Laborativa inslag och gripbara bevis - Ncm

36 NämNareN Nr 2 • 2009
Mats Ydman
Laborativa inslag och
gripbara bevis
I Nämnaren nr 2, 2008 inbjöds alla som har goda idéer och erfarenheter
från samverkan matematik – slöjd att dela med sig av dem. mats Ydman
på Bäckadalsgymnasiet i Jönköping hörde av sig och berättade om sin
undervisning med laborativa inslag och gripbara bevis.
Efter 25 år som matematiklärare i grundskolans åk 7–9 och på gymnasiet i
kurserna A–E, vill jag dela med mig av mina erfarenheter av laborativa inslag
i undervisningen och om det som jag kallar gripbara bevis. Jag gick ämneslärarutbildning
i matematik och slöjd i Linköping 1980–84 och fick en utbildning
som var både teoretisk och praktisk, såväl i matematik som i slöjd. Detta har
varit en fördel för mig i undervisningen i båda ämnena.
I matematikämnet finns det områden som kan förstås djupare ju fler sinnen
som blir inblandade i inlärningen. Omvänt finns det också viktiga och ibland
komplicerade beräkningar att göra vid konstruktioner av slöjdföremål där det
går att inse matematikens tillämpningar på ett annat sätt än vad som oftast
beskrivs i traditionella läromedel.
Integralen mellan två kurvor
Den första inspirationen att tillverka gripbara bevis fick jag av min handledare
Rolf Hess, dåvarande matematik- och fysiklärare på Katedralskolan i Linköping.
Han sa: Du som är slöjdlärare kan väl göra ett bevis för integralen mellan två kurvor
i plywood? Jag sågade ut arean mellan y = x 2 och y = x + 2 för x från 0 till 2, samt
en kvadrat på 4 areaenheter. För att visa uträkningens olika steg sågade jag också
separat ut arean under y = x 2 och y = x + 2. Därefter vägdes kvadraten, för att få
ett mått på hur mycket 4 ae i plywood väger, vilket sedan jämfördes med vikten
av arean mellan kurvorna och det stämde precis med den uträknade arean. Jag
fick själv en kick av detta. Därefter prövade jag förklaringsmodellen hos mina
elever och min förhoppning är att eleverna heller aldrig glömmer den.

Cirkel och parallellepiped
Nästa lärare som inspirerade mig till konkreta och
be (gripbara) bevis var Bo-Anders Andersson vid Tunnbyskolan
i Bromölla. Han hade en idé om hur man skulle
kunna konkretisera dels omkretsen och arean av en cirkel,
dels begränsningsytan och volymen av en parallellepiped.
Jag gjorde först en modell i trä som sedan förbättrades.
En lärare i verktygsteknik på Bäckadalsgymnasiet i
Jönköping programmerade en CNC-trådgnistmaskin som
skar ut modellen i aluminium – tyvärr är det en dyr metod.
Därefter har modellteknikläraren Jan-Erik Tollén hjälpt
mig att gjuta modellens delar i plast.
Vad är area?
Ofta kan också laborationer vara ett
komplement till att förstärka förståelsen
för de matematiska begreppen.
När man ställer frågan: Vad är area?
får man ofta svaret ”längden gånger bredden” och inte
t ex det antal areaenheter som får plats på ytan. Eleverna i
Bromölla fick frågan om hur stor area en bananformad yta
vid busshållplatsen hade. Efter diskussion kom eleverna
fram till att de skulle behöva en kvadratmeter. Denna
sågades ut i plywood och eleverna fick välta runt den på
ytan. De fick se och känna att alla ytor inte kan beräknas
med en enkel formel. Dessa elever glömmer nog inte
begreppet area.
Hur stor är en kubikmeter?
En dag hade jag matematiklektion i åk 8 samtidigt som
slöjdsalen var ledig. För att visa hur stor en kubikmeter
är delade jag upp klassen i fem grupper. Varje grupp fick
uppgiften att först såga ut en kvadratmeter i plywood och
sedan spika upp den på en ram av trä. Grupperna fick till
sist måla sin kvadratmeter som de ville. Kubikmetern sattes
ihop med hjälp av haspar, så att den ”öppna” kuben skulle
hålla ihop. Jag hade inte heller själv sett en kubikmeter ”i
verkligheten” och blev nog lika förvånad som eleverna hur
stor den var. Åtta elever fick utan vidare plats i kuben, vilket
förvånade de flesta! Som avslutning på uppgiften diskuterade
vi bland annat volymen av en människa.
NämNareN Nr 2 • 2009
37

38 NämNareN Nr 2 • 2009
en pyramids volym
Formeln för volymen av en pyramid kan visas när en ståltrådskub
doppas i såpvatten eller med en modell i trä som
visar hur sex pyramider bildas. Dessa har kubens sidoyta
som basyta och höjden är halva kantsidans längd. Med
andra ord är det sex pyramider med ”halv höjd” som motsvarar
tre pyramider med full höjd, dvs B·h
3 .
ett klots volym
Jag har det senaste året arbetat med ett konkret ”bevis”
för formeln till volymen av ett klot, se nederst till vänster.
Detta bygger ju på en summa av tunna ”cirkelskivor” där
”tjockleken av dessa går mot noll”. För att visa detta svarvade
jag cirkelskivor i trä och metall samt gjorde ett koordinatsystem
i rundstål.
Några reflektioner
Mina idéer gör tyvärr inte matematiken mer begripbar för
alla elever. De elever jag trott skulle behöva förklaringarna
bäst, blir ibland misstänksamma medan elever på högre
nivå, t ex B till E-kurserna, lättare kan se fördelarna med att
använda flera sinnen.
Jag tror mig veta, att när eleverna får arbeta med fler sinnen,
bidrar detta till en djupare förståelse av matematiken.
Säkert har ni matematiklärare andra eller liknande idéer,
som kan förstärka matematikinlärningen eller göra undervisningen
annorlunda.
Laborationer och konkretiseringar inom matematiken
måste självklart väljas med urskiljning. När det passar kan
man använda sig av dessa sätt att variera undervisningen. I
en del fall får eleverna en bättre eller djupare förståelse för
matematiken och i andra fall kanske laborationerna ”bara”
är ett komplement till det de redan förstått!
Litteratur
Aldrich Kidwell, P., Ackerberg-Hastings, A. & Roberts, L. D. (2008). Tools of American
Mathematics Teaching, 1800–2000. Baltimore: Johns Hopkins University Press.