximaçõessucessivas do algoritmo de Marquardt possui, independentementedos valores iniciais considerados. Por essa razão, torna-se desnecessáriopreocupar-se com a obtenção de boas estimativas preliminares.- O modelo suposto ARIMA(1,2,1) apresenta ^ não significativo, o queinduz ã opção por um ARIMA(0,2,1). Da mesma forma, o modelo supostoARIMA(0,2,2) apresenta o parâmetro de ordem dois não significante. Aoreduzir a ordem desse modelo, recai-se novamente em um ARIMA(0,2,1).Assim, pode-se reduzir os cinco modelos analisados a apenas três:ARIMA(0,2,1), ARIMA(1,2,0) e ARIMA(2,2,0) .- Os modelos supostos ARIMA(0,2,1) , ARIMA(1,2,0) e ARIMA(2,2,0) apresentamseus parâmetros significativos. A estatística "Q", para todosos três, apresenta-se bastante inferior ao valor crítico (para 24graus de liberdade, XQ ^Q=36,4 e para 23 graus de liberdade, XQ IQ=35,2), o que indica que os resíduos são não significativamente não--brancos, atendendo as exigências teóricas do método.- A escolha do melhor modelo, entre o ARIMA(0,2,1) e o ARIMA(1,2,0) e oARIMA(2,2,0) , depende do cjritério utilizado. Para fins de previsão,é usual o critério de menor erro quadrático médio. Para fins de ajustamentodo modelo estimado aos dados observados, pode-se adotar ocritério da variância residual mínima. Como, para o cálculo do erroquadrãtico médio, se necessita dos valores realmente observados, xg5,xgg xgg, e. esses não são disponíveis, optou-se por adotar o critérioda variância residual mínima. Por esse critério, o modolo escolhidoé o ARIMA (0,2,1).

1346.2.3 — A Etapa da Checagem do DiagnósticoA etapa de verificação da correção ou não da escolha do modelo, efetuadano item anterior, consiste em avaliar se os resíduos daquele modeloformam um processo de ruído branco. Para tanto, um dos testes maiscomumente utilizados e sugerido por Box & Jenkins é o "portmanteau",através da estatística "Q", além da análise grafica das ACF e PACF.Conforme foi visto no item anterior, a estatística "Q", para o modeloescolhido, apresenta-se inferior ao valor critico da tabela qui-quadrado,satisfazendo, portanto, as exigências do teste.A análise das ACF e PACF revela, conforme pode-se verificar nas Figuras9 e 10, poucos coeficientes dessas funções com valores superioresa linha de controle. As funções ACF e PACF não apresentam comportamentoque revele ma identificação do modelo. O grafico da serie de resíduos(Figura 11) não mostra nenhum comportamento sistemático. Os resíduospodem ser considerados aleatórios.Portanto o modelo escolhido nas etapas anteriores atende as exigênciasda teoria. Esta encerrada a fase de construção. O modelo e o ARIMA(0,2,1):V 2 ln X t = (l- 0,791138) a t = a fc - 0,791133^ .6.2.4 — PrevisõesA fase final do processo e o calculo dos valores previstos para um horizontepreviamente estabelecido.Essa é a fase que requer menores considerações, uma vez que o trabalhose constitui somente de cálculos, os quais são totalmente estabelecidospelo computador.Optou-se em obter valores previstos para 12 períodos adiante, a partirda observação 84 (dezembro de 1981). Nas páginas seguintes, apresentam--se os resultados computacionais.A seguir, no Quadro 7, apresenta-se a previsão do índice de PreçosConsumidor para o ano de 1982.^Para demonstrar as potencialidades do método, foram calculadas tambémas previsões para os demais modelos supostos, cujos resultados estãoexpostos no Anexo II. Deve-se reparar que as diferenças dos valoresprevistos entre os diversos modelos supostos se apresentam bastante pequenas.aoRepare-se que, como a série V 2 l nX t é descrita por um MA(l), a partir de h = l, sua previsão estabiliza-se em /J .Vale dizer que a previsão de Xt apresenta, a partir de h = l, taxa constante de crescimento, No caso, 5,4%.

135T»E-EST!«»Tto «E51FWALS-- MODEt- !Figura 9 — Gráfico da função de autocorrelaçao da série de resíduospara o modelo v 2 1n X t = (1 - 0,79113B)a tFigura 10 — Gráfico da PACF da série de resíduos para o modeloV 2 1nX t = (1 -0,79113B)a t

136?ü:8l2fr636E-i>ífcf>4l)1E-03108H4E-(J11U17E-OZ14567E-01ví22hE-02Hh33?SÍ973..-_-Ül7blE-0?325E-0?1H657E-02mftHfcSÍISÜK1?s|aítE-üi1.1ÍV7E-Ü1;?0107t-0^Figura 11 — Gráfico da série de resíduos para o modelo v 2 1n Xj = (1 —0,791138)Quadro bRelatório de saída do computador: previsão para osvalores mensais do IPC -— 1982TIME SHIL3 rCrtECASTlNG foR «IÍJEL. lu AT A - L = MJQtLU

137Quadro 6Relatório de saída do computador: previsão para osvalores mensais do IPC — 1982rltlUULAR FJrtE^AST >ií.SdLTi 4N iLifMi OF TH AH"' JHMEQ uATAMÚOEL l FUBI.CASTS Al BAiL Pi-HIOOPEKLE

138Quadro 7Previsão para os valores mensais do IPC — 1982MESESVALOR.PREVISTOINTERVALO DECONFIANÇA(de 95%)VALOR REAL-MENTE OCOR-RIDOPERCENTUALDE ERROJan.2408 ,8(2333,9;2486, 1) 2 390,000,79Fev.2538 ,2(2415 ,5;2667, 2) 2 556,000,69Mar.2674 ,6(2501 ,8;2859, 3) 2 785,003,96Abr.2818 ,3(2590 ,5;3066, 1) 2 934,003,94Maio2969 ,7(2680,9;3289, 5)Jun.3129 ,2(2772 ,7;3531, 6)Jul.3297 ,3(2855 ,5;3794, 2)Ago.3 474,5(2959,4;4079, 3)Set.3661 ,2(3054,i;4388, 9)Out.3857 ,8(3149,6;4725, 4)Nov.4065 ,1(3245 ,8;5091, 2)Dez.4284 ,5(3342,6;5489, 2)'NOTA: O percentual de erro i obtido através da diferença entre o valorprevisto e o valor realmente ocorrido dividida pelo valor realmenteocorrido.

1396.3 - Previsões para o Consumo de Energia Elétricano Rio Grande do SulA serie observada para essa variável está exposta no Quadro 8 e apresenta142 valores mensais, desde janeiro de 1970 ate outubro de 1981.6.3.1 — A Etapa da Identificação6.3.1.1 — Avaliação preliminarO gráfico da série observada para essa variável (Figura 13) permite visualizaruma série com tendência crescente e linear, sugerindo a existênciade uma componente sazonal com periodicidade anual. Também pode--se perceber que a série apresenta maior dispersão em torno da linhade tendência, a medida que o tempo cresce.Quadro 8Consumo mensal de energia elétrica no Rio Grande do Sul —jan./70-out./81(Mwh)MESES 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981Jan. 140 866 150 669 171 120 203 556 234 811 256 496 298 065 340 917 394 825 443 272 509 209 570 082Fev. 129 002 135 280 162 714 189 489 225 277 249 877 289 977 322 201 390 210 390 138 492 248 541 401Mar. 128 058 148 725 167 062 186 167 223 794 261 441 285 732 330 762 383 574 456 950 485 479 558 021Abr. 129 069 148 278 167 215 186 382 214 992 252 986 297 526 328 211 403 584 431 662 487 579 516 306Maio 135 350 152 817 168 532 200 570 228 349 260 978 296 963 338 541 351 228 413 552 497 852 522 933Jun. 130 320 146 482 172 731 199 134 229 950 259 829 301 691 336 645 356 376 427 158 481 153 505 254Jul. 139 719 147 126 177 512 207 022 231 310 263 384 296 390 347 089 364 498 418 580 495 582 506 583Ago. 131 466 153 034 176 084 206 068 233 175 263 176 309 156 346 286 365 965 442 714 497 444 513 147Set. 135 722 151 492 176 608 203 899 229 948 267 423 309 341 352 923 370 888 400 832 488 005 511 258Out. 137 995 152 059 170 160 204 555 234 523 268 849 314 935 354 125 391 820 432 796 492 743 501 628Nov. 138 114 151 645 168 059 205 399 230 502 268 935 313 229 348 506 386 556 433 931 488 446Dez. 144 942 164 310 177 155 219 610 242 348 277 466 329 040 407 152 394 231 456 001 533 441FONTE: CEEE — Departamento de Estatística.NOTA: Os dados referem-se aos municípios atendidos pela CEEE, totalizando cerca de 98% do consumo totaldo Estado.

