Övningsuppgifter, strömningslära

Institutionen för ENERGIVETENSKAPER
ÖVNINGSUPPGIFTER
GRUNDLÄGGANDE STRÖMNINGSLÄRA
av
Daniel Eriksson och Christoffer Norberg
______________________________________________________
maj 2012

ÖVNINGSUPPGIFTER
KAPITEL 1
1.1 Om U är en hastighet, en längd, kinematisk viskositet, g tyngdacceleration och
vinkelfrekvens, vilka av följande kombinationer är då dimensionslösa? (a) / U , (b) U / ,
3 2
(c) g /U , (d) U /( g)
, (e) g
3 / 2
2
, (f) / U , (g) / , (h) / U
1.2 Bestäm Reynolds tal vid strömning av (a) vatten samt (b) luft i ett rakt rör med innerdiametern
4
12 mm då volymflödet är V 5.0 10
m 3 /s. Temperaturen är 30C och trycket 101.3 kPa (1
atm).
1.3 En Newtonsk fluid med viskositeten 410
Pas
strömmar längs en plan vägg.
Hastigheten i gränskiktet kan skrivas
U
u
U
4
3
3 y 1 y
.
2 2
y
u(y)
Figur 1.3
Bestäm väggskjuvspänningen w då friströmshastigheten U 3 m/s och gränskiktets tjocklek
2 mm.
1.4 En vattenrörledning med diametern 0.30 m reduceras först till 0.15 m för att sedan få diametern
0.25 m. Medelhastigheten i 0.15 m:s sektionen är 4.5 m/s. Beräkna medelhastigheten i de andra
sektionerna.
d 1
= 0.30 m
V 2
= 4.5 m/s
d 2
= 0.15 m
d 3
= 0.25 m
Figur 1.4
1.5 I en pipeline strömmar olja ( 890 kg/m 3 ) med volymflödet 1500 m 3 /h. Innerdiametern är
610 mm. Beräkna massflöde och medelhastighet.
1.6 Ett block med vikten 10 kg glider nedför ett glatt lutande plan. Lutningen gentemot
horisontalplanet är 20 , se figur. Bestäm blockets slutliga hastighet om spalten mellan blocket
och planet består av motorolja av typen SAE 10W-30 ( 20 C) med spalttjockleken 0 .10 mm .
1

Förutsätt att hastighetsvariationen i spalten är linjär och att blockets area i kontakt med oljan är
0.20 m 2 . Försumma randeffekter.
Figur 1.6
KAPITEL 2
p o
2.1 Ett U-rör med två olika vätskor, vatten vid 15 C samt
en okänd vätska, är öppet mot omgivningen upptill.
Vätskepelarnas höjd ges i figuren till höger. Bestäm
den okända fluidens densitet.
55 mm
14 mm
vatten
okänd fluid
33 mm
49 mm
Figur 2.1
2.2 En cylinder med en kolv ( d 200 mm) är ansluten till en manometer med lutande stigrör;
lutning 30 . Manometervätskans densitet är 890 kg/m 3 . En vikt med massan m placeras på
kolven varvid vätskan i manometern stiger från nivå (1) till (2); lodrät höjdskillnad 100 mm, se
figur. Beräkna viktens massa. Cylinderns diameter är mycket större än manometer rörets
diameter, varför kolvens nivå kan antas vara konstant.
m
kolv
cylinder
100mm
30 o (1)
(2)
manometer
Figur 2.2
2.3 Ett nedtill öppet, luftfyllt, kärl med diametern d 2. 0 m, höjden L = 1.0 m och massan 10 kg
placeras i en vattenbassäng och pressas ned till ett djup H = 10 m. Beräkna den kraft som
behövs för att hålla kärlet på plats då volymen av kärlets material antas vara försumbar. Hela
den ursprungliga luftmängden antas vara kvar i kärlet och temperaturen kan antas vara konstant
283 K och lufttrycket 101 kPa.
p o = 101 kPa
L
d
p h
H
Figur 2.3
2

