a Geometria Descritiva - faculdade inap

1.7 Paralelismo entre planosDados dois planos Π e Π ′ , pode ser mostrado que eles são paralelos se e somente se Π é paraleloa toda reta contida em Π ′ (mostre isto!). O teorema seguinte fornece um critério mais simplespara verificar que dois planos são paralelos.Teorema 1.17. Uma condição necessária e suficiente para que dois planos sejam paralelos éque um deles contenha duas retas concorrentes, que são paralelas ao outro plano.srΠ ′ΠDemonstração. Se Π e Π ′ são planos paralelos, claramente toda reta contida em um deles éparalela ao outro plano, e assim não há nada a demonstrar. Suponhamos então que Π e Π ′ sãoplanos tais que r, s ⊂ Π ′ são retas concorrentes, r ‖ Π e s ‖ Π. Provemos que Π ‖ Π ′ .Suponhamos que Π ∩ Π ′ ≠ ∅. Seja t = Π ∩ Π ′ (note que Π ≠ Π ′ ). Então t ≠ r, s poisr, s ∩ Π = ∅ e t ⊂ Π. Afirmamos que t intersecta pelo menos uma das retas r e s. De fato,caso contrário, como r, s e t são coplanares (pois estão em Π ′ ), t seria paralela às retas r e se, portanto, teríamos por transitividade que r ‖ s, o que é um absurdo. Logo, t ∩ r ≠ ∅ out ∩ s ≠ ∅, de onde segue que Π ∩ r ≠ ∅ ou Π ∩ s ≠ ∅ (pois t ⊂ Π), o que é impossível pois r ‖ Πe s ‖ Π. Portanto Π ∩ Π ′ = ∅, ou seja, são planos parelelos.O seguinte teorema garante a existência (e unicidade) de planos paralelos.Teorema 1.18. Por um ponto não pertencente a um plano Π, pode-se traçar um único planoparalelo à Π.Demonstração. Seja Π um plano e P /∈ Π. Sejam r, s ⊂ Π concorrentes. Pelo Teorema 1.14existem retas r ′ e s ′ passando por P e tais que r ′ ‖ r e s ′ ‖ s. Segue do Teorema 1.15 que r ′ ‖ Πe s ′ ‖ Π. Seja Π ′ = 〈r ′ , s ′ 〉 (note que r ′ e s ′ são concorrentes já que possuem P em comum enão são coincidentes pois se fossem, então r e s seriam paralelas, por transitividade). Então,pelo Teorema 1.17, segue que Π ′ ‖ Π.Mostremos agora que plano Π ′ é único. Suponha que exista um outro plano Π ′′ passandopor P e paralelo à Π. Então Π ′ ∩ Π ′′ é uma reta m, pois são planos distintos que contém P.14