Partea a II-a Elemente de teoria mulţimilor şi aplicaţii

30 I. Logică, mulţimi, axiome
a) | A | ≤ | A | (reflexivitate);
b) | A | ≤ | B | şi | B | ≤ | C | implică | A | ≤ | C | (tranzitivitate);
Are loc următoarea teoremă importantă, care arată că ≤ este şi antisimetrică (deci are
într-adevăr aceleaşi proprietăţi ca o relaţie de ordine).
9.7 Teoremă. (Cantor-Schröder-Bernstein) Fie A şi B două mulţimi. Dacă | A | ≤ | B | şi
| B | ≤ | A |, atunci | A | = | B |.
Demonstraţie. Idee: să găsim D ⊆ A astfel încît A \ D ⊆ Img şi α : A → B, dată de:
⎧ f ( a)
dacă
a ∈ D
α ( a)
= ⎨ −1
⎩g
( a)
dacă
a ∉ D
să fie o bijecţie (faceţi un desen!). Trebuie să avem atunci A \ D = g(B \ f(D)), adică
D = A \ g(B \ f(D)).
Pentru a găsi D ca mai sus, definim ϕ : P(A) → P(A), ϕ(E) := A \ g(B \ f(E)), ∀E ∈ P(A).
Noi căutăm un D cu ϕ(D) = D.
Se arată uşor că ϕ este crescătoare: dacă E ⊆ F, atunci ϕ(E) ⊆ ϕ(F).
Definim M := {E ⊆ A | E ⊆ ϕ(E)}. Evident, M este nevidă căci, de exemplu, ∅ ∈ M.
Fie D := ∪M (scrisă şi ∪{E | E ∈ M}). Să arătăm că ϕ(D) = D.
Avem ϕ(D) = ϕ(∪{E | E ∈ M}) = ∪{ϕ(E) | E ∈ M} ⊇ ∪{E | E ∈ M} = D.
Deci D ⊆ ϕ(D). Aplicînd ϕ acestei incluziuni, obţinem ϕ(D) ⊆ ϕ(ϕ(D)) adică ϕ(D) ∈ M.
De aici, D = ∪{E | E ∈ M} ⊇ ϕ(D). Astfel, ϕ(D) = D.
Lăsăm cititorului verificarea faptului că α este bijecţie.
Relaţia de ordine ≤ este şi totală (demonstraţia face apel la Axioma Alegerii):
9.8 Teoremă. Oricare ar fi două mulţimi A, B, are loc | A | ≤ | B | sau | B | ≤ | A |.
Această ultimă proprietate este chiar echivalentă cu Axioma Alegerii.
Axiomatica ZFS
Sistemul axiomatic ZFS (Zermelo-Fraenkel-Skolem) propriu-zis conţine 4 axiome şi o
schemă de axiome: axioma extensionalităţii, axioma reuniunii, axioma mulţimii părţilor,
axioma-schemă a substituţiei şi axioma infinităţii.
Faţă de prezentarea adoptată de noi, în sistemul axiomatic ZFS diferenţa este că
axioma-schemă de comprehensiune şi axioma perechii sînt înlocuite de un enunţ mai puternic,
anume de Axioma-schemă a substituţiei. Pentru enunţarea acestei axiome avem nevoie de o
definiţie.
9.1 Definiţie. O expresie E(x, y) cu exact două variabile libere x şi y se numeşte relaţie
funcţională dacă pentru orice x există cel mult un y astfel încît E(x, y) să fie adevărată:
(∀x)(∀y)(∀z) ((E(x, y) ∧ E(x, z)) → y = z).
Intuitiv, putem privi o relaţie funcţională ca pe o „funcţie parţial definită pe clasa
mulţimilor”: pentru anumiţi x există un unic y astfel încît E(x, y) să aibă loc; se notează uneori