KAPITEL 3
3.1 För den friktionsfria strömningen i ett 45-hörn enligt figur varierar hastigheten i x-led enligt,
3
2
u K(
x 3xy
) , där K är en konstant. Bestäm ett uttryck för hastigheten v i y-led.
Strömningen förutsätts vara stationär, tvådimensionell och inkompressibel.
y
45 o
Figur 3.1
x
3.2 För ett inkompressibelt strömningsfält är u C(
x y ) , v 2Cxy
, w 0, där C är en
konstant. Visa att kontinuitetsekvationen är uppfylld samt bestäm accelerationsvektorns
komposant i x-led, a x .
3.3 En axel med ytterdiametern 18 mm roterar med 20 varv per sekund inuti ett stillastående
axellager med längden 60 mm. En 0.20 mm tunn oljefilm fyller det koncentriska utrymmet
mellan axel och lager. Momentet som krävs för denna rotation uppmäts till 0.0036 Nm.
Uppskatta oljans viskositet.
2
2
h
Figur 3.3
Eftersom spalten är liten i förhållande till radien kan strömningen approximeras som strömning
mellan två parallella plan. Hastigheten varierar då linjärt i mellanrummet enligt u Uy / h , jfr.
Couette-strömning (kap. 3.3.1).
3.4 Smältvatten med temperaturen 0C bildar en tunn film som rinner ner längs en lodrät vägg.
Över ett visst område kan strömningen betraktas som laminär och fullt utbildad med en
(konstant) filmtjocklek av 0.92 mm . Bestäm vattenflödet per breddenhet.
I randytan mot luft kan friktionen försummas. Randeffekter kan försummas.
Ledning: Hastigheten i filmen är riktad längs väggen och beror enbart av avståndet till
densamma.
3

1.8 m
KAPITEL 4
(För uppgifterna i detta kapitel förutsätts friktionsfri och inkompressibel strömning)
4.1 Vid strömning förbi en lång vertikal cylinder är i det ostörda området uppströms cylindern
strömlinjerna jämnt fördelade med ett inbördes avstånd av 50 mm och med en
strömningshastighet av 20 m/s. Nära cylindern närmar sig strömlinjerna varandra och avståndet
mellan närliggande linjer i en viss sektion är 25, 30 och 35 mm, se figur. Beräkna de här
uppträdande hastigheterna.
50 mm
35 mm
30 mm
25 mm
U = 20 m/s
Figur 4.1
4.2 En kanal genom vilken vattenmängden 170 kg/s strömmar har vid en sektion A diametern 150
mm och vid sektion B 300 mm. Vattentemperaturen är 5.0 o C. Vad är trycket vid sektion B. då
denna ligger 1.8 m högre än A? Vid A är övertrycket 68.7 kPa. Atmosfärstrycket är 101.3 kPa.
B
d=0.30 m
h B
d=
0.15 m
A
h A
Figur 4.2
4.3 I en horisontell ledning strömmar vatten från ett rör med diametern 100 mm in i ett annat med
diametern 160 mm. Mellan dessa placeras en venturimeter med 70 mm:s diameter i trängsta
sektionen. En differentialmanometer ansluten mellan den trängsta sektionen och 100 mm:s
röret visar en höjddifferens av 88 mmHg (
i venturimeterns minsta sektion samt massflödet.
Hg
13.6
10
3
kg/m
3
). Beräkna medelhastigheten
V
1
2
3
88 mmHg
Figur 4.3
4

