Partea a II-a Elemente de teoria mulţimilor şi aplicaţii

I.6. Relaţii, funcţii
f) A este element al oricărei mulţimi.
g) B ⊆ ∪A.
Pentru fiecare enunţ de mai sus, negaţi enunţul respectiv şi scrieţi negaţia în limbaj natural
şi în limbaj formal.
2. Daţi exemplu de mulţime A cu proprietatea A ≠ ∅ şi ∪A = ∅. Cîte astfel de mulţimi există?
3. Are loc întotdeauna ∪A ⊆ A? Dar ∪A ⊇ A? Justificaţi.
4. Demonstraţi că, pentru orice două mulţimi A, B, are loc: A ⊆ B ⇔ A∪B = B ⇔ A∩B = A.
5. Fie M o mulţime şi A, B, C ∈ P(M). Atunci au loc:
a) !(A∪B) = (!A) ∩ (!B).
b) !(A∩B) = (!A) ∪ (!B).
c) A \ B = A ∩ !B.
d) A∆B = B∆A = (A∪B) \ (A∩B).
e) (A∆B)∆C = A∆(B∆C).
f) A∆∅ = A.
g) A∆(B∪C) = (A∆B)∪(A∆C).
I.6. Relaţii, funcţii
Să trecem la un alt concept fundamental, anume la cel de funcţie. Pentru aceasta, avem
nevoie de noţiunea de cuplu (pereche ordonată).
Intuitiv, noţiunea de cuplu (pereche ordonată) format(ă) de elementele a şi b diferă de
mulţimea {a, b}, prin faptul că avem o „ordine”: a este primul, iar b este al doilea. Această
distincţie între a şi b se realizează prin:
6.1 Definiţie. Fie a şi b mulţimi. Aplicînd axioma perechii mulţimilor a şi a, există
mulţimea {a}; există şi {a, b}. Aplicînd din nou axioma, există mulţimea {{a}, {a, b}}, care
se notează cu (a, b) şi se numeşte perechea ordonată (cuplul) format de a şi b. Observaţi că,
dacă a = b, atunci (a, b) = {{a}}.
Această idee de introducere a noţiunii de cuplu este atribuită lui Kuratowski. Are loc
proprietatea fundamentală următoare (demonstraţi!):
6.2 Propoziţie. Fie a, b, a', b' mulţimi. Atunci are loc: (a, b) = (a', b') ⇔ a = a' şi b = b'.
Astfel, spre deosebire de mulţimea {a, b}, în cuplul (a, b) contează ordinea elementelor a
şi b; dacă a ≠ b, atunci (a, b) ≠ (b, a), însă {a, b} = {b, a}.
Avînd definită noţiunea de cuplu, definim noţiunea de triplet:
15