140iimr.itjfiBOtf»fl'' 16E»Í385Í :lü if:l!•i 1HIFigura 13 — Gráfico da série consumo de energia elétrica no Rio Grande doSul - jan./70-out./79

141A avaliação da necessidade de transformação da variável é feita atravésdo Grafico "Amplitude X Media", exposto na Figura 14. 1? - Esse diagramamostra uma tendência crescente da amplitude, embora com oscilações,em relação a média dos segmentos, o que indica, de acordo com ocritério de Box & Cox visto em capítulos anteriores, a conveniência douso da transformação logarltmica natural, T t = In Z t , onde Z t representao consumo de energia elétrica gaúcho, no período de janeiro de 1970a outubro de 1981, o qual será, a partir de agora, a variável escolhidapara trabalho.Figura 14 — Gráfico "Amplitude x Mfidja" para a série consumo de energia elétricano Rio Grande do Sul — jan./70-out./816.3.1.2 - O estabelecimento da ordem (p, d, q) x (P, D, Q)Obtenção dos valores de ordem "d" e "D"Na análise do grafico da série Tj. = In Z t (Figura 15), visualiza-se aexistência de uma série com tendência linear, crescente, com ^pequenospicos de periodicidade anual. Significa dizer que a serie e não estacionaria,tanto no que se refere ã parte tendencial quanto ã parte sazonal,e torna-se necessário diferencia-la para obtenção de uma serieestacionaria.No estabelecimento das ordens "d" e "D" dos operadores diferença, utiliza-seo estudo da função de autocorrelaçao. Para tanto, buscou-seanalisar a ACF das séries T t VT t ,V 2 T t e VV^T,-. Os gráficos daACF paraessas quatro series estão expostos, respectivamente, nas Figuras 16,17, 18 e 19 e seus valores numéricos nos Quadros 9 e 10.cm segmentos de tamanho doze.

142.13**t*0?VÍL-Fí. l ia?cF»o2:IISSÍf:8|-.lllW.Ú.iustif *o?:llí«8f:8SõsSftL2060F*02.Í27ftOF'0!. J2T(,OF»02.tmofo?.12780F*02•129ÍOF*0?11277CF»0?B|OF*02BAUF*02É í300CF»0!!i JOJOF' *o|,12««OF*02t l J l l W *•M :* .131^ur»o;!• IIIFigura 15 — Gráfico da série T t = In Z t , onde Z t é a série observada do consumo deenergia elétrica

143A Figura 16 permite observar que a ACF da serie T t não apresenta umaqueda rápida para zero, revelando a correção da suposição inicial danão estacionariedade tendencial da serie, quando da avaliação da Figura15. Por outro lado, esse grafico não permite certificar a correçãoda hipótese da existência da sazonalidade, uma vez que, dada a escalado grafico, não é visível uma flutuação cíclica em seus valores..756 OF-OC.730.7155F*OC3f*009F»OCBF»005F*002f *OCCF*00C f * C C3f*0t)bf *00Figura 16 — Gráfico da função de autocorrelação da série T t

1144A ACF da série VT t (Figura 17) apresenta uma queda rápida para zero,voltando a ter valores significativamente distintos de zero nos períodosdefasados 12, 24 e 36, o que comprova a existência da componentesazonal. Considerando o teste de significancia de 2 DP(r ), k>0, somenteo valor da ACF de defasagem um e dos pontos sazonais são diferentesde zero 13 .,«.**.*»»..**.„,*.,.,*.**+,**..+„**»**.*.,»»**„ »*++**,*,..+,*,.,.,.».*»,*,,,..,.»,..„.,.,,»...,.XXX< XXXX.«4193F-0-. 6910F-C-. 409F-0XXXxxxxxx«xxxxxxXXXXAXX-.' 702F-0( oihbF*C-, ?»or*c-! 3«rr*ô-. er.sr-oXXXXXXxxxxXXxxx ,609-.026* .2519F-0-.120 2r*oo-.221 er-02-.345.23(95F-015F-0JF-P7F-06F-0XXX-.538x .121ÍAXXXXXX-.150XXX-.612X.Iê93f-Ccr-oDF*P3F *0OF-02F-0XX-.4653f "0* .22U5F-0* .eroiíF-oXXXXxxxxX.2fl674F"0-.a*8?SF-o-.765UfO-.106MF-C1Figura 17 — Gráfico da função de autocorrelacao da série yT tDeve-se salientar, porém, que para o teste de 2DP(rj í), k > l 2, os valores de ACF nos pontos sazonais não são signi-1'icantes. tato que pode estar indicando a não necessidade de diferença de ordem l 2.

145A ACF da serie V 2 T t (Figura 18) também apresenta uma queda rápida parazero (exceto nos pontos sazonais), porém com maior flutuação em seusvalores, o que torna preferível a série VT t . De acordo com o critériode ANDERSON(1979) a Var(VT t ) < Var(T t ) e a Var(V 2 T t ) > Var(VT t ) , o queconfirma a preferencia pela serieVT t .Portanto pode-se concluir que d=l.Figura 18 — Gráfico da função de autocorrelaçao da série V 2 T t

146Para a obtenção do valor da ordem "D", devem-se analisar as ACF das seriesVI' d i f e r en ciadas de ordem doze . A Figura 19 apresenta o graficoda ACF da série VV^lnZf- . Percebe-se que os valores dos coeficientes deautocorrelação se apresentam maiores, mesmo nos pontos de defasagemmuitiplos do período sazonal . A serie VV^Tj- tem variancia superior ada serie VT t . Portanto não é conveniente o uso do operador diferençade ordem 12. O valor de I) e zero..59779F'00,í*9S9f»OC.19911F-OI.31 159F-01.20ro?F*00.2«-li. F "00.215^VF*00.2*fl«3F»DO. 36Q53F*00.497*íF»CO.39292F»OC'.2M15FTG. 175h9F*OC•,20íf>7F*00. IB-sír^oO•,23352r»OC-2?2^1F*00>.2*2nbF»00.JOMüF-01.8?13tF-01.10->ÜF'OC. l 30«9F*OC.101UF»PC. 16186F»00-.3lo9eF-oiFigura 19 — Gráfico da função de autocorrelação da série

'147Quadro 9Valores numéricos da ACF para as séries Te VTJ,* ARE -> J i J*-í'iJÀitl' Tlit VA^Ut. ,450*.0£*jíl^AHiAtíLL «ITH 1^ UEliHEtS Dr FRtEDOMQuadro 10Valores numéricos da ACF para as séries V P T e W _ToT iO ,S • l-tt)j.?j "Q.uj "Qty< J«j' "u.il Oilo "Ut.5 O i M "w • Í fi •0*19r *í : )íJ. K 1 3.1*: 0.12 J.u U,i2 j. 12 O..* O.IÍ u.I? 0.12 f . 12jll J o!l J Ú l ^3 "j!ÍJ Si iS "d!l J oi*Í *oIÍ3 wlí l "oi l 3 f I 13THIS sErtUs i b rf--iITEST.E.0.19 u.iyTj T^bT «iLTnEH THIS sf,

