a Geometria Descritiva - faculdade inap

3. Sejam Π, Π ′ e Π ′′ três planos que têm exatamente um ponto em comum. Mostre que nãoexiste nenhuma reta simultaneamente paralela a Π, Π ′ e Π ′′ .4. Seja r uma reta secante a um plano Π e P /∈ Π com P ∉ r. Mostre que existe uma únicareta que passa por P, intercepta r e é paralela a Π.1.9 Perpendicularismo entre reta e planoVeremos agora a noção de ângulo entre duas retas r e s, o que será denotado por ∠(r, s).Suponhamos que r e s são concorrentes no ponto V . Seja Π = 〈r, s〉. Então r e s determinamem Π quatro ângulos com vértices em V . O ângulo entre r e s é o menor dentre esses quatroângulos. Com o objetivo de definirmos ângulo entre retas reversas, vejamos o seguinte teorema:Teorema 1.23. Sejam (r, s) e (r ′ , s ′ ) dois pares de retas concorrentes, tais que r e r ′ sãoparalelas entre si, o mesmo ocorrendo com s e s ′ . Então o ângulo entre r e s é igual ao ânguloentre r ′ e s ′ .Demonstração. (Os detalhes da demonstração que segue devem ser preenchidos pelo leitor.)Sejam V = r ∩ s e V ′ = r ′ ∩ s ′ . Há duas possibilidades: (i) 〈r, s〉 = 〈r ′ , s ′ 〉 = Π e (ii)〈r, s〉 = Π e 〈r ′ , s ′ 〉 = Π ′ , com Π e Π ′ planos distintos. Se (i) ocorre, conclua o teorema usando ofato que retas paralelas determinam ângulos correspondentes congruentes. Se (ii) ocorre, tomepontos A ∈ r, B ∈ s, A ′ ∈ r ′ e B ′ ∈ s ′ tais que V A = V ′ A ′ , V B = V ′ B ′ , ∠(r, s) = ÂV Be ∠(r ′ , s ′ ) = A ′̂V ′B ′ . Os triângulos AV B e A ′ V ′ B ′ são congruentes (pelo caso LLL, use apropriedade de transitividade entre retas paralelas no espaço para mostrar que ABB ′ A ′ é umparalelogramo e, portanto, AB = A ′ B ′ ). Assim, ∠(r, s) = ÂV B = A ′̂V ′B ′ = ∠(r ′ , s ′ ).Definição 1.24. Sejam r e s retas reversas. O ângulo entre r e s é o ângulo formado porduas retas concorrentes r ′ e s ′ , paralelas às retas r e s, respectivamente.Observação 1.25. (a) Segue do Teorema 1.23 que o ângulo entre duas retas reversas nãodepende da escolha das retas paralelas às retas dadas.(b) Sejam r e s retas reversas. Tomemos A ∈ s qualquer e r ′ ‖r por A. Então r e s sãoconcorrentes e ∠(r, s) = ∠(r ′ , s) (mostre isto). Consequentemente, para determinarmoso ângulo entre duas retas reversas r e s, basta construirmos uma reta r ′ paralela a r porum ponto de s, e determinarmos o ângulo entre r ′ e s. Portanto, o ângulo entre r e s éigual ao ângulo entre s e qualquer reta paralela a r.18