Vektör Makinaları Temelli Hiperspektral Sınıflandırma için Seyreklik ...

Vektör Makinaları Temelli Hiperspektral Sınıflandırma için
Seyreklik/ Sınıflandırma Başarımı Değiş Tokuşu
Sparsity/accuracy trade-off for vector machine based
hyperspectral classification
Begüm Demir, Sarp Ertürk
Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği Bölümü
Veziroğlu Yerleşkesi, Kocaeli Üniversitesi, 41040, İzmit/Kocaeli
{begum.demir, sertur}@kou.edu.tr
Özetçe
Bu çalışmada standart denetimli sınıflandırma algoritmalarına
göre daha iyi sonuç veren destek vektör makinaları (DVM) ve