4.4 En cylinder är placerad i en luftström med symmetriaxeln vinkelrätt mot strömningsriktningen.
Luftens hastighet är 27 m/s, temperatur 20C och statiskt tryck 100 kPa. Beräkna: (a)
stagnationstrycket (b) trycket vid ytan i en punkt A 90 mot strömningsriktningen där
hastigheten är 54 m/s.
U = 27 m/s
T = 20 o C
A
p o
Figur 4.4
4.5 En ubåt färdas i saltvatten ( 1030 kg/m 3 ) på ett djup av 17 m och med hastigheten 6.2 m/s.
Beräkna det tryck som uppstår vid fören, i stagnationspunkten. Lufttrycket vid ytan är 100 kPa.
4.6 Ett Prandtlrör placeras i mitten av en rörledning för bensen (C 6 H 6 ) med diametern 0.050 m.
Den anslutna U-rörsmanometern visar ett utslag av 76 mm Hg. Beräkna hastigheten i mitten av
röret. Är strömningen laminär? ( 880 kg/m 3 , 0.6510
Pas
och
Hg
13.6
10
kg/m 3 )
3
H C
6
6
C H 6
6
3
p
p 0
h
Figur 4.6
p
p 0
till manometer
KAPITEL 5
5.1 En horisontell rörböj med 60 omlänkning i en vattenledning
reducerar inre diametern från 80 mm till 50 mm.
Trycket i 80 mm-röret är 500 kPa och massflödet 15 kg/s.
Beräkna till storlek och riktning reaktionskraften på
rörkröken. Inverkan av viskösa krafter och gravitation kan
försummas.
60 o
Figur 5.1
5.2 En vattenstråle med diametern 50 mm träffar tangentiellt
en krökt yta och länkas om 90 i horisontalplanet. Bestäm
till storlek och riktning den resulterande kraft som verkar
på ytan då strålens hastighet är 16 m/s. Strömningen kan
betraktas som friktionsfri.
Figur 5.2
V = 16 m/s
5

5.3 I en horisontell vattenstråle placeras en stor plan yta, vilken med strålen bildar vinkeln
135 (i ett horisontellt plan), se figur. Friktionsfri och tvådimensionell strömning kan
förutsättas.
=135 o T
N
Figur 5.3
(a) Beräkna hur stor del av vattenmängden som går i positiv respektive negativ T-riktning.
(b) Beräkna den kraft som fordras för att hålla plattan mot strålen, då vattenhastigheten är
12 m/s och strålmängden 57 kg/s.
5.4 En kvadratisk platta av likformig tjocklek och med 20 cm sida hänger lodrät i ett gångjärn. Om
en horisontell vattenstråle träffar plattan vinkelrät i dess mittpunkt från ett stillastående
munstycke avlänkas plattan 25. Strålens diameter är 20 mm och dess hastighet 5.0 m/s.
Beräkna plattans massa. Försumma gravitationens verkan på strålen.
M
25 o
V 1
mg
Figur 5.4
5.5 En vattenstråle med diametern 60 mm, som lämnar ett stillastående munstycke med hastigheten
15 m/s, träffar en plan platta. Normalen till plattan bildar vinkeln 30 med strålens axel.
Beräkna normalkraften på plattan: (a) när plattan är stilla, (b) när den förflyttas med
hastigheten 9.0 m/s i strålens riktning.
V 1
30 o N
T
Figur 5.5
6

5.6 Vatten strömmar under en bred slussport enligt figur. Vid sektion (1) och (2) kan strömningen
betraktas som endimensionell och horisontell. Bestäm horisontell kraft per breddenhet mot
slussporten med försumbara friktionseffekter.
p 0
F A,x
p 0
h
h 1 = 1.5 m
V 1 = 0.20 m/s
z
x
V 2 = 5.33 m/s
(1) (2)
Figur 5.6
h 2
5.7 Figuren nedan visar en rörlig vagn som omlänkar en vattenstråle 60 från horisontalplanet.
Strålen kommer från ett stillastående munstycke med utloppsarean 30 cm 2 . Strålens
utloppshastighet är 30 m/s. Bestäm den horisontella bromsande kraft som krävs för att
upprätthålla en konstant hastighet av 10 m/s på vagnen.
effekter av gravitation.
H O
2
998 kg/m
3
. Försumma
V 1
U
y
x
Figur 5.7
5.8 Vatten av 20 C strömmar kontinuerligt genom en horisontell 180 rörböj enligt figur. Vid
sektion (1), strax innan själva rörböjen, är övertrycket (gentemot omgivningen) 81 kPa .
Tvärsnittsarean i denna sektion är
2
2
2600 mm . Vid sektion (2), där arean reducerats till
650 mm via ett kort munstycke, strömmar vattnet ut i omgivningen, där trycket är 100 kPa .
Volymflödet är 475 liter per minut. Bestäm infästningskraften i x -led på rörböjen i sektion (1).
Förutsätt homogena förhållanden över tvärsnitt.
7
Figur 5.8

