Partea a II-a Elemente de teoria mulţimilor şi aplicaţii

20 I. Logică, mulţimi, axiome
Astfel, ∀a1 ∈ A1, ∀a2 ∈ A2, ∀a3 ∈ A3, notăm ((a1, a2), a3), mai simplu, cu (a1, a2, a3).
b) Pentru orice n ≥ 3 şi orice familie de n mulţimi A1, A2, …, An, definim (prin recurenţă 11 ):
A1 × A2 ×…× An := (A1 × A2 ×…× An − 1) × An.
A1 × A2 ×…× An se mai notează cu ∏
i=
notează ((a1, a2, …, an − 1), an) ∈∏
i=
n
1
Ai
n
Ai
1
sau ∏1≤ i ≤ n Ai. Dacă ∀i ∈ {1,2, …, n}, ai ∈ Ai, se
cu (a1, a2, …, an). Astfel,
A1 × A2 ×…× An = {(a1, a2, …, an) | ai ∈ Ai, i = 1 , n }
În cazul A1 = A2 = … = An = A, A × A ×…× A (de n ori) se notează cu A n .
c) Este necesară şi o definiţie în cazul general al unei familii oarecare de mulţimi (Ai)i∈I,
indexată după o mulţime de indici I. Se defineşte produsul cartezian ∏i∈I Ai:
∏i∈I Ai := {ϕ : I → ∪i∈I Ai | ϕ(i) ∈ Ai, ∀i ∈ I}.
6.16 Observaţie. Produsul cartezian definit ca la c), în cazul unei familii finite de mulţimi,
nu este exact acelaşi cu cel definit la a) şi b) şi la 6.3. Există însă o bijecţie naturală între
mulţimile obţinute prin cele două definiţii. De exemplu, dacă I = {1, 2}, avem funcţia
bijectivă β, definită pe {ϕ : {1, 2} → A1 ∪ A2 | ϕ(i) ∈ Ai, ∀i ∈ I} cu valori în A1 × A2, dată de
β(ϕ) = (ϕ(1), ϕ(2)). Se pot astfel identifica noţiunile de produs cartezian definite mai sus.
I.7. Relaţii de ordine şi relaţii de echivalenţă
Relaţiile de ordine şi de echivalenţă sînt deosebit de importante în toată matematica şi este
esenţială o bună cunoaştere a proprietăţilor lor.
Definim următoarele tipuri remarcabile de relaţii pe o mulţime:
7.1 Definiţie. Fie o mulţime nevidă A şi ρ o relaţie pe A. Spunem că relaţia ρ este:
- reflexivă dacă aρa, ∀a ∈ A. Formal: (∀a)(a ∈ A → aρa);
- ireflexivă dacă ∀a ∈ A, nu are loc aρa;
- simetrică dacă ∀a, b ∈ A, aρb → bρa;
- asimetrică dacă ∀a, b ∈ A, aρb → ¬bρa;
- antisimetrică dacă ∀a, b ∈ A, (aρb şi bρa) → a = b;
- tranzitivă dacă ∀a, b, c ∈ A, aρb şi bρc → aρc;
- relaţie de echivalenţă dacă este reflexivă, simetrică şi tranzitivă. Pentru relaţii de
echivalenţă se folosesc notaţii de tipul a ≡ b, a ∼ b în loc de aρb.
11 Folosim o accepţie intuitivă a noţiunii de definiţie prin recurenţă.