a Geometria Descritiva - faculdade inap

Teorema 1.29. Sejam r e s retas distintas e Π e Γ dois planos distintos.(a) Se r ⊥ Π e r ‖ s então s ⊥ Π.(b) Se r ⊥ Π e s ⊥ Π então r ‖ s.(c) Se r ⊥ Π e Γ ‖ Π então r ⊥ Γ.(d) Se r ⊥ Π e r ⊥ Γ então Π ‖ Γ.rr= s =r sr==AABBΠΠ(a)(b)(c)Γ(d)ΓDemonstração. (a) Seja {A} = r ∩Π. Segue do Teorema 1.21(b) que s ∩Π = {B}, com B ≠ Auma vez que r ∩ s = ∅. Para mostrarmos que s ⊥ Π, devemos mostrar que s ⊥ t, para todareta t ⊂ Π e que passa por B. Seja t uma reta contida em Π e que passa por B. Se A ∈ tentão, como r ⊥ Π, temos r ⊥ t. Conseqüentemente, como s ‖ r, temos s ⊥ t. Se A ∉ t,seja t ′ uma reta contida em Π, que passa por A e é paralela à reta t. Como r ⊥ Π temos quer ⊥ t ′ . Conseqüentemente, como t ‖ t ′ e s ‖ r, segue do Teorema 1.23 que t ⊥ s, como queríamos.(b) Sejam A e B os pontos de interseção de r e s com Π, respectivamente. Note que A ≠ B(justifique). Suponhamos que s e r não são paralelas. Seja s ′ ‖ r por B e seja Π ′ = 〈s, s ′ 〉 (noteque s e s ′ são retas concorrentes em B). Então Π ′ ∩ Π é uma reta t. Por hipótese, temos ques ⊥ t (em B). Como s ′ ‖ r e r ⊥ Π, segue do item (a) que s ′ ⊥ t (em B). Portanto temos emΠ ′ duas retas distintas, s e s ′ , perpendiculares à t ⊂ Π ′ com s ∩ s ′ = B, o que é um absurdo.Logo s ‖ r.(c) e (d) Exercício.O próximo resultado facilita a tarefa de determinar se uma reta é perpendicular a um plano,como também possibilita a construção de planos perpendiculares a uma reta, demonstrandoassim a sua existência.Teorema 1.30. Uma reta é perpendicular a um plano se e somente se é ortogonal a um parde retas concorrentes do plano.20