KAPITEL 6
6.1 För en tredimensionell diamantformad kropp, med karakteristisk dimension 229 mm,
uppmäts följande strömningsmotstånd F D vid olika hastigheter U i en vindtunnel (25C, 101
kPa):
U [m/s] 9.14 11.6 14.6 17.1 18.6 25.0 37.5
F [N] 5.56 8.67 13.4 18.1 21.5 38.7 87.0
D
Uppskatta strömningsmotståndet för en dylik kropp med karakteristisk dimension 381 mm ,
som vid samma anströmningsvinkel är utsatt för vattenströmning vid 10C och hastigheten
1.5 m/s.
6.2 För att ta reda på strömningsmotståndet för ett mindre luftskepp konstrueras en modell i skala
1:15, vilken man avser att prova vid släpförsök i en vattenränna (vattentemperatur 25C).
Skeppet (prototypen) är avsedd att färdas med en hastighet av 60 km/h vid en höjd över havet
på 1000 m där tryck och temperatur förväntas vara 90 kPa resp. 8.5C. (a) Vilken
släphastighet krävs i modellförsöket för att strömningen skall bli likformig med prototypens
tänkta förhållanden? (b) Vid försök med hastigheten i (a) uppmäts strömningsmotståndet 1.80
kN. Hur stort blir strömningsmotståndet (luftmotståndet) på prototypen vid tänkta
förhållanden?
6.3 Lyftkraften på en vinge med kordan 1 .1 m då den med en viss anfallsvinkel flyger med
hastigheten 25 m/s i stillastående luft av 10C och 95 kPa skall bestämmas m.h.a.
modellförsök i en atmosfärisk vindtunnel. Den geometriskt likformiga modellvingen har
kordan 0.37 m och dess vingbredd har skalats i samma förhållande. Lufttrycket i vindtunneln
är 101 kPa. För modellen uppmäts följande lyftkrafter F L vid olika anströmningshastigheter
U och lufttemperaturer T :
U [m/s] 20 30 40 50 60 70 80 90
T [C] 22 22 23 24 26 30 30 30
F [kN] 0.6 1.1 1.7 2.4 3.4 4.6 6.0 7.6
L
Hur stor blir lyftkraften på den stora vingen? Luften kan betraktas som en ideal gas.
Ledning: Under angivna förhållanden gäller F L f ( U,
c,
,
)
, c korda.
6.4 För att ta reda på strömningsmotståndet för en viss kropp (prototyp) vid luftströmning byggs
en modell i skala 1:3 ( p / m 3; m 1.1 m ). Modellförsök utförs i en vindtunnel,
p 103 kPa och T 20. 0 C, med följande resultat:
U [m/s] 5.0 8.0 12.0 16.0 23.0 28.0
F [ N ] 4.4 9.6 19.0 30.9 63.6 94.3
D
Beräkna strömningsmotståndet för prototypen vid lufthastigheten U 8. 5 m/s då
p 94 kPa och T 10C.
6.5 För att stabilisera en modell i en vindtunnel används tunna ståltrådar med diametern
d 0.251 mm , uppspända mellan modellen och vindtunnelns väggar och vinkelrät mot den
8