148Obtenção dos valores da ordem (p, q) x (P, Q)O estabelecimento da ordem (p,q) x (P,Q) é feito a partir da analisedas funções de autocorrelaçao e autocorrelaçao parcial da serie estacionariaV In Zj..Percebe-se pela Figura 17 que a ACF da serie VT t tem um comportamentooscilatorio, com a primeira defasagem significativamente diferente dezero (o valor critico, a partir do qual é traçada a linha de controle,é 2DP(rj < .), k>0) , voltando a apresentar valores significativamente distintosde zero para as defasagens 12, 24, e 36.A Figura 20 mostra que a PACF desta série tem a primeira defasagem significativamentediferente de zero (o valor critico, a partir do qual étraçada a linha de controle, neste caso, é 2 DP(4^)), voltando a apresentarvalores significativos em torno da defasagem 12 (mais especificamente,nas defasagens 10, 11, 12 e 13) e na defasagem 23.XXXXXXXXXXXXXXXXAXKXXXmxxXXXXXAXXXXXXAXIXIHXXKXftXXXXxIIxxXXXX• 3• 1• 1" 1• i• 1* 2• 1• 6• 1• 3XX»XX 12• t* 1XXXXXXXX• 6" 9- 3• *fe" lg- 1fKl *- 1• Ij- 2" 2•2' «XIKXKlA 1mx 7• tB0?F-0m*o95F-069F-016F*0*OF-0iTprO55F-0

149Quadro 11Valores numéricos da PACF para as series T e '."Tp ARTiAL AOTGLQrtrtELAT^ONjJATA - IOtnT.FICAC«0 CQ,,buMÜ E,

150De outra parte, deve ser salientado que, conforme se pode verificar noprocesso de construção do modelo para a serie de índice de Preços aoConsumidor, o processo iterativo de aproximação sucessiva de Marquardtapresenta convergência bastante rápida para as estimativas eficientesdos parâmetros. Por essa razão, não se considera necessário calcularboas estimativas iniciais para os parâmetros dos modelos supostos, bastandoindicar valores aleatórios, dentro das respectivas regiões de admissibilidade, para alimentar a rotina "Estimação".Da mesma^forma, a avaliação preliminar da existência do parâmetro 6 0também não será feita. A análise dos modelos supostos será efetuadaconsiderando a existência do termo constante. Posteriormente, atravésdo teste^de significancia deste parâmetro, decidir-se-a pela conveniênciaou não da manutenção de 6 0 nos modelos supostos.6.3.2 — A Etapa da EstimaçãoO Quadro 12 expõe o resumo das principais informações estatísticas proporcionadaspelos sumários dos relatórios de saída do computador paraa etapa da estimação.Por esse quadro pode-se concluir que:- dos três primeiros modelos apresentados nesse quadro, o terceiro, SA-RIMA (0,1,1) x (I,0,l)i2) é o que possui menor variância residual 14 .Seus parâmetros são significativos, exceto o termo constante. Ao estimaro modelo sem 6 0 , obtém-se o quarto modelo;- o quarto modelo apresenta todos os parâmetros significativos, comvarianciaresidual levemente superior ao terceiro, permitindo supor queseja, ate o momento, o melhor;- ao incluir 82 nos modelos três e quatro, obtém-se os"- modelos SARIMA(0,1,2) x (I,0,l)i2 com e sem 8 o> 1 ue apresentam variância residualsuperior ã do quarto modelo;- se, ao invés de acrescentar 82, for incluído um parâmetro auto-regressivona componente não sazonal, obtém-se o sétimo modelo, SARIMA(1,1,1) x (1,0,1)12- Esse apresenta i e 6 0 não significativos, alemde maior variância residual do que aquele;- eliminando (j)-^, volta-se novamente ao terceiro modelo. Eliminando 6^,tem-se o oitavo modelo, SARIMA C l, 1,0) x (l,0,1) 12- E sse também apresentamaior variância residual que o quarto modelo.Portanto a escolha do modelo mais adequado ã série observada recai noquarto modelo, SARIMA (0,1,1) x (1,0,1) 12 . sem o termo constante:(1-0,94055 B 12 ) Vln Z t = (1-0,57944 B)(l-0,63588 B 12 )a t .14 A escolha do critério da variância residual mínima, aqui utilizado, prcnde-se às mesmas justificativas expostas paraa escolha do modelo da série anterior.

Quadro 12151Principais informações estatísticas dos modelos supostos para a série consumode energia elétrica no Rio Grande do Sul — jan./70-out./81MODELO SUPOSTOESTIMATIVAS DOSPARÂMETROSDESVIO PADRÃO DOSPARÂMETROSVARIÃNCIARESIDUAL(1) SARIMA (0,l,l)x(l,0,0) 12com 8 o(2) SARIMA ^,l,l)x(2,0,0) 12 10com 8 0(3) SARIMA (0,l,l)x(l,0,l) 12com 6 o(4) SARIMA (0,l,l)x(l,0,l)sem 6 0(5) SARIMA (0,l,2)x(l,0,l)com 6 o(6) SARIMA (0,l,2)x(l,0,l)sem 6 o(7) SARIMA (l,l,l)x(l,0,l) 12com 8 o(8) SARIMA (l,l,0)x(l,0,l) 12com 8 o= 0,48650+ 12e, i= 0,63979e = 0,0048753o6 - 0,5984112e = 0,0017472 (N)o= 0,37640*19 12= 0,0030087 (N)- 0,89408+ 128, 1= 0,59426= 0,59914= 0,00099844 (N)= 0,94055+ 126 1= 0,579456, 120= 0,63589= 0,89820+ 12e, 12. = 0,60090e, i=• 0,607589 2= 0,600906 0= 0,00094837 (N)= 0,93694+ 129 = 0,6313312B I - 0,602429 2= -0,64007+ 1= -0,27481 (N)- 0,87872+ 126 = 0,56196129 = 0,31175 (N)1e = 0,0015206 (N)o= 0,49386+1,0= 0,8803612= 0,26775+ 249 = 0,609601e o8 10128 oDP (O = 0,0815561DP(6,) = 0,07133671DP(6 ) = 0,0015066oDP(iji „) = 0,0'1355867DP(_.) = 0,0934642Z4DP(9 ) = 0,0773061DP(8 ) = 0,0016962oDP(i)> 2) = 0,0605918DP(8.) = 0,07470911DP(6,,) = 0,104642812DP(6 ) = 0,0008091oDPO 12) - 0,0432653DPCS^ = 0,0755204DP(8,.) = 0,092015312DP( J = 0,0593928DP(8,.) = 0,103923412 'DP(8 ) = 0,093204DP(8 2) = 0,0934433DP(8 ) = 0,0008368oDP((j> 2) - 0,0446530DP(6 2) - 0,0932448DP(9 ) = 0,0925051DP(8 2) = 0,0922361DP(

leiatorio de salda do computador: sumário de informaçõesestatísticas para o modelo escolhido6.3.3 — A Etapa da Checagem do DiagnósticoA ACF, a PACF e a série de resíduos para o modelo escolhido estão apresentadasnas Figuras 21, 22 e 23. Pode-se perceber que nem as ACF ePACF, nem a série de resíduos apresentam comportamento que indique máidentificação. A serie de resíduos pode ser considerada aleatória.O teste de "portmanteau" apresenta a estatística "Q" = nZr^ = 35,77. Aum nível dê significãncia de 10%, o valor tabelado qui-quadrado, para27 graus de liberdade, é 36,7. Logo, pode-se aceitar a hipótese de queos resíduos não são nao-brancos 15 .Portanto o modelo escolhido nas etapas anteriores está bem identificado,atendendo às exigências da teoria. Esta encerrada a fase de construçãodo modelo.15 Para séries sazonais, é comum a utilização de outros tipos de testes mais específicos, a fim de avaliar a permanênciade algum comportamento ci'clico nos resíduos. Entre eles, é usual o Periodograma Acumulado. Como, no problemaem questão, não aparece nenhuma duvida sobre a não existência de comportamento sistemático nos resíduos, julgou-sedesnecessária sua aplicação. Para detalhes sobre o teste do Periodograma Acumulado, ver, entre outros,BOX & JENK1NS (1976), MORETTIN & TOLOI (1981) e Nelson (1973).

