Geometria Plana - USP

MÓDULO III - GEOMETRIA PLANAAlgumas propriedades importantesAs propriedades dos triângulos que vamos listar a seguir são fatos bemconhecidos que são conseqüências dos casos de congruência:Proposição: os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.Em um triângulo eqüilátero, todos os ângulos são congruentes.Dado um triângulo isósceles ∆ABC,em que ≅ (esta é a nossa hipótese),para que a propriedade seja verificada, estabelecemosa correspondência ∆ABC ↔∆ACB e usamos o caso LAL de congruênciapara concluir que os triângulos são congruentes.Portanto, temos a tese, isto é, que∠ABC ≅ ∠ACB (ângulos correspondentesde triângulos congruentes).Usando a verificação que acabamos de fazer, como podemos justificar asegunda parte da proposição?Temos ainda:Proposição: se os ângulos da base de um triângulo são congruentes, então otriângulo é isósceles.Para verificar essa propriedade, dadoum triângulo ∆ABC, com ∠ABC ≅ ∠ACB,consideramos agora a correspondência∆ABC ↔ ∆ACB e usamos o caso ALAde congruência para concluir que os triângulossão congruentes e que, conseqüentemente,≅ (lados correspondentesde triângulos congruentes ).Como conseqüência dessa propriedade dos triângulos isósceles podemosestabelecer um critério de congruência especial para triângulos retângulos,que é chamado o caso cateto-hipotenusa de congruência para esses triângulos,que pode ser enunciado como um teorema:Teorema: (caso cateto – hipotenusa de congruência de triângulos retângulos)dois triângulos retângulos que têm a hipotenusa e um cateto congruentessão congruentes.Dados dois triângulos retângulos ∆ABC e ∆DEF– com os ângulos retos nos vértices C e E, respectivamente,as hipotenusas e congruentes,assim como os catetos e , “colando” essestriângulos pelos catetos congruentes –, formamosum triângulo isósceles ∆ABF. Daí temos que os ângulosdos vértices B e F são congruentes.Retornando à correspondência ∆ABC ↔ ∆DEF temos agora uma congruênciaLAA o, utilizando qualquer dos lados congruentes, o ângulo reto e essenovo ângulo congruente. Volte, agora, ao exercício 4 da página 20.Nas construções geométricas, e nos problemas práticos, muitas vezes precisaremosde uma reta especial. Vejamos como ela pode ser encontrada numexemplo.Pappus deAlexandriaFoi o último dos geômetrasda escola gregae pouco se sabe sobresua vida. Indicações e citaçõesconduzem ao períodofinal do século IIIda era cristã. Além de terfeito uma importanterecuperação de muitosresultados, acrescentoua eles contribuições significativas,que até hojeaparecem nos textos didáticos.21