Geometria Plana - USP

MÓDULO III - GEOMETRIA PLANASejam a, b, c três retas distintas e paralelas cortadas por duas transversaist e t´ nos pontos A, B, C (em t) e A´, B´, C´ (em t´) como na figura abaixo.Suponha inicialmente que AB = BC.Se t e t´ são retas paralelas, então propriedades elementares de paralelogramos(ver exercício 9) nos garantem que AB = A´B´, BC = B´C´ e, portanto,A´B´ = B´C´. Em outras palavras, podemos escrever que .Se t e t´ não são retas paralelas, traçamos por B´ uma reta auxiliar u paralelaà reta t. Como AB = XB´ e BC = B´Y segue da congruência dos triângulos∆A´B´X e DC´B´Y (você é capaz de identificar qual caso de congruênciaestamos usando?) que A´B´ = B´C´. Isto é, obtemos novamente a conclusão.O teorema de Tales generaliza esse resultado descartando a hipótese inicialAB = BC. Sua demonstração no caso mais geral foge do objetivo dessas notas.Teorema (Tales). Sejam a, b, c três retas distintas e paralelas cortadas porduas transversais t e t´ nos pontos A, B, C (em t) e A´, B´, C´ (em t´) como nafigura abaixo. Então .É interessante observar que o resultado acima admite uma espécie de recíprocaque é igualmente importante em função de suas aplicações.Proposição. Sejam a, b, c três retas distintas cortadas por duas transversais t et´ nos pontos A, B, C (em t) e A´, B´, C´ (em t´) como na figura abaixo. See duas das retas a, b, c forem paralelas, então a terceira reta seráparalela às duas primeiras.Temos visto anteriormente que uma dada figura plana F e sua imagemhomotética F´ têm sempre a mesma forma. A situação inversa, porém, não é33