Revista (format .pdf, 1.4 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

Fie u un endomorfism al spaţiului euclidian E .Notăm K =(Keru) ⊥ ortogonalulnucleului lui u şi I =(Imu) ⊥ ortogonalul imaginii endomorfismului u.Notăm P proiecţia ortogonală de imagine K (de nucleu Ker u), P 0 proiecţiaortogonală de imagine Im u (de nucleu I = (Imu) ⊥ ). Avem: P 0 u = u = uP ;P 0 (y) ∈ Im u, ∀y ∈ E; u (−1) P 0 (y) (imaginea reciprocă a elementului P 0 (y)) esteoclasă modulo Ker u aspaţiului euclidian E (atenţie: u (−1) nu este o aplicaţie!).Imaginea acestei clase prin proiecţia P este un element unic al spaţiului K.Definiţie. Aplicaţia liniară u + = Pu (−1) P 0 se numeşte pseudoinversă aendomorfismuluiu.Teorema 4. Aplicaţia pseudoinversă u + a endomorfismului u verifică relaţiile:a) uu + u = u,b) u + uu + = u + ,c) uu + şi u + u sunt endomorfisme ortogonale, i.e. (uu + ) ∗ = uu + , (u + u) ∗ = u + u.Mai mult, u + este singurul endomorfism al spaţiului E verificând aserţiunile a), b)şi c).Demonstraţie. P şi P 0 fiind proiectori, avem Pu + = u + P 0 = u + . Atunci:u + u = Pu (−1) P 0 u = Pu (−1) u = P, proiector ortogonal,uu + = uP u (−1) P 0 = uu (−1) P 0 = P 0 , proiector ortogonal,şi, în consecinţă, uu + u = uP = u; u + uu + = u + P 0 = u + .Înplus,Im u + =ImP = K =(Keru) ⊥ =Imu ∗ , Ker u + =KerP 0 = I =(Imu) ⊥ =Keru ∗ .Demonstrăm acum unicitatea endomorfismului u + . Fie u 0 un alt endomorfismverificând condiţiile a), b) şi c). Avem:u 0 = u 0 uu 0 = u 0 u 0∗ u ∗ = u 0 u 0∗ (u ∗ u +∗ u ∗ )=u 0 (uu 0 )(uu + )=u 0 uu + ;u 0 uu + = u ∗ u 0∗ u + =(u ∗ u +∗ u ∗ )u 0∗ u + =(u + u)(u 0 u)u + = u + uu + = u + .Deci u 0 = u + , c.c.t.d.Observaţie. Am văzut în prima parte că opseudoinversăaluiu depinde înparticular de alegerea subspaţiilor suplementare F şi G ale spaţiilor Ker u şi respectivIm u. În cazul în care E este un spaţiu euclidian F şi G sunt unic definite prinF =(Keru) ⊥ şi G =(Imu) ⊥ , de unde unicitatea pseudoinversei.Dacă y este un vector oarecare al spaţiului euclidian E, notăm x 0 = u + (y). AvemTeorema 5. Vectorul x 0 = u + (y) verifică:a) kux 0 − ykeste minimum, i.e. kux 0 − yk ≤ kux − yk, ∀x ∈ E;b) kx 0 k este minim din toate elementele x verificând kux − yk = kux 0 − yk.°Demonstraţie. a) kux 0 − yk = °uu + y − y° = kP 0 y − yk,kux − yk 2 = ku(x − x 0 )+ux 0 − yk 2 = ku(x − x 0 )+P 0 y − yk 2 == ku(x − x 0 )k 2 + kP 0 y − yk 2 ≥ kux 0 − yk 2 .b) Avem kux − yk = kux 0 − yk numai când u(x − x 0 )=0. În cazul acesta,x = x 0 + z, unde x 0 ∈ K =(Keru) ⊥ şi z ∈ Ker u. Deci kxk 2 = kx 0 k 2 + kzk 2 ≥ kx 0 k 2şi deducem b).100