Interpolare Lagrange

More documents

Recommendations

Info

$P 0.1 Stabilişti natura şsi suma seriilor: a) Σ 1 n\ ; b) Σ arctan 1 n# + n ...$

Dacă valorile funct¸iei sunt tabelate, evaluarea lui ℓk necesită 2(n − 1) înmult¸iri, o împărt¸ire ¸si 2n scăderi. Întreaga evaluare necesită 2n(n + 1) * |/ ¸si n(2n + 3) +|-. Anumite trucuri simple ne permit să reducem volumul de calcul (Lmf) (x) = (Lmf) m f(xj)ℓj(x) (x) j=0 = . (4) 1 ℓj(x) Împărt¸ind numărătorul ¸si numitorul cu ¸si punând se obt¸ine u(x) = Aj = n (x − xi) (5) i=0 1 m , (6) (xj − xi) i=0 i=j (Lmf) (x) = m j=0 m j=0 f(xj)Aj x − xj Aj x − xj , (7) numită forma baricentrică a interpolării <strong>Lagrange</strong>. Deoarece evaluarea lui Aj necesită n *|/, avem un total de (n + 2)(n + 1) + 1 *|/, jumătate din cât este necesar pentru metoda clasică. Mai mult, dacă dorim să facem evaluarea în mai multe puncte, Aj-urile trebuie calculate o singură dată, fiecare evaluare necesitând 2(n + 1) + 1 *|/. Remark 1 Procedura nu este aplicabilă pentru x = xi, i = 0, . . . m. 2
Algoritmul lui Aitken Uneori gradul este necunoscut sau precizia dorită poate fi atinsă utilizând un număr mai mic de noduri. Să introducem notat¸iile: (Lm−1f) 1,m (x) = k=1 m−1 (Lm−1f) 0,m−1 (x) = (Lmf) 0,m (x) = m ℓk(x)f(xk), k=0 ℓk(x)f(xk), (8) m ℓk(x)f(xk). k=0 Algoritmul lui Aitken se bazează pe relat¸ia (Lmf) 0,m (x) = Metoda generează tabela următoare: x0 f0,0 x1 f1,0 f1,1 x2 f2,0 f2,1 f22 . . . (Lm−1f) 1,m (x) x0 − x (Lm−1f) 0,m−1 (x) x0 − m . . .. xm − x0 xi fi,0 fi,1 fi,2 . . . fi,i unde fi,0 = f(xi), i = 0, ..., m, ¸si . . . . . . .. xn fn,0 fn,1 fn,2 . . . fn,i . . . fn,n fi,j+1 = 1 xi − xj . fj,j xj − x fi,j xi − x . (9) Se verifică u¸sor că (Lif)(x) = fi+1,i+1, i = 0, . . . , n − 1, datorită ecuat¸iei (6). Dacă interpolarea <strong>Lagrange</strong> converge, atunci (fi,i) i∈N converge către f(x) ¸si |fi,i − fi−1,i−1| → 0 când i → ∞, deci relat¸ia |fi,i - fi−1,i−1| ≤ ε ar putea fi utilizată drept criteriu de oprire. 3
Page 1: Interpolare Lagrange Radu T. Trîmb
Page 5: t y 1900 75.995 1910 91.972 1920 10

Interpolare Lagrange

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?