1536.3.4 — PrevisõesPara essa serie optou-se em inferir valores previstos para 12 períodosadiante, a partir da observação 142, correspondente ao mês de outubrode 1981. Nas páginas seguintes apresentam-se os resultados computacionaise, no Quadro 14 os valores previstos para a serie original.Figura 21 — Gráfico da ACF da série de resíduos para o modelo(1 -0,94055B n )v1nZ t = (1 - 0,579448) (1 - 0,63588B 12 )a t

154.-.96QbF'0.95510E-0XXKXXXXXX.100i.9F*0.BB026F-032J3XXAXX*.11U5C-D.29BUE-0Figura 22 — Gráfico da PAC da série de resíduos para o modelo(1 -0,94055B l2 )v1nZ t = (1 - 0,579448) (1 - 0,63588B 12 )a t

155xx* *XXKx**xx*xx*xxxx /x ^x *xAAx"«„Í7Í73É-8«OllU E-O:g62091 -iÊSSSi; :g* .iliinÍ76JO:8•o\rn-i6 r SISífíífIV•iB:íÍJ'JJE:Í?í5s! •_8|||s|s •Sit»D3SMtS :IOZ51^-Õií2691E"0]|f»|:gIíí " "8lííít •o*0í l! i. i;?!l *06>!ó;t-iXKxxKX*XKsXXXxXx* .KxxxXxxx*xxx;iüil12^661009)arísífoiIUÍ«E-01«2bbDítioí*lir*is^n^909íltll!ob?ü150BHí|551Í6ÍÍ9?16D3391Q35I»1J'i!^í £>* 52:|"E*6*ü*8• n*S"0•D': \\•8;-OíTIjs*|OE;gjt !!J6S239ijj*e20J91*lí*7:||"0 1:|•xxxxKx« xxKXJ,xxx*xxx**;Í599b£;5l556-31«705t>5BOÜbOb43lltf\\*líliait•8•5Í: s:í*s*S"0íbÍ73E'032293Ulií •0: 9iFigura 23 — Gráfico da série de resíduos para o modelo(1 -0,94055B 12 ) v1nZ t = (1 - 0,579448) (1 - 0,63588B 12 )a t

156Quadro 13Relatório de saída do computador: previsão para os valoresmensais do consumo de energia elétrica noRio Grande do Sul — nov./81-out./82T I * E s c. 3 l L s„ A T A - L = M J ü E u U iARi f -'W(0*l*lJX(l»0»lJlíí JAüüi TRANSFuriMAtCiS••"JUEL uEVLLOrEj «ITn TR«'«aFünMt.ü JATA = W3j( /(T)+0. J^IVAMlATL ^uDt.L PAhaULTLMSr> Ar< A ML TER ***Mt ILrtTtptPaKAMETER, j u M B E * OF T I M £ i] H I ia l * S K u ri FjKLOiTS =.JJMBErf QF FOntCAbTi «T L«I-M l I ME urtlwiNjACKFürtECA^TiNo w A

157Figura 24 — Relatório de saída do computador: gráfico dos valores previstos paranov./81 -out./82 do consumo de energia elétrica gaúchoQuadro 14Previsão para os valores mensais do consumo de energiaelétrica gaúcho — nov./81-out./82ANOSEMESESVALOR PREVISTOINTERVALO DE CONFIANÇA '^OBSERVADo"(de 95%) . , . . ,(se conhecido)DE ERRO1981Nov.Dez.510 911,2541 261,5(476(501311, 7;548 023, 7) 516 655613, 7;584 043, 0) 559 7791,13,11982Jan.Fev.Mar.Abr.MaioJun.Jul.Ago.Set.Out.575 551,3549 978,7564 805,6550 248,6547 880,6541 315,9545 676,2552 724,0544 592,6550 550,3(530(504(515(499(495(487(489(493(484(488457, 5;624 478, 5) 589 137276, 5;599 822, 8)352, 6;619 004, 1)751, 6;605 848, 1)408, 2; 605 910, 8)405, 9;601 188, 7)338, 1;608 500, 6)719, 0;618 780, 7)616, 3;611 991, 6)123, 6; 620 960, 9)2,3NOTA: O percentual de erro é obtido através da diferença entre o valor previsto e o valorrealmente observado (se conhecido) dividida pelo valor realmente observado.

7 - CONSIDERAÇÕES FINAISEste trabalho procurou expor, em detalhe, a metodologia criada pelosprofessores George E.P. Box e Gwilym M. Jenkins para a análise de sériesunivàriantes de tempo. Foram abrangidos tanto os aspectos teóricosquanto questões relativas a seu manuseio prático.Conforme se pode perceber no decorrer deste documento, a metodologia deBox & Jenkins emprega técnicas estatísticas relativamente sofisticadase proporciona previsões bastante precisas, em comparação com outros métodosde previsão. Contudo o método apresenta um conjunto de réstriçoesoperacionais e pressupõe que a serie observada tenha algumas especificidadespara gerar boas previsões.O fundamento dessa metodologia esta inserido na Teoria dos ProcessosEstocásticos, onde as relações entre consecutivas observações assumemespecial importância, estando o método incluído no conjunto de instrumentosde Análise de Séries Temporais classificados como não automáticos .O método de Box & Jenkins para a Análise de Séries Temporais caracteriza-sepor seu objetivo de estabelecer modelos do tipo auto-regressivointegrado-media movei, de forma a se ajustar ao conjunto de pontos observadosno tempo, partindo de um ciclo iterativo de cálculo.A estratégia desse processo de "modelizaçao" consiste em identificar ummodelo tentativo capaz de descrever adequadamente os dados disponíveis,estimar eficientemente seus parâmetros, validar o modelo propôs to atravésde uma avaliação de quão bem este é capaz de descrever a realidadee, em caso de considerar que a representação do modelo é adequada, usã--lo para fins de análise de séries temporais ou, em caso de rejeição,selecionar um novo modelo, repetindo-se o ciclo.Verifica-se que a etapa crítica desse processo é a de identificação domodelo tentativo. Sua análise é feita a partir das funções amostrais deautocorrelaçao e autocorrelaçao parcial e, por se tratarem de dadosamostrais, caracteriza-se pela falta de precisão. Ê comum,por essa razão,que mais de um pesquisador, trabalhando com a mesma série de dadosobservados, identifique modelos distintos. Nessa etapa e, então, usualtrabalhar com mais de um modelo tentativo para, na etapa final de verificação,escolher aquele que, de acordo com algum critério previamenteestabelecido, se mostra mais conveniente para a descrição dos dadosde que se dispõe.Quando da divulgação dessa metodologia, muitas críticas foram levantadas,fato que não permitiu sua utilização intensa no início dos anossetenta, embora os modelos assim obtidos sejam bastante simples e parcimoniosos,contendo um número pequeno de parâmetros, além de propor-1 São classificados, na maioria dos livros técnicos sobre o assunto, como método automático de análise de serie temporalaqueles instrumentos para os quais, em geral, não existe um tratamento estatfstico completo masque, por seremde fácil manuseio e apresentarem resultados satisfatórios em muitas situações, são intensamente utilizados. Hntreesses instrumentos destacam-se os modelos de decomposição (tambe'm chamada Análise Clássica de Séries Temporais)e os de alisamento.

