Revista (format .pdf, 1.4 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

5. Care este cea mai mare valoare pe care o poate lua numărul n = a 1 −a 2 + a 3 −a 4 + ···+ a 9 − a 10 , unde a 1 ,a 2 ,...,a 10 sunt numere naturale distincte din mulţimea{1, 2, 3,...10}?6. Fie A, B, C, D puncte pe o dreaptă, în această ordine, astfel încât ACBD =1,ADBD = 7 BC.Calculaţi5 AD .7. Se dau două vasecuapă astfel încât dacă turnăm jumătate din primul în aldoilea şi jumătate din cantitatea de apă ceseaflăacumînaldoileaoturnăm înprimul şi luând apoi jumătate din cantitatea aflată înprimulşi o turnăm în al doileaobţinem (în al doilea vas) 10 litri apă. Aflaţi câţi litri de apă seaflă în fiecare vas,ştiind că ambelecantităţi sunt numere întregi.8. Arătaţi că numărul a =3+3 2 +3 3 + ···+3 4n se divide cu 120, ∀n ∈ N ∗ .9. Să se calculeze a 2007-ea zecimalăanumărului n =0, 00 (300)+0, 00 (3000)+1.10. Să seaflex, ştiind căµ µ µ1 2 32 %din 3 %din 4 %din ...µ nn +1 %din x ... =1100 n (n +1) .222 ...2311. Fie n un număr natural, n>2. Numărătorii şi numitorii fracţiilor333 ...34555 ...56şi au câte n cifre. Care este fracţia mai mare?666 ...6712. Câte unghiuri cu măsurile numere naturale consecutive se pot forma în jurulunui punct?13. Măsurile unghiurilor unui triunghi sunt direct proporţionale cu trei numereinvers proporţionale cu trei numere direct proporţionale cu trei numere puteri consecutiveale lui 3. Găsiţi măsurile unghiurilor.14. Fie S =1+2+3+···+10 2006 . Laceputereapare2 în descompunerea înfactori primi a lui S?15. Să se afle cardinalul mulţimii A =n! =1· 2 · 3 · ··· ·n.½¾2006!(x, y) ∈ N × N |7 x · 11 y ∈ N , undeJunioriClasele VII-XII, 19 aprilie 20061. Să searatecăecuaţia 1 a + 1 b + 1 ab = 1 c are o infinitate de soluţii în (N∗ ) 3 .2. Fie 4ABC dreptunghic în C şi D ∈ (BC), E ∈ (CA) astfel încât BDAC =AECD = k. DrepteleBE şi AD se intersectează înO. Săsearatecă m( \BOD) =60 ◦dacă şi numai dacă k = √ 3.128