P 0.1 Stabilişti natura şsi suma seriilor: a) Σ 1 n\ ; b) Σ arctan 1 n# + n ...

P 0.1 Stabili¸ti natura ¸si suma seriilor:
a)
1X
ln 1 + 1
n
; b)
1X
1
arctan
n2 ;
+ n + 1
c)
g)
i)
n=1
d)
1X
n=1
1X
n=1
1X
n=1
( 1) n
; e)
2n 1
n=1
1X
n=1
2n 1
2 n ; f)
p n + 2 2 p n + 1 + p n ; h)
2n + 1
; j)
n (n + 1) (n + 2)
P 0.2 Stabili¸ti natura seriilor
a)
1X 9 + n
;
2n + 1
b)
1X
n=1
d)
1X
n=1
n=1
n
; e)
n + 1
1X
n=2
1X
n=1
1X
n=1
1
; k)
n ln n
2n + 3n 2n+1 ; c)
+ 3n+1 1X
n=2
1X
n=1
1
np ln n ; f)
P 0.3 Stabili¸ti natura seriilor:
1X 1
a)
2n
;
1
1X 1
b)
2 ;
(2n 1)
c)
j)
d)
g)
1X
n=1
1X
n=2
m)
1X
n=1
n=1
1
p n + 1 + p n ; e)
1
2n ; h)
n + 1
1
p 3
n p ; k)
n 1
1X
n=1
o)
1X
n=1
n=1
1X
n=1
1X
n=1
1X
n=2
ln 1
1
(3n 2) (3n + 1) ;
1
n 2
1
n + p 2 n + p 2 + 1 ;
1X
n=3
1
n (ln n) ln ln n :
1
p 2n + 1 p 2n 1 ;
1X
n=1
1X
n=2
n cos2 (n =3)
2n ; f)
1
3n + n2 ; i)
+ n
(ln n) 10
n 1:1 ; l)
1X
n=1
2 p e 2 3 p e ::: 2 n p e ; n)
1X
n=1
sin 1
; p)
n
1X
n=1
4p
n2 1
p ; q)
n4 1
1
1
np n :
1
p 4n 2 1 ;
1X
n=1
1X
n=2
p n 2 + n
3p n 5 n ;
p 7n
n 2 + 3n + 5 ;
1
1 + p 2 + 3p 3 + ::: + np n ;
1X
n=1
1X
n=1
e n
n (1 + 2 n )
3p n 2 1
p n 3 1 :
;

2
P 0.4 Stabili¸ti natura seriilor:
1X 100
a)
n
;
n!
1X (n!)
b)
2
;
(2n)!
1X
c)
f)
o)
n=1
1X
n=1
k)
m)
1X
n=1
(n!) 2
2 n2 ; g)
1X
n=1
1X
n=1
2
n=1
1X
n=1
3p 2 2
1
(2n2 + n + 1) n+1
2
3p n 3 + n 2 + 1
n=1
n!
; d)
nn 1X
n=1
100 101 ::: (100 + n)
; h)
1 3 ::: (2n 1)
5p 2 ::: 2
; n)
1X
n=1
2n+1 p 2 ; l)
3p n 3 n 2 + 1 n
; p)
2 n n!
n n ; e)
1X
n=1
1X
n=1
1 3 + 2 3 + ::: + n 3
n 3
1X
n=1
P 0.5 Stabili¸ti natura seriei cu termenul general
un =
n n+1
e n (n + 1)! :
P 0.6 Pentru …ecare a > 0; studia¸ti natura seriei:
1X 1
a)
an ;
+ n
1X a
b)
n
p ;
n!
1X
c)
e)
1X
n=1
n=1
n2 + n + 1
n2 a
n=1
n
; f)
1X
n=1
n=1
3n 2n ; g)
+ an a ln n ; d)
1X
n=1
3 n n!
n n ;
4 7 ::: (4 + 3n)
2 6 ::: (2 + 4n) ;
n 2
2 + 1
n
n
4
(3n) 2
n ;
n
;
q
(16n 2 + 5n + 1) n+1
1X
n=1
P 0.7 Pentru …ecare a; b > 0; studia¸ti natura seriei:
1X
a)
1X
1X
n=1
an an ; b)
+ bn d)
n=1
1X
n=1
n=1
2n an ; c)
+ bn n=1
(2a + 1) (3a + 1) (na + 1)
(2b + 1) (3b + 1) (nb + 1) :
1X
n=1
an ;
nn p p
n + 1 n
na :
anbn an ;
+ bn P 0.8 Pentru …ecare a; b 2 R, a > 0; stabili¸ti natura seriei:
1X (a + 1) (a + 2)
n!
(a + n) 1
:
nb :