160cionarem previsões bastante satisfatórias quando comparados com os demaismétodos existentes para a Analise de Series Temporais.Essa situação pode ser creditada, em muitos aspectos, às característicasda metodologia, cuja utilização apresenta algumas restrições de ordemoperacional. Entre elas, podem-se destacar as seguintes:- a necessidade de um conhecimento teórico de estatística bastante superiorao usualmente ministrado nas disciplinas de cursos, onde a estatísticae vista como meio e não fim;- a necessidade de um numero mínimo relativamente grande de observaçõespara produzir previsões acuradas: em torno de 40 para séries não sazonaise, para series sazonais, 30 mais três vezes o tamanho do ciclode sazonalidade;- a possibilidade de acesso a pacotes computacionais, dado o grande volumede cálculos necessários;- a necessidade de alguma experiência e sensibilidade técnica para oestabelecimento da ordem do modelo identificado, além do mero uso mecânicode programas computacionais "enlatados";- a possibilidade de proporcionar a identificação de mais de um modeloque satisfaça as condições exigidas pelos dados, de acordo com o critériointerpretativo de cada usuário; 2- os parâmetros dos modelos estimados não são atualizados a cada novaobservação obtida, pressupondo, por conseguinte, que o processo queestá sendo analisado mantém a mesma estrutura para todos os horizontesde previsão, o que nem sempre e verdade;- as previsões obtidas tendem a media do processo para horizontes distantes,em todos os modelos propostos por Box & Jenkins, indicandouma importante limitação do método;- apresenta custo operacional alto, quando comparado com outros métodosde Analise de Series Temporais.Entretanto a experiência tem mostrado, cada vez mais, a importância dessemétodo. As previsões assim obtidas são, em geral, melhores do que asproporcionadas pela maioria dos métodos baseados em modelos econométricoscorrentes de ajustamento.Nesse contexto, e necessário salientar a grande preocupação dos pesquisadoresde séries de tempo em estabelecer os limites de conveniênciapara a utilização de cada metodologia de Analise de Séries Temporais.Na aplicação prátiu^ da metodologia às duas séries analisadas neste documento^podem-se verificar algumas características do processo de "modelizaçao"das séries temporais e constatar as potencialidades do métodoatravés da obtenção de previsões bastante precisas.2 Essa restrição c a anterior foram as mais criticadas no decorrer da década passada. Como conseqüência, vários autorespropuseram formas alternativas de identificação de modelos, entre as quais se destacam os procedimentos deCLEVELAND (1972): Função de autocorrelação inversa; de AKAIKE (1973): Minimum Akaike Information CriteriumEstimation (MAICE); de PARZEN (1976): Criterion Autoregressive Transferfunction (CAT); de GRAY,KELLEY & McINTIRE (1978); de NERLOVE, GRETHER & CARVALHO (1979). Para detalhes sobre estes procedimentos,ver MORKTTIN & TOLOI (1981).

161Para ambas as variáveis, foram escolhidas amostras de tamanho suficientementegrande para cumprir as exigências de precisão do método, apresentandoprevisões acuradas para os horizontes que, até o momento, sãopassíveis de confrontação com a realidade.Embora as séries tenham sido modeladas por processos diversos, a primeirapor um AR1MA (p,d,q) e a segunda por um multiplicativo SARIMA(p,d,q) x (P,D,Q), esse fato não implicou graus de precisão significativamentedistintos. A diferença entre esses dois processos reside somenteno fato de o modelo multiplicativo apresentar maior dificuldadeoperacional em seu processo de modelagem, ã medida que as ACF e PACFdevem descrever maior número de movimentos da serie. Em geral, a etapade identificação de um processo SARIMA (p,d,q) x (P,E,Q) sugere um numerobem maior de modelos capazes de serem descritos pela série realmenteobservada do que a do processo simples ARIMA (p,d,q), o que a tornapassível de maior probabilidade de um ajustamento não adequado, alémde apresentar maior custo operacional.Os modelos descrevem, de modo simples, o relacionamento estatístico queexiste entre os dados observados, não requerendo um conhecimento "apriori" de como a série é gerada, permitindo que as observações "falempor si mesmas" e gerem previsões para um horizonte tão distante quantose queira. Para cada um dos valores previstos, são estimados limitesde confiança que, no fundo, tornam preferencial o seu uso em estudos decurto prazo, ã medida que, quanto mais o futuro se afasta do presente,maior é o intervalo de confiança e menor a precisão das estimativas.O método oferece um meio essencialmente lógico de descrição dos dados,onde a inerente subjetividade existente em alguns modelos economêtricosnão e requerida, proporcionando meios de previsão apropriados para assituações específicas examinadas.Fundamentalmente, o desempenho de um determinado método aplicado a análisede uma serie temporal depende de um conjunto de condições, que iraproporcionar os meios de avaliação da acuidade e conveniência do método.Em geral, esse conjunto de condições envolve, entre outros fatores:- o modelo ao qual a série obedece;- a habilidade do pesquisador em identificar e ajustar corretamente omodelo;- o critério escolhido para medir a precisão das previsões;- a presença de componentes periódicas na serie;- o tamanho da série;- a variabilidade da componente aleatória em comparação com a variabilidadede outras componentes constitutivas da série;- a utilização de variáveis transformadas;- o horizonte de previsão desejado.Vários autores tem abordado o problema da escolha do método mais indicadoa cada série observada, procurando expor de forma comparativa autilidade de cada um. Destacam-se MORETTIN & TOLOI (1981) que, além deseus próprios estudos, expõem uma síntese de alguns trabalhos representativossobre comparação de resultados obtidos pelo emprego de diferentesmétodos de análise de série temporal. Entre esses estudos, incluem--se os desenvolvidos pelos autores a seguir relacionados.

162- KIRBY (1966), comparando os métodos Médias Moveis, Alisamento Exponenciale Regressão (linear), concluiu que, para previsões a um passoadiante, o melhor método (pelo critério de menor percentagem deerro médio absoluto ) e o de Alisamento Exponencial. Para previsõesde horizonte igual a seis períodos, os métodos de Alisamento Exponenciale Médias Moveis apresentam acuracia semelhante e para previsãode longo prazo, h - 12, o modelo de regressão e o mais indicado.- GRANGER & NEWBOLD (1974), comparando especificamente métodos de Alisamentoe modelos ARMA, concluíram que, para a maioria das sériesanalisadas, as previsões de Box & Jenkins proporcionam melhores resultadosdo que as obtidas pelos procedimentos automáticos, tais comoos métodos de Ajustamento Exponencial de Holt & Winters e Regressão"Stepwise".- REID (1969) obteve conclusões semelhantes as de Granger &Newbold pa^rã as séries que analisou. Em sua quase totalidade, as séries apresentaramresultados mais satisfatórios através do método de Box&Jenkinsdo que no de Alisamento Exponencial de Brown, mesmo naqueles casosem que esse é modificado para erros serialmente correlacionados.- GROFF (1973), ao contrario dos outros autores, chegou a conclusõesdiferentes: "Para a maioria das series, os erros de previsão do melhormodelo de Box & Jenkins são iguais ou maiores do que os errosdo correspondente modelo de Alisamento Exponencial".- GEURTZ & IBRAHIM (1975), conforme exemplificam MAKRIDAKIS & HIBON(1979), examinando uma única série, chegaram ã conclusão de que tantoos modelos de Alisamento Exponencial, como o de Brown e os de Box &Jenkins apresentam resultados igualmente satisfatórios.- MAKRIDAKIS & WEELWRIGHT (1977) concluíram que não se pode optar indiscriminadamentepor um único método, uma vez que a melhor metodologiavaria não só de uma série a outra, como também depende do horizontede previsão que se deseja.- MAKRIDAKIS & HIBON (1979) apresentam conclusões semelhantes aos anteriores.O melhor método depende não só do critério de precisão quese requer, mas também se o objetivo e medi-lo na fase de ajustamentoou de previsão. Porém, dão ênfase ao fato de obterem bons resultadosutilizando métodos simples ao invés dos métodos não automáticos.- MORETTIN & TOLOI (1981), comparando os métodos de Alisamento ExponencialSimples, Alisamento de Holt & Winters, Alisamento Exponencial Geral,Regressão Stepwise, Bayesiano e Box & Jenkins aplicados a um conjuntode dez séries temporais, concluíram que o método de Box& Jenkinsapresenta um desempenho geral melhor que os demais, exceto para previsõesde horizonte distante, onde a regressão mostrou ser mais adequada.Portanto, conforme se pode verificar por essa síntese de estudos comparativos,embora a metodologia de Box & Jenkins seja de indubitávelvalor, não se pode esquecer a existência de outros métodos de Análisede Series Temporais, os quais podem proporcionar previsões de boa qualidade.Em certos casos, o método de Box & Jenkins poderá ser inaceitável,extenso e com resultados inferiores aos dos outros métodos.Uma exposição sobre este critério de escolha de método encontra-se em MORETTIN & TOLOI (1981).

