Capitole de matematici speciale - PIM Copy

CAPITOLE
DE
MATEMATICI SPECIALE

Ion CRĂCIUN
CAPITOLE
DE
MATEMATICI SPECIALE
EDITURA PIM
IAŞI 2007

Referent ştiinţific:
Conf. Univ. dr. Veronica Teodora Borcea
Universitatea Tehnică “Gh. Asachi” din Iaşi
Catedra de Matematică
EDITURA PIM
Soseaua Stefan cel Mare nr. 11 Iasi -700498
Tel. / fax: 0232-212740
e-mail:editurapim@pimcopy.ro
www.pimcopy.ro
EDITURĂ ACREDITATĂ CNCSIS BUCUREŞTI
66/01.05.2006
ISBN: 978-973-716-807-8

Cuprins
1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7
1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7
1.2 Ecuaţii diferenţiale liniare omogene de ordinul n cu coeficienţi
variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Ecuaţia diferenţială liniară neomogenă de ordinul n cu coeficienţi
variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Ecuaţii diferenţiale de ordinul n liniare omogene cu coeficienţi
constanţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.1 Identitaţile lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.2 Cazul rădăcinilor caracteristice reale distincte . . . . . 31
1.4.3 Cazul rădăcinilor caracteristice complexe distincte . . 32
1.4.4 Ecuaţia caracteristică are rădăcini distincte . . . . . . 33
1.4.5 Ecuaţia caracteristică are o rădăcină multiplă . . . . . 34
1.4.6 Cazul rădăcinilor caracteristice reale multiple . . . . . 36
1.4.7 Rădăcini caracteristice complex conjugate multiple . . 38
1.4.8 Rădăcini caracteristice reale şi complexe multiple . . . 40
1.5 Ecuaţii diferenţiale liniare neomogene cu coeficienţi constanţi 41
2 Sisteme de ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul întâi 47
2.1 Sisteme de ecuaţii diferenţiale ordinare de ordinul întâi neliniare
sub formă normală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1 Legătura cu ecuaţiile diferenţiale de ordinul n . . . . . 48
2.1.2 Integrale prime. Soluţie generală . . . . . . . . . . . . 53
2.2 Sisteme diferenţiale sub formă simetrică . . . . . . . . . . . . 57
2.3 Sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.1 Sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare şi omogene . . . 62
2.3.2 Matrice fundamentală a unui sistem omogen . . . . . 65
2.3.3 Determinantul lui Wronski . . . . . . . . . . . . . . . 66
3

4 CUPRINS
2.3.4 Soluţia generală a sistemului omogen de ecuaţii diferenţiale
liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4 Sisteme neomogene de ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul
întâi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.5 Sisteme de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi . 71
3 Ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale de ordinul întâi 81
3.1 Ecuaţii diferenţiale liniare cu derivate parţiale de ordinul
întâi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.1 Definiţii. Suprafeţe integrale . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.2 Sistem caracteristic. Curbe caracteristice . . . . . . . 82
3.1.3 Soluţia generală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.4 Problema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2 Ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul întâi, cuasiliniare . . . 92
3.2.1 Soluţia generală . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.2 Problema lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4 Elemente de teoria câmpurilor 103
4.1 Câmpuri scalare. Curbe şi suprafeţe de nivel . . . . . . . . . 103
4.2 Derivata după o direcţie şi gradientul unui câmp scalar . . . . 105
4.3 Câmpuri vectoriale. Linii şi suprafeţe de câmp . . . . . . . . 112
4.4 Integrale cu vectori şi câmpuri scalare . . . . . . . . . . . . . 121
4.4.1 Integrale curbilinii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4.2 Integrale de suprafaţă . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.4.3 Integrale triple (de volum) . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.4.4 Formula integrală Gauss–Ostrogradski. Consecinţe . . 127
4.4.5 Câmp potenţial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.5 Divergenţa unui câmp vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.6 Rotorul unui câmp vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.7 Reguli de calcul cu operatorul lui Hamilton . . . . . . . . . . 135
4.8 Formule integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5 Funcţii de variabilă complexă 143
5.1 Mulţimea numerelor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2 Funcţii de o variabilă complexă . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.3 Funcţie monogenă într–un punct . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.4 Condiţiile Cauchy–Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.5 Funcţie olomorfă. Proprietăţi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.6 Puncte ordinare şi puncte singulare. Planul lui Gauss . . . . 159
5.7 Funcţii elementare de o variabilă complexă . . . . . . . . . . 160