KAPITEL 7
anströmmande luften (20.0C, 103.5 kPa). Vid försöken visar det sig att det sker en periodisk
virvelupprullning nedströms trådarna när lufthastigheten överstiger 2 .79 m/s . Vid denna
(kritiska) hastighet uppmäts virvelfrekvensen 1302 Hz. Vid inkompressibel strömning och
tillräckligt långa trådar kan det förutsättas att virvelfrekvensen f v enbart beror av fluidens
hastighet U , diametern d , samt fluidens densitet och dynamiska viskositet .
(a) Genomför en dimensionsanalys av sambandet f v f ( U,
d,
,
)
(b) Det planeras att studera fenomenet med virvelupprullning närmare i en vätskekanal
med glycerin vid 20C som strömmande medium. För en stång med diameter 5.75
mm och tillräcklig längd, vid vilken hastighet uppträder fenomenet och vad är då
virvelfrekvensen?
7.1 En dragster med massan 800 kg skall inbromsas från sin maximala hastighet 435 km/h till 160
km/h m.h.a. en bromsfallskärm med diametern 1.3 m. Dragsterns projicerade area vinkelrät
mot körriktningen är 0.90 m 2 . Motståndskoefficienten för fallskärm och dragster är 1.4 resp.
0.20. Rullmotstånd och interferenseffekter mellan dragster och fallskärm kan försummas.
Beräkna inbromsningstiden. Fysikaliska data för luft kan tas vid 101 kPa och 20C.
7.2 Beräkna den maximala fallhastigheten för en fallskärmshoppare som väger 70 kg med en
fallskärm med diametern 3.0 m. Endast fallskärmens strömningsmotstånd behöver beaktas.
Fysikaliska data för luft kan tas vid 98 kPa och 10C.
7.3 En flagga är hissad på en 24 m hög flaggstång. Den rådande vindhastigheten på platsen är 22
m/s (kan anses vara konstant över stångens höjd). Luftens temperatur och tryck är 15 o C resp.
101.3 kPa. Flaggstången smalnar av något mot toppen men som ett medelvärde kan dess
diameter antas vara konstant, 12 cm. Flaggans längd utgör en fjärdedel av flaggstångens höjd
och förhållandet mellan flaggans längd och höjd (bredd) är 16:10 (SFS 1982:269). Beräkna det
böjande momentet relativt flaggstångens infästning. Randeffekter kan försummas.
7.4 En bordtennisboll med massan 2.8 g och diametern 40 mm släpps från botten av en
swimmingpool (vatten, 20C). Till vilken höjd över vattenytan når bollen? Bollen kan antas nå
sin slutliga hastighet (gränshastighet) momentant. Luftmotstånd samt ev. effekter vid gränsytan
vatten-luft kan försummas.
KAPITEL 8
8.1 I en horisontell rörkrök omlänkas strömningen 125 samtidigt som inre diametern ökas från 50
mm till 85 mm. Engångsförlustkoefficienten för rörkröken är K L = 0.50 baserad på
inloppshastigheten. I inloppet till rörkröken är trycket 180 kPa och vattenflödet 0.020 m 3 /s.
Omgivningstrycket är 100 kPa och vattnets temperatur 10C. Beräkna kraften som verkar på
rörets infästning.
8.2 Ett horisontell cylindrisk rörledning med innerdiametern 5.0 cm och längden 25 m har på
insidan av röret en ekvivalent ytråhet av 0.20 mm. I rörledningen finns två krökar, vardera med
K L = 0.70, och en ventil med K L = 1.6. Hur stor tryckskillnad krävs för att driva ett
massflöde av 2.5 kg/s vatten vid 20C genom rörledningen?
9

8.3 I en lutande oljeledning med längden 120 m och innerdiametern 0.030 m pumpas
5
0.60
kg/s olja med kinematiska viskositeten 4.0 10
m 2 /s och densiteten 900
kg/m 3 . Rörets lutning är 1:50, se figur. Beräkna den teoretiska pumpeffekten då pumpens
inlopp ligger vid ytan av en stor behållare.
p o
L=120 m
h
oljetank
pump
Figur 8.3
50h
8.4 En 25 m lång horisontell kvadratisk och invändigt slät lufttrumma med ett antal krökar och
ventiler ansluts till en fläkt som blåser luft genom trumman ut till omgivningen. Trummans
tvärsnittsarea är konstant 0.010 m 2 . En manometer, ansluten direkt efter fläkten visar 80.3 Pa
övertryck i förhållande till omgivningen. Hur stor är den totala engångsförlustkoefficienten K L
om volymflödet är 0.040 m 3 /s? Lufttemperaturen är 20C och omgivningens lufttryck 101 kPa.
8.5 I en cirkulär horisontell lufttrumma med diametern 250 mm mäts centrumhastigheten med ett
Prandtlrör. Den till Prandtlröret anslutna differentialtryckgivaren ger ett utslag av 225 Pa .
Beräkna friktionsfaktorn och ytråheten då tryckfallet i trumman är 26 Pa/m. Lufttemperaturen
är 20C och trycket är 100 kPa. Tabell 8-1 kan utnyttjas.
8.6 Genom en horisontell pipeline (oljeledning) i Alaska skall 250 10 råolja transporteras
per dygn. Innerdiametern är 1.20 m och den ekvivalenta ytråheten 3.0 mm. Det maximalt
tillåtna trycket i ledningen är 8.3 MPa; det lägsta trycket för att undvika gasbildning är
340 kPa . Oljans densitet är 930 kg/m 3 och dess dynamiska viskositet 0 .017 Pas
. Bestäm det
maximala avståndet mellan två pumpstationer samt pumpeffekten då pumpverkningsgraden är
85%. Ev. engångsförluster kan försummas.
8.7 Från en stor tank leder en rak rörledning med innerdiametern 80 mm, se figur. Trycket vid
tankens vattenyta är 240 kPa. Rörledningen som ligger 0.50 m under vattenytan lutar 30 uppåt
relativt horisontalplanet. För inloppet till rörledningen gäller K L = 0.90, baserat på hastigheten i
röret. Rörets ytråhet är 1.6 mm. Vid ett tillfälle går rörledningen helt av, varvid
vattenflödet 0.025 m 3 /s strömmar ut till omgivningen med trycket 100 kPa. Vattentemperaturen
är 10C. Hur långt från tanken (horisontellt sett) ligger rörbrottet?
3 m 3
p 1
= 240 kPa
h = 0.50 m
30 o p 2
= 100 kPa
Figur 8.7
10

