Laborator 4: Ecuatii cu derivate partiale

Laborator 4: Ecuat¸ii cu derivate part¸iale
1. Să se calculeze derivatele part¸iale de ordinul I si II pentru următoarele
funct¸ii:
(a) f(x, y) = x 2 + 5xy + 6y 4 + 10y;
(b) f(x, y) = e xy − sin(xy);
(c) f(x, y, z) = xyz − x 2 y 2 z 2 ;
(d) f(x, y, z) = cos(xyz) + tan(x) − e ln(y) .
2. Să se calculeze derivatele part¸iale de ordinul 1 si 2 pentru următoarele
funct¸ii in punctele indicate:
(a) f(x, y) = x 2 + 5xy + 6y 4 + 10y in (3, 2)
(b) f(x, y) = ex2y2 − 5x2y2 in (1, 1)
(c) f(x, y) = tan(xy) + e xy in (0, 1)
(d) f(x, y, z) = cos(xyz) + tan(x) − e ln(y) in (1, 0, 1)
3. Se considera funct¸ia:
Să se calculeze:
∂3f ∂x2 (1, 2),
∂y
f(x, y) = x2 + y 2
∂ 3 f
∂x∂y 2 (1, 1),
xy
∂ 4 f
∂x 2 ∂y 2 (1, 2),
∂ 4 f
∂x∂y 3 (2, 1).
4. Să se rezolve următoarele ecuat¸ii cu derivate part¸iale de ordinul 1:
(a) (x + 2y) ∂f ∂f
− y ∂x ∂y
(b) x ∂f ∂f
+ y ∂x ∂y
= 0;
(c) (x) ∂f ∂f ∂f
− 2y − z ∂x ∂y ∂z
(d) x ∂f ∂f ∂f
+ y + xy ∂x ∂y ∂z
= 0;
= 0;
= 0;
(e) (y2 + z2 − x2 ) ∂f ∂f ∂f
− 2xy − 2xz ∂x ∂y ∂z
1
= 0;

5. Să se rezolve urmatoarele EDP de ordinul 2.:
(a) uxx − 4uyy = 0;
(b) 4uxx − 4uxy − 2uyy = 0;
(c) x 2 uxx + 4y 2 uyy = 0
(d) uxx + x 2 y 2 uyy = 0;
6. Se considera ecuat¸ia:
xfy − yfx = 0
(a) Să se rezolve ecuat¸ia.
(b) Să se reprezinte grafic solut¸iile particulare obt¸inute pentru funct¸iile
generatoare: F (t) = ln(t), F (t) = e t , F (t) = sin(t).
2