3 Teori för symmetriska system

58
Teori för symmetriska system
Om en "urna" innehåller v stycken "0-or" och s stycken "1-or" blir sannolikheten för att man
vid n dragningar med återläggning får k stycken "0-or" lika med
((n, k)) p k q n-k ,
där p = v/(v+s) och q = s/(v+s).
I fallet utan återläggning erhålls sannolikheten
((v, k)) ((s, n-k)) / ((v+s, n)).
vi. Betingad sannolikhet. Uttrycket
p (ω 2 | ω 1 ) ≡ ∆ p ω1 (ω 2 ) ≡ ∆ p(ω 1 ∩ ω 2 ) / p(ω 1 ) ≡ ∆ p(ω 1 , ω 2 ) / p(ω 1 )
kallas den betingade sannolikheten för ω 2 om ω 1 inträffat.
Om händelserna ω 1 , ..., ω n är parvis oförenliga, har positiva sannolikheter och
tillsammmans uppfyller hela Ω, så gäller för varje händelse ω att
Satsen om total sannolikhet p(ω) = Σ i p(ω i ) p(ω | ω i )
Bayes sats p(ω k | ω) = p(ω k ) p(ω | ω k ) / ( Σ i p(ω i ) p(ω | ω i ) ).
Bayes sats används ofta i specialfallet
p(x | y) = p(x) * p(y | x) / p(y)
under förutsättning att p(y) > 0.
Denna senare variant är enkel att bevisa med hjälp av definitionen av betingad sannolikhet:
p(x | y) p(y) = p(x, y) = p(y, x) = p(y | x) p(x).
vii. Stokastisk variabel. En stokastisk variabel (sv) X kan ses som en beteckning av
en händelse och är formellt en funktion från utfallsrummet till de reella (kontinuerlig sv)
eller naturliga talen (diskret sv), d v s
X: ω → X(ω).
För diskret sv definieras en sannolikhetsfördelning på följande vis;
p X (i) = p(X=i) = Σ {ω ∈Ω; X(ω) = i} p(ω)
och en distribution
F X (i) = p(X ≤ i).
En distribution är monotont icke-avtagande, ligger i intervallet [0, 1], är (höger)kontinuerlig
och har (gräns)värdena F(0) = 0 och F(∞) = 1.
Nedanstående tabell visar några fördelningar. Om p är liten kan en binomialfördelning
approximeras med en Poissondito som ofta är enklare att hanterna formelmässigt.