P 0.9 Fie (un) n 1 un ¸sir de numere reale strict pozitive ¸si un num¼ar
real. Pentru …ecare num¼ar natural n 1 punem
n = un+1
un
n
n + 1
Ar¼ata¸ti c¼a:
(i) Dac¼a > 1 ¸si exist¼a un num¼ar natural n0 cu proprietatea c¼a
atunci seria 1P
n=1
n 0; oricare ar … n n0;
un este convergent¼a.
(ii) Dac¼a 1 ¸si exist¼a un num¼ar natural n0 cu proprietatea c¼a
atunci seria 1P
n=1
n > 0; oricare ar … n n0;
un este divergent¼a.
P 0.10 Stabili¸ti natura seriilor:
1X (2n 1)!! 1
a)
; b)
(2n)!! 2n + 1
n=1
n=1
1X
n=1
(2n 1)!!
; c)
(2n)!!
P 0.11 Pentru …ecare a > 0; studia¸ti natura seriilor:
1X
1X
n!
a)
; b) a
a(a + 1)::: (a + n)
n=1
:
1X
n=1
1 1
(1+ +:::+ 2 n) ; c)
P 0.12 Dac¼a ; ; ; x 2]0; +1[; stabili¸ti natura seriei
1X ( + 1) ::: ( + n 1) ( + 1) ::: (
( + 1) ::: ( + n 1)
+ n 1)
x n
n=1
(numit¼a seria hipergeometric¼a a lui Gauss) :
P 0.13 S¼a se stabileasc¼a natura seriilor:
1X
1X
a)
c)
1X
n=1
n=1
( 1) n+1 (n + 1) n+1
n n+2 ; b)
( 1) n+1 2n + 1
3 n ; d)
f)
1X
n=1
1X
n=2
n=1
( 1) n+1 1
p n (n + 1) ; g)
( 1) n+1 1
; e)
ln n
1
n!
1X
n=1
n
e
n
:
a n n!
n n :
( 1) n+1 n 1
(n + 1)
nn+1 ;
3
1X
( 1)
n=1
n+1 1
n(n + 1) ;
1X
( 1) n+1
p
n
n + p 5 ;
n=1

4
h)
1X
n=1
( 1) n+1 (2n 1)!!
:
(2n)!!
P 0.14 S¼a se stabileasc¼a natura seriilor:
1X
a) ( 1) n(n+1)
2
1X
n=1
n=1
n100 ; b)
2n n=1
( 1) n(n+1)
2 sin n p n + 1 :
P 0.15 Determina¸ti valorile lui x 2 R pentru care seriile urm¼atoare
sunt convergente:
1X 1
a)
2 ;
(n + jxj) n=1
1X ( 1)
b)
n=1
n x2n 2n (2n 1) ;
1X x
c)
(1 + nx2 ) p ;
n
1X x
d)
1 + jxj p n :
n=1
n=1
P 0.16 Pentru …ecare a 2 R, stabili¸ti natura seriilor;
1X
a) cos (na) sin a
1X
; b) sin (na) sin
n a
n ;
c)
1X
n=1
cos (na) tan a2
; d)
n
1X
e)
n=1
n=1
1X
n=1
n
( 1)
[ 4 ] n + a
ln 2
n :
sin (na) tan a
n ;
P 0.17 S¼a se arate c¼a pentru orice num¼ar natural p are loc inegalitatea
1X 1
(n + 1) pp < p:
n
n=1