Revista (format .pdf, 1.4 MB) - RECREAÅ¢II MATEMATICE

1 − 2k >0. Mai departe încercăm, cu metoda normării, să vedem ce se întâmplă cuinegalitatea noastră pentru asemenea k şi a, b, c numere pozitive oarecare. Datorităsimetriei putem presupune c =min{a, b, c}; notăm atunciac =1+x, bc =1+y,unde x şi y trebuie să fie nenegative. Inegalitatea mai poate fi scrisă înformaXa 4 +(2− 2k) X a 2 b 2 +(4k − 1) X a 2 bc ≥ (k +1) X (a 3 b + ab 3 )(toate sumele sunt ciclice) sau înlocuind a c cu 1+x şi b cu 1+y,c(1 + x) 4 +(1+y) 4 +1+(2− 2k) £ (1 + x) 2 (1 + y) 2 +(1+x) 2 +(1+y) 2¤ ++(4k − 1) £ (1 + x) 2 (1 + y)+(1+x)(1 + y) 2 +(1+x)(1 + y) ¤ ≥≥ (k +1) £ (1 + x) 3 (1 + y)+(1+x)(1 + y) 3 +(1+x) 3 +(1+y) 3 +1+x +1+y ¤ .Acum urmează parteaneplăcută (dar inevitabilă când folosim metoda normării!)în care trebuie să facem calculele; pe care nu le vom reproduce aici (dar vă sfătuimsă le verificaţi!. . . ). Inegalitatea de demonstrat capătă formax 4 − (k +1)x 3 y +(2− 2k)x 2 y 2 − (k +1)xy 3 + y 4 ++(2 − 2k)x 3 − 3x 2 y − 3xy 2 +(2− 2k)y 3 +(3− 6k)(x 2 − xy + y 2 ) ≥ 0,sau încă12 (x − y)4 + 1 2 (x2 − y 2 ) 2 +(1− k)xy(x − y) 2 +2(1− 2k)x 2 y 2 ++2(1 − k)(x + y)(x − y) 2 +(2− 5k)xy(x + y)+3(1− 2k)(x − y) 2 +3(1− 2k)xy ≥ 0.Acum putem demonstra inegalitatea pentru k ≤ √ 6 − 2; oricum, ea este evidentăpentru k 0.În membrul stâng al inegalităţii de demonstrat toţi termenii sunt în mod evidentnenegativi, cu excepţia lui (2 − 5k)xy(x + y) care poate fi luat în grupul2(1 − 2k)x 2 y 2 +(2− 5k)xy(x + y)+3(1− 2k)xy == xy [2(1 − 2k)xy +(2− 5k)(x + y)+3(1− 2k)] ,pe care-l mai putem scrieà µ !2 x + yxy 2(1 − 2k) +2(2− 5k) x + y +3(1− 2k) − 1 − 2k xy(x − y) 2 .222Dar paranteza mare este nenegativă, conform observaţiei referitoare la trinomul degradul al doilea, iar ultimul termen este "anihilat" de (1 − k)xy(x − y) 2 :(1 − k)xy(x − y) 2 − 1 − 2k xy(x − y) 2 = 1 22 xy(x − y)2 ≥ 0122