CUPRINS 5
5.7.1 Funcţia polinom în planul complex . . . . . . . . . . . 160
5.7.2 Funcţia raţională . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.7.3 Funcţia exponenţială . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.7.4 Funcţiile circulare şi funcţiile hiperbolice . . . . . . . . 166
5.7.5 Funcţia logaritmică . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.7.6 Funcţia radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.7.7 Funcţii trigonometrice inverse . . . . . . . . . . . . . . 173
5.7.8 Funcţii algebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.8 Exerciţii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6 Integrala curbilinie. Teoremele lui Cauchy 179
6.1 Integrala curbilinie în planul complex şi proprietăţile ei fundamentale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.2 Teoremele lui Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
6.3 Integrala nedefinită . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.4 Integrala Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.4.1 Deducerea formulei integrale a lui Cauchy . . . . . . . 191
6.4.2 Consecinţe ale formulei lui Cauchy . . . . . . . . . . . 194
6.5 Integrale depinzând de parametru . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6.6 Expresia derivatelor unei funcţii olomorfe . . . . . . . . . . . 198
7 Serii de funcţii analitice în complex 201
7.1 Funcţii analitice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.2 Serii de funcţii de o variabilă complexă, uniform convergente 203
7.3 Serii de puteri în complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.3.1 Teorema lui Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.3.2 Serii Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8 Serii Laurent 225
8.1 Domeniul de convergenţă al seriei Laurent . . . . . . . . . . . 225
8.2 Dezvoltarea unei funcţii analitice într–o serie Laurent . . . . 227
8.3 Clasificarea punctelor singulare izolate . . . . . . . . . . . . . 234
9 Teoria reziduurilor şi aplicaţiile ei 245
9.1 Reziduul funcţiei analitice într–un punct singular izolat . . . 245
9.2 Formule de calcul ale reziduurilor . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.3 Teorema reziduurilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
9.4 Calculul unor integrale reale folosind teorema reziduurilor . . 254
9.4.1 Integrale de forma
∫ 2π
0
R(sin θ, cos θ) dθ . . . . . . . . 255

6 CUPRINS
9.4.2 Integrale de forma
∫ ∞
9.4.3 Integrale de forma I =
−∞ ∫ ∞
f(x) dx . . . . . . . . . . . . . 259
0
x α R(x) dx, α ∈ (−1, 0) ∪
(0, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
9.4.4 Integrale de forma
∫ ∞
−∞
9.4.5 Integrale de forma I =
e iω x f(x) dx. Lema lui Jordan 266
∫ ∞
0
x α R(x) ln x dx, cu α ∈
(−1, 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10 Serii trigonometrice şi serii Fourier 275
10.1 Serii trigonometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
10.2 Seria Fourier a unei funcţii periodice . . . . . . . . . . . . . . 276
10.3 Seriile Fourier ale funcţiilor pare şi impare . . . . . . . . . . . 283
10.4 Forma complexă a seriei Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11 Integrala Fourier şi transformate Fourier 289
11.1 Forma complexă a integralei Fourier . . . . . . . . . . . . . . 289
11.2 Forma reală a integralei Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
11.3 Integralele Fourier ale funcţiei pare respectiv impare . . . . . 293
11.4 Transformata Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
11.5 Proprietăţi ale transformatei Fourier . . . . . . . . . . . . . . 301
Bibliografie 307