8.8 Vatten vid 20C transporteras med hävertverkan i en rörledning med innerdiametern 25 mm ,
från en stor öppen behållare till ett fritt utlopp på en nivå som ligger 12 m lägre i förhållande
till gravitationsriktningen. Omgivningstrycket är 100 kPa. Rörledningen kan betraktas som slät,
0 ; engångsförluster kan försummas. Beräkna massflödet då rörledningen är 20 m lång.
12 m
Figur 8.8
SVAR
1.1 (b), (c), (d), (e), (g), (h)
1.2
3
(a) Re 66 10 , (b) Re 3.3 10
1.3 w 0. 9 N/m 2
1.4 V 1 1.1 m/s , V 3 1.6m/s
1.5 m 371 kg/s, V 1. 43 m/s
1.6 V 0.14 m/s ( 0.12 Pas
, se Tabell A3)
2.1 1.3 kg/dm
2.2 m 1. 4 kg
2.3 F = 16 kN
3.1 v K(
y 3x
y)
3.2 a x 2C
x(
x y )
3.3 0.021 Pas
3.4
3
2
2
3
2
3
V / b 1.4
10
m 2 /s
2
4.1 V 29 , 33 resp. 40 m/s (räknat utifrån in mot cylinderytan)
4.2 p B 196 kPa
4.3 V 2 5. 35 m/s, m 20. 6 kg/s
4.4 p (100 0.43)
kPa, p ( 100 1.30)
kPa
0
4.5 p 0 0. 29 MPa
A
4.6 u max 4. 6 m/s; troligtvis inte laminär strömning ( Re 1.6 10
)
5.1 R 2. 0 kN, R 0. 91 kN
x
5.2 R 0. 50 kN, R 0. 50 kN
x
z
y
3
5
11

5.3 (a) m T
/ m
T 5. 8 , (b) R N 0. 48 kN, R T 0
5.4 m 1. 9 kg
5.5 (a) R 0. 55 kN, (b) R 88 N
N
5.6 R x / b 9. 5 kN/m
5.7 F 0.60 kN
5.8 F 0.33 kN (till vänster)
Ax
6.1 F D 0. 33 kN
6.2 F D 0. 61 kN
6.3 F L 5. 2 kN
6.4 F D 74 N
6.5 (a) Ex. , (b) ;
7.1 t 9. 3 s
7.2 U 11 m/s
7.3 M 27 kNm
7.4 H 5.3 cm ( C D 0.46)
8.1 R x 0.73 kN, Ry
0.52 kN
8.2 p 15 kPa
8.3 W P,in 0.11 kW
8.4 K
L
2. 2
8.5 f 0. 042 , 3. 3 mm
8.6 Lmax
12 mil (ca. 122 km), W P 27 MW
8.7 Det horisontella avståndet är 8.4 m
8.8 m 1. 9 kg/s (V = 3.92 m/s)
N
12