Revista (format .pdf, 1.4 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

obţinem 4 triunghiuri dreptunghice. Dacă se poate face o descompunere în k triunghiuridreptunghice, putem realiza descompunerea în k +1 triunghiuri, ducândînălţimea ipotenuzei în unul din primele k şi cu aceasta rezolvarea este încheiată.VI.65. Fie 4ABC, DE k BC, cuE ∈ (AC) şi D ∈ (AB), iarF ∈ (BD)şi {G} = FE ∩ DC. Demonstraţi că, dacă două dintre următoarele afirmaţii suntadevărate, atunci este adevărată şi a treia:(i) BD =2BF; (ii) AC =2CE; (iii) EF =2FG.Claudiu - Ştefan Popa, IaşiSoluţie. Fie H mijlocul lui [CE], iar{L} = BE ∩AFH, {K} = CD ∩ FH.(i), (ii) ⇒ (iii). Folosim în mod repetat teoremeleliniei mijlocii într-un triunghi/ trapez şi reciprocele lor.D ECum AE = EC şi DE k BC, atunciDE = BCG2 .Apoi,F Kdin DF = FB şi EH = HC, obţinem FH k BC,HLdeci [FL], [FK] vor fi linii mijlocii în 4BDE, respectiv4DBC. AtunciFL = DEBC2 = BC , LK = FK − FL =4BC2 − BC = BC , adică FL = LK = KH. În 4FEC, FH este mediană şi4 4FKKH = 2 , deci K va fi centru de greutate; rezultă că CK este mediană, adică1FG = GE.(i), (iii) ⇒ (ii). În 4CEF, FH şi CG sunt mediane, deci K va fi centru degreutate. Rezultă că FK =2KH şi cum FK = BC DE, KH = , atunci BC =2 22 DE. Conform unei a doua reciproce a teoremei liniei mijlocii în triunghi, mai puţincunoscută, rezultă că [DE] este linie mijlocie în 4ABC (altfel [D 0 E 0 ] ar fi acea liniemijlocie şi cum DE = D 0 E 0 = BC2 , DE k D0 E 0 k BC, amobţine că DEE 0 D 0 ar fiparalelogram, adică DD 0 k EE 0 şi atunci AB k AC, fals!).(ii), (iii) ⇒ (i). Presupunem prin absurd că F nu este mijlocul lui [BD]; fie atunciF 0 acest mijloc, iar {G 0 } = F 0 E ∩ DC. Din (ii), EF 0 =2F 0 G 0 ,deci[GG 0 ] este liniemijlocie în 4EFF 0 , prin urmare GG 0 k BD, adică DC k BD, absurd. Rămâne căare loc (i).Clasa a VII-aVII.61. Fie n ∈ N ∗ fixat şi p, k ∈ N, pn + k 2n + k + p .(În legătură cuV.31 din RecMat - 2/2002).Gigel Buth, Satu MareSoluţie. Avem:(n + p)+(n + p +1)+···+(n + k) =(n + k)(n + k +1)2138−(n + p − 1) (n + p)2=