163Ao longo do desenvolvimento deste documento, ainda que não se tenha testadona prática outros métodos de Análise de Séries Temporais, pode-seconstatar a boa qualidade e a precisão das previsões obtidas no estudodas variáveis índice de Preços ao Consumidor para a Cidade de PortoAlegre e Consumo de Energia Elétrica no Rio Grande do Sul, através daaplicação da metodologia de Box & Jenkins.As séries foram escolhidas com tamanhos compatíveis com as exigênciasdo modelo e proporcionaram valores previstos para os primeiros horizontesque já estão disponíveis, extremamente próximos ã realidade: parao IPC-Porto Alegre, o percentual de erro entre o valor previsto e o valorreal foi de 0,79%_para o horizonte l e de 0,69% para o horizonte 2.Na aplicação a serie Consumo de Energia Elétrica no Rio Grande do Sul,cujo último valor real disponível se refere ao horizonte 3, os percentuaisde erro foram 1,1%, 3,1% e 2,3% para os horizontes l, 2 e 3, respectivamente,comprovando, nesses exemplos, o excelente desempenho dametodologia analisada, pelo menos para horizontes pequenos.

ANEXO lManual dos Comandos Necessáriospara a Operação das Rotinas Computacionais

167IdentificaçãoREAD Statement Explanations for Univariate AnalysisNote: Ali numbers should be right-justified (i.c., as far to the rightas possible) within the columns allowed unless otherwise indicated.cc = card column.1 ' TIIÍI^T^^ÍÕ íl 12 li 14 152< T 2" l 4" I3.12345cc 1-5 No. of observations in time series(NOB).4. _( _)_12345 ??cc l Left parenthesiscc. 2-?? , Regular FORTRAN format describing typed cards in 5. below.cc ??+! Right parenthesis.5. Block of one or more data cards with observed series typed on them,following the format given in 4. above.6. One card with title describing time series. Title may be typed anywherewithin the 80 columns on the card.7.12345cc 1-5. Enter a zero if wish to suppress listing of time series dataon output (ILDID).12345cc 1-5Enter a zero if wish to suppress plot of time series data onoutput (IPDID).9.l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16cc 1-8Number with four decimais (TLAMID). 1.0000 if no data transformationdesired. .0000 if want natural log transf ormation.xxx.xxxx if want power transf ormation with exponent xxx.xxxx.

168cc 9-16 Number with four decimais (TMID)..0000 if no data transformation desired.xxx.xxxx if want the amount xxx.xxxx added to each timeseries observation before data transformation.10.12345cc 1-5 No. of differencing factors (or types). An autocorrelationfunction is calculated .-for the original series and eachrequested difference õf type 1. Differencing f actors beyondthe first are used to difference the original series to obtaina new "original series" (NDIFID).11. (Card required only if entry in 10. above is non-zero.)12345 ??cc 1-5 No. of differences of first type (NDID(l)).cc 6-10 Order of differences of first type (IODID(1)).Repeat in cc 11-15, 16-20, etc., for number of differentdifferences indicated in 10. above.types of13. _ _ _ _12345 27 28 29 30cc 1-5 Maximum lag desired in calculating sample autocorrelatlons(NAC) .cc 6-10 Maximum lag desired in calculating sample partial autocorrelatlons(NPAC). (Maximum is NAC.)cc 11-15 No. of autocorrelations to be printed per line on output(NAPL). (l

NMODEL — Number of raodels to be es timated-checked and/ora given time series.169forecast forIEYON — Enter a zero if wish to suppress estimation-checking stages(i. e., do only forecasting) .IFYON - Enter a zero if wish to suppress forecasting stageonly estimation-checking).1. _____123452. _____T 2 3 4 5cc 1-5 Number of observations in time series (NOB) .(i. e., do3-1 ____ ...... __)12345 ??cc lcc 2-??cc ??+!Left parenthesisRegular FORTRAN format describing typed cards in 4. belowRight parenthesis4. Block .of one or more data cards with observed series typed on themfollowing the format given in 3. above.5. One card with title describing time series. Title may be typed anywherewithin the 60 columns on the card.Repeat 6. through 1.2. for cach of the models to be examined (NMODELtimes) .6.12345cc 1-5 Number of values of the time series data transformation parameterÀ to be considered. Enter zero if wish analysis onlyin terms of original time series data (NLAM) .7. (Card required only if entry in 6. above is non-zero.)cc 1-8 Number with four decimais (TM (1)). This number to be addedto cach time series observation prior to any data transformation.cc 9-16 Number with four decimais (PLAM (D). First value of transformationparameter X to be considered.1.0000 means no real transformation..0000 means desire natural log transformation.xxx.xxxx means desire power transformation with exponentxxx. xxxx.

170Repeat in cc 17-24, 25-32, etc. for number of different valuesX indicated in 6. above.ofl 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15cc 1-5 Number of autoregresslve factors in the univariate timeseries model (MFAC (1,1)).cc 6-10 Number of differencing factors in the univariate timeseries model (MFAC (2,1)).cc 11-15 Number of moving average factors in the univariate timeseries model (MFAC (3,1)).9. (Card required only if entry in cc 6-10 of 8. above is non-zero.)12345 ??cc 1-5 Number of differences of first type in the univariate timeseries model (ND (1,1)).cc 6-10 Order of differences of first type in the univariate timeseries model (IOD (1,1)).Repeat in cc 11-15, 16-20, etc. for number of different types ofdifferences indicated in cc 6-10 in 8. above.12. (Card required only if entry in cc. 6-10 of 8. above is zero).12345678cc 1-8 Enter number with four decimais, xxx.xxxx, the initialestimate of the mean of your time series (AVEPA(l)).13.12345 ??In cc 1-5, 6-10, 11-15, etc., enter the number of individualparameters in each autoregressive factor, and then the number ofindividual parameters in each moving average factor. Total numberof values entered on this card should equal the sumof values in cc1-5 and cc 11-15 in 9. above. If number of values is zero, deletecard (INC).14.12345In cc 1-5, 6-10, 11-15, etc., for each individual autoregressive ormoving average parameter in your univariate time series model (firstautoregressive, then moving average), enter the "order" of theparameter. "Order" is the power of the B operator which multiplies

the parameter in the model equation. Total number of values enteredon this card should equal the sum of values in 13. above. If numberof values is zero, delete card (IOPA).17115.12345678 ??In cc 1-8, 9-16, 17-24, etc., for each individual autoregressive ormoving average parameter in your univariate time series model (firstautoregressive then moving average), enter an initial estimatefor the parameter. Enter each with four decimais, xxx.xxxx. Totalnumber of values entered on this card should equal the sum of valuesin 13. above. If number of values is zero, delete card (UPA).16.12345cc 1-5 Enter a zero if the univariate time series model does notcontain a trend parameter (ITREND(l)).17- (Card required only if entry in 16. above is non-zero).12345678cc 1-8 Enter number with four decimais, xxx.xxxx, the initialestimate of the trend parameter in the univariate timeseries model.37.12345cc 1-5 Enter a zero to supress the use of the backforecastingprocedure in the estimation of univariate time series modelparameters (see [2] , pp. 215-220) (IWBF).38. _ _ _ _ _ _1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16cc 1-8 If relative change in residual sumof squares less than thisvalue, the iterative change in parameter values stops, atpresumed optimum. Number with four decimais,.xxxx (EPSI).cc 9-16 If relative change in each individual parameter less thanthis value, the iterative change in parameter values stops,at presumed optimum. Number with four decimais , .xxxx (EPS2).39.123456789 10cc 1-5 Maximum number of iterations to be allowed for parameterestimation process (MIT).cc 6-10 Enter a zero to suppress the plotting of the univariate timeseries model residuais (IPRES).

