3 Teori för symmetriska system

56
Teori för symmetriska system
ii. Transmissionskoder "förvandlar" kanalen till en störningsfri dito genom att införa
redundans (checksumma, paritetsbitar) via felupptäckande eller felkorrigerande koder. Vissa
sådana metoder kan också användas för att skapa chiffer. En MAC är en privatnyckelbaserad
variant av en transmissionskod. De nyckelfria metoderna är helt försvarslösa mot avsiktliga
manipulationer. MAC å andra sidan är konstruerade för att mota 'active wiretapping'.
3.1.4 Kommentar
Enligt klassisk teori ska de tre typerna av kodning alltid ske i denna ordning. Det vore ju
mot all intuition att t ex tillföra redundans, som underlättar arbetet för en forcör, innan
kryptering sker. Däremot kan det ju aldrig vara fel att, som förekommer i vissa protokoll,
kryptera även checksumman, då dessförinnan klartexten har krypterats oberoende av detta.
Redundans kan också verka i motsatt riktning.
Nedan kommer några definitioner och satser som behövs för att kunna beskriva kvantitet i
samband med kodning; information, entropi, ekvivokation och kanalkapacitet.
Huvudsyftet är att härleda eller uppskatta ett mått
f = H(K | C) N
som anger kryptoanalytikerns ovisshet om nyckeln K givet ett chiffer C av längden N.
Intuitivt gäller att då N är så stort att f ≈ 0, så låter sig K i teorin bestämmas entydigt. Det
förutsätter ofta att nyckeln återanvänds på flera block.
3.2 Sannolikheter och entropi
Betrakta stokastiska variabler X som antar värden i {x 1 , ..., x L } med sannolikheter p i =
p(x i ). Ibland används beteckningen
p = (p 1 , ... p L ).
Utfallsrummet kan t ex antas beskriva källans generering av tex klartextmeddelanden. Med 1-
gram över A = {a, ..., z} blir L = 26 och med digram över A blir L = 26 2 .
I stället för att utgå från {a, ..., z} kan man ibland välja att låta källans alfabet bestå
av ord i ett lexikon. Orden blir då symboler och L i storleksordningen 10000 - 100000 för
naturliga språk.
En probabilistisk synvinkel på språk intas i detta sammanhang, eftersom normalt fullständig
kunskap saknas om språkets meningar. Deterministiska kontextfria grammatikor som bl a
används för att beskriva eller definiera programspråk behöver kompletteras.
Den betingade sannolikheten för x givet y skrivs p y (x) eller p(x | y) och det gäller för den
simultana sannolikheten att
p(x, y) = p(x | y) p(y).
Matrisen P = {p(y i | x j )} brukar kallas sannolikhetsövergångsmatrisen och kan tas som
definition av en kanal och denna eller p(x, y) som karakteristik av en källa då digram
betraktas.
Ett uttryck som Σ i∈[1,n] a i b i förekommer ofta. Genom att införa vektorerna a = (a 1 , ..., a n )
och b = (b 1 , ..., b n ) och en skalärprodukt < | > kan formler skrivas kompaktare:
= Σ i∈[1,n] a i b i .
Beteckningen kan generaliseras till det fall där funktioner f tillämpas på vektorkomponenter
tex
= Σ i∈[1,n] a i f(b i ).