3 Teori för symmetriska system

60
Teori för symmetriska system
ii. Perfekt sekretess. Ett chiffer ger perfekt sekretess om för alla x och c det gäller att
p(x | c) = p(x)
Kännedom om ett chiffer tillför alltså ingen kunskap om klartexten. Ett chiffer med perfekt
sekretess är oforcerbart, men endast 'one time pad' erbjuder perfekt sekretess (vad man vet).
Genom att använda Bayes sats ser vi att detta är ekvivalent med att (för alla c och x)
p(c | x) = p(c).
Tänk igenom vad det betyder om p(x | c ) < p(x) eller om p(x | c) > p(x) !
iii. Några satser
1. Om S ger perfekt sekretess så gäller att varje x kan avbildas på varje c.
Betrakta nämligen ett x och ett c. Eftersom S är perfekt gäller att p(x | c) = p(x).
Men p(x) > 0 för alla x. Det betyder att p(x | c) > 0 vilket betyder att givet ett c så finns det
minst ett x som avbildas på c.
2. Om S ger perfekt sekretess så gäller att | K | ≥ | C | ≥ | M |.
Högra olikheten är uppenbar eftersom varje chiffer (perfekt eller ej) är en injektiv avbildning.
Vidare: För varje givet x kan enligt ovan varje c erhållas och för varje c måste en separat
avbildning finnas då x är givet. Alltså följer påståendet.
3. (Shannon, 1949) Ett kryptosystem S med lika många nycklar, klartexter och chiffer ger
perfekt sekretess precis då alla nycklar är lika sannolika och det för varje klartext x och varje
chiffer c finns exakt en nyckel k så att c = e k (x).
Bayes sats kan i analogi med följande användas för att visa detta (Gör det!).
iv. Skiftchiffer. Ett skiftchiffer med lika sannolika nycklar ger perfekt sekretess med
avseende på enstaka klartextsymboler !
Om M = C = K = Z 26 och y = e K (x) = x + K mod 26 och varje nyckelval har sannolikheten
1/26 så gäller
p(y) = Σ K∈Z26 p(K) p(d K (y)) = Σ K∈Z26 1/26 p(y - K) = 1/26 Σ K∈Z26 p(y - K).
För varje y så innebär y → y - K mod 26 en permutation över Z 26 varför Σ K∈Z26 p(y - K)
= 1 och alltså, för alla y,
p(y) = 1/26.
Vidare gäller att
p(y | x) = p(y - x mod 26) = 1/26,
för alla x och y eftersom K bestäms entydigt av givna x och y via K = y - x mod 26.
Till sist beräknas p(x | y) med hjälp av Bayes sats:
p(x | y) = p(x) p(y | x) / p(y) = 26 p(x) / 26 = p(x),
vilket enligt definitionen betyder perfekt sekretess.