17240.12345cc 1-5Enter a zero if wish to suppress listing of observations inyour time series on output ' (ILDEST(l)).41.12345"cc 1-5 Enter a zero if wish to suppress plotting of observationsin your time series on output (IPDEST(l)).42. _ _ _ __12345 27 28 29 30cc 1-5 Maximum lag desired in calculating sample autocorrelationsof the time series model residuais (NAC).cc 6-10 Maximum lag desired in calculating sample partialautocorrelation of the time series model residuais (NPAC).(Maximum is NAC)cc 11-15 No. of autocorrelations to be printed per line on output(NAPL). (l i NAPL

17348. (Cards required only if entry in cc. 11-15 in 44. above is non-zero.)Block of one or more data cards with new observations for time series(beyond the original NOB) typed on them, following the format suppliedin 3. above. Used to determine updated forecasts.NOTE: Cards 38.through 42. not required if IEYON=0.NOTE: Cards 44., 45., and 48. not required if IFYON=0.

ANEXO 11Relatórios de Saída do Computador: Previsõespara o índice de Preços ao Consumidor,Usando Diversos ModelosSupostos na Fase de Identificação

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s^c; c —)c i- >C-' "*> — < Sj= p? ^mi— 3, 1 t/.< p" Pj». ^33pit— t t*J P»k€/£T) IIO- 3 O— CJ 3)CJ PIa P.i— r r~,í*— i fs C O"-H^ i i i--—4 ^C3) •- *-*^ST-X *- iy >~*'t/ 1 -n fv 3:C O *3 %r c cCC,O 3J '-f P7r-C P^ ^> x >C-l* 0c«-•»-• t/Rr r\. a.Ci ^ >C ' -:"nc c:N.' "T 3Í*-* 37 D4 -C CO P^ t^» 313 CE -^4» u?x=ui ro«-~n i *.o c d31 üt 3C• O»-. (/i 3;cr — i p-t~-< v crz »-«t/ ^ i—i C/i>•~x. r ~nr *- c_— f Xn "n•- 3:2: rrn o^ c i/ a: —ti-< oic>— n^w>- >C C _l — (c o3; X'r* P33 33r* P-.€/• IA -*4* u» i\>*- m -*u &• oP"i p" mn P~ pip* F 1 PT*) p~.p~tc c ccc cccocccO) *—-j.>D 333>»-r^mP"!3}i iooc ocooocoooo -* * c * u i; »O O OOOOOOOO O O 3C —*IV 1*1* c*r tV)C Ur r^ •f •*•c cC Üan" •-C 3?m »-

OO OO 3OOOOOOO3 3 30'-JUJ 1-iJUJOO Of--rt o ;>oí 7- OOí iA OOPJ(M fMM333 3333UJ..JUJ -J UUJ JOíIS-in*^ajo-n^ >* r -'l?\•O "M O 3- r\j— trvjo a- \i-• o n ^ o -. » CM*- Of^íXMüÍT -oo^m^íoor> *- AAI >J O O > 3 •>o o ^*"*>f^ "a~yfn^-^^•-« 3> t>ooo n>**1 * 1/VT» -O f-- OO O O*-«T ui-ON-OO O^O---«O»-3: oo o o ooo ooo oo£s:.jCJ~ZjjU.~zo(_»Oi/l -~« ^> ^-« O O O*-t J} -O^i• o o .n -» "V- AÍ -*i o r-* 3 *i. MV. MOOO^IMOO -*-+0 CNX>^^r^.co>Ofn^ooo13•-^^I>OX.D30CO»0•

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ABSTRACTThe present dissertation is concerned with the method developed byGeorge E. P. Box and Gwilym M. Jenkins.That methodology was developed during the sixties and published by theauthors in 1970 under the title "Time series analysis: forecasting andcontrol".The significance of Box and Jenkins' work is given by the possibilityof constructing linear models of the autoregressive integrated movingaverage type that could describe with precision and parsimony the stochasticprocess that generates a time series, offering therefore accurateforecasts.The strategy in that methodology consists in identifying models ableto describe the data available, to efficiently estimate its parametersand to evaluate the model "vis-S-vis" the phenomenon being invéstigated.If this representation of the real world is adequate, the model can beapplied in time series analysis or, on the contrary, if that representationis not adequate, a new model should be designed and a new roundof tests run.The present dissertation is structured in seven chapters.Chapter I consists of not only the general question being posed andour concern about it justified, but we also develop the fundamentalideas to deal with time series analysis: a short history of the subject,the importance and the statiscal meaning of the technique and the conceptproper of time series.In the chapter II we develop the basic concepts of Stochastic Processthat will be useful for the understanding and working of Box andJenkins' methodology.In chapters III, IV and V we deal in detail with Box and Jenkins 1 timeseries analysis: the models they use, the process of modeling and themethod for forecasting.In chapter VI, we apply the proceding developments to two sets of data,which are significant to the understanding of Rio Grande do Sul economy:the Consumer Price Index (cost of living index) in the city of PortoAlegre and Electric Energy Comsumption in the State. 11 can be observedthat the forecasts obtained through Box and Jenkins' method showvalues very much close to the real data, making it clear about theusefulness of the author's methodology.The last chapter is a summary of the method discussed. We call attentionto its qualities but also to its operational shortcomings and we referto some other methods for time series analysis, trying to locate aspectsfor applying each one of them.

BIBLIOGRAFIAAKAIKE, H. A new look at the statistical model Identification. IEEETransactions on Automatic Control, p. 716-23, 1974.AKAIKE, H. Information theory and an extension of the maximum likelihoodprincipie. Second Internacional Symposiuni on InformationTheory, Budapest, Akademia Kaido, 1973.ANDERSON, 0. D, Time series analysis and forecasting: the Box-Jenkinsapproach. London, Butterworths, 1979.ANDERSON, R. L. Distribution of the serial correlation coefficient.Ann. Math. Statist., Baltimore, S.S.Wilks, JJ:1-13, Mar. 1942.ANDERSON, T. W. The statistical analysis of time series. New York,J. Wiley, 1971. ~ ' ' ~~BAILEY, Norman T. The elements of stochastic processes with applicationsto the natural sciences. New York, J. Wiley, 1964.BARBER, William J. Uma historia do pensamento econômico. Rio de Janeiro,Zahar, 1979.BELL, John Fred. História do pensamento econômico. Rio de Janeiro,Zahar, 1961.BOX, G. E. P. & COX, D. R. An analysis of transformations. Journal ofthe Royal Statistical Society, London, 626:211-252, 1964.BOX, George E. P. & JENKINS, Gwilym M. Time series analysis: forecastingand control. San Francisco, Holden-Day, 1976.BOX, G. E. P. & PIERCE, D. A. Distribution of residual autocorrelationsin autoregressive integrated moving average time series modeIs.Journal of the American Statistical Association, Washington, ^5: 1509-26, Dec.l9~70. ~~BUNGE, Mário. Teoria e realidade. São Paulo, Perspectiva, 1974.CHÃO, Lincoln L. Estadistica para Ias ciênciasadministrativás. Bogotá,McGraw-Hill, 1975.CHURCHMAN, C. W. Introdução ã teoria dos sistemas. Petrópolis, Vozes,1972.CLARKE, A. Bruce & DISNEY, Ralph, L. Probability and random processesfor engineers and scientists. New York, J. Wiley, 1970.CLEVELAND, W. P. The inverse autocorrelations of a time series andtheir applications. Technometrics , _14(2) : 277-98, 1972.DAGUM, Camilo & DAGUM, Esteia M. Bee. Introducción a Ia econometria.México, Siglo Veintiuno, 1971.ECHENIQUE, Marcial et alli. Modelos matemáticos de laestructura espacialurbana: ap li caciones en Amêril-a Latina. Buenos Aires, SIAP, 1975.ECONOMETRIC SOFTWARE PACKAGE.Chicago Version, 1974.Washington, Synergy Inc., University of

184FERGUSON, C. E. Teoria microeconómica. México, Fondo de Cultura Econômica,1974.FERNANDEZ, Pedro Jesus. Introdução aos processos es tocas ticos. s.l.p .,IMPA, s.d.FOX, Karl A. Intermediate economic statistics. New York, J. Wiley,1968.FREUND, John E. & WILLIAMS, Frank J. Modern business statistics. EnglewoodCliffs, Prentice-Hall, 1958.GNEDENKO, B. V. The theory of probability. Moscow, MIR, 1969.GRANGER, C. W. J. & NEWBOLD, J. P. Experience with forecasting univariatetime series and the combination of forecasting. Journalof theRoyal sTãtistical Society, London, A137T 131-46, Jan. 1974~GRANGER, C. W. J. & NEWBOLD, Paul.New York, Academic Press, 1977.Forecasting economic time series.GRAY, H. L. et alli. A new approach to ARMA modeling. Communicationsin Statistics. 87(1): 1-78, 1978.GROFF, G. K. Empirical comparison of models for short range forecasting.Management Science, Baltimore, The Institute of ManagementSciences, 20(1): 22-31, Sep. 1973.GEURTZ, M. D. & IBRAHIM, J. B. Comparing the Box-Jenkins approach withexponentially smooted forecasting model application tá Hawaii tourists.Journal of Marketing Research, Chicago, American MarketingAssociation, _12_:~T82-88, May 1975.HADLEY, G. Introduction to business statistics. San Francisco, Holden-üay,1968.HAMBURG, Morris. Statistical analysis for decision Making, New York,Harcourt, Brace and World, 1970.HOFFMANN, Rodolfo & VIEIRA Sônia. Análise de regressão: uma introduçãoã econometria. São Paulo, HUCITEC, 1977.JOHNSTON, J. Métodos econométricôs. São Paulo, Atlas, 1871.KENDALL, Maurice and STUART, Alan. The advanced theory of statistics.London, Charles Griffin, 1976, v.3.KEYNES, J ohn M. Teoria geral do emprego, juros e_ moeda. Rio de Janeiro,Fundo de Cultura, T964. ~KIRBY, R. M. A comparison of short and médium range Statistical forecastingmethods. Management Science, Baltimore, The Institute ofManagement Sciences, _1_3 ( 4) . 1966.KLEIN, Lawrence L. Manual de Econometria. Madrid, Aguilar, 1958.KRUPP, Sherman Roy. La estructura de Ia ciência econômica; ensaios sobremetodologia. Madrid, Aguilar, 1973.LAJUGIE, J. As doutrinas econômicas. São Paulo, Difel, 1976.MADDALA, G. S. Econometrics. New York, McGraw-Hill, 1977.MAKRIDAKIS, S. & HIBON, M. Accuracy of forecasting and empirical invéstigation. The Journal of the Royal Statistical Society, London,142: 97-145, 1979.

MAKRIDAKIS, S. & WHEELWRIGHT, S. C. Adaptive filtering: an integratedautoregressive moving average filter for time series forecasting.Operational Research Quarterly, 28: 425-37, 1977.MALANOS, George. Teoria econômica. Rio de Janeiro, Fórum, 1962.185MARQUARDT, D. W. An algorithm for least-squares estimations of nonlinear parameters. Journal Soe. Ind. Appl. Math., PhiladeIphia, _H_(2): 431-41, Jun. 19&1TMATTHEWS, R. C. 0. O ciclo econômico. Rio de Janeiro, Zahar, 196/' .MEEKER, W. Q. T-SERIES - A user-oriented computar program for identifying,f itting" and forecasting ARIMA time series models. Ames, lowaState University, s.d.MERRIL, William C. & FOX Karl A. Introducción a Ia estadistica econômica. Buenos Aires, Atnorrortu, 1972.MILLS, Richard L. Statistics for applied economics and business. NewYork, McGraw-Hill, 1977. "MONTELLO, Jessé. Estatística para economistas. Rio de Janeiro, APEC,1970.MOOD, Alexander M. & GRAYBILL, Franklin A. Introducciõn Ia teoria deIa estadistica. Madrid, Aguilar, 1976.MORETTIN, Pedro Alberto. Analise harmônica de processos es tocas ticos.Rio de Janeiro, IMPA, 1979.'MORETTIN,_ Pedro Alberto & TOLOI, Clélia Maria de Castro. Modelos paraprevisão de series temporais. Rio de Janeiro, IMPA, 1981.MORGENBESSER, Sidney et a llí .1972.FiIpsofia da ciência. São Paulo, Cultrix,MURPHY, James L. Introductory econometrics. Homewood, Richard D. Irwin,1973.NELSON, Charles R. Applied time series analysis for managerial forecasting.San Francisco, Holden-Day, 1973.NERLOVE, M. et alli. Analysis of economic time series; a synthesis.New York, Academic Press, 1979.NIE, Norman H. & HULL, C. H. SPSS: Statistical package for the socialsciences; update 7-9, new procedures and facilities forreleases 7-9.New York, McGraw-Hill, 1981.PACK, D. J. A computer program for the analysis of time series modelsusing the Box-Jenkins philosophy. Columbus, The Ohio State University,College of Adroinistrative Sciences, Data Center, 1977.PAPOULIS, Athanasios. Probability, randotn variables, and stochasticprocesses. Tokio, McGraw-Hill Kogakusha, 1965.PARZEN, Emanuel. An approach to time series modeling and forecastingillustrated by hourly electricity demands. Technical Report, Buffalo,State University of New York, 37, 1976. ~ ' ' ' "~~PARZEN, Emanuel. Processos es tocas ticos. Madrid, Paraninfo, 1972.PIATIER, André. Estadistica y observacion economica. Ba.rce lona, Ar ie l,1967, v.l. ~

186PINDYCK, Robert S. & RUBINFELD, Daniel L. Econometric models and economicf orecas ts . New York, McGraw-Hill, 1976.REID, D. J. A comparative study of time series prediction techniqueson economics data. Nottingham, University of Nottingham, 1969. (Departmentof Mathematics, Ph.D.Thesis).RODRIGUES, Flavio Wagner.IMPA, s.d.Tópicos da teoria das probabilidades. s.l.p.TINTN 'R, Gerhard. Econometrics. New York, J. Wiley, 1963.WOLD, H .0 . A study in the analysis of s tá t i on ar y time series . Uppsala,Almquist and Wicksell, 1938.WONNACOTT, Thomas H. & WONACOTT, Ronald J. Introductory statistics forbusiness and economics. New York, J. Wiley, 1972.ZEITTOUN, Jean. Modeles en urbanisme: une étude critique. Paris, Centrede Recherche d'Urbanisme, 1971.