Partea a II-a Elemente de teoria mulţimilor şi aplicaţii

I.7. Relaţii de ordine şi relaţii de echivalenţă
imposibil). Dacă r 2 < 2, atunci se găseşte un număr raţional r1 astfel încît r < r1 şi r1 2 < 2, ceea
ce contrazice faptul că r = sup A (r1 ∈ A şi r < r1). Analog, dacă r 2 > 2, se găseşte un număr
raţional r2 astfel încît 0 < r2 < r şi r2 2 > 2, ceea ce contrazice faptul că r este sup A (am găsit un
majorant r2 pentru A cu r2 < r).
Exerciţii
1. Fie A, B, C, D mulţimi. Arătaţi că (A∪B)×C = (A×C)∪(B×C) şi că (A∩B)×(C∩D) =
(A×C)∩(A∩B)×(B∩D).
2. Dacă (A, B, ρ) şi (B, C, σ) sînt relaţii, atunci (σ◦ρ) −1 = ρ −1 ◦σ −1 .
3. Fie (A, ρ) o relaţie pe mulţimea A. Ce înseamnă că:
a) idA ⊆ ρ; b) ρ◦ρ ⊆ ρ; c) ρ ⊆ ρ −1 ; d) ρ∪ρ −1 = A×A; e) ρ∩ρ −1 ⊆ idA; f) idA∩ρ = ∅.
4. Fie A, B mulţimi finite, cu m elemente, respectiv n elemente.
a) Cîte elemente are A×B?
b) Cîte relaţii binare de la A la B există?
c) Cîte funcţii definite pe A cu valori în B există?
d) Cîte funcţii injective definite pe A cu valori în B există?
5. Fie A, B, C mulţimi. Arătaţi că există o funcţie bijectivă între mulţimile:
a) A×B şi B×A;
b) (A×B)×C şi A×(B×C);
c) (A) B×C şi (A B ) C ;
d) (A×B) C şi A C × B C .
e) A B∪C şi A B ×A C , dacă B∩C = ∅.
6. Fie f : A → B o funcţie. Să se arate că:
a) f este injectivă ⇔ ∀C, D ⊆ A, are loc f [C∩D] = f [C]∩ f [D].
b) ∀C ⊆ A, are loc f [C] = ∅ ⇔ C = ∅.
7. Fie f : A → B o funcţie. Definim: f∗: P(A) → P(B), f∗(C) = f[C] (imaginea submulţimii C
prin f), ∀C ∈ P(A); f ∗ : P(B) → P(A), f ∗ (D) = f −1 (D), ∀D ∈ P(B). Să se arate că următoarele
afimaţii sînt echivalente:
a) f este surjectivă.
b) f ∗ este injectivă.
c) f∗ este surjectivă.
d) !f [X] ⊆ f [!X], ∀X ∈ P(A).
8. Cu aceleaşi notaţii ca în exerciţiul precedent, să se arate că următoarele afimaţii sînt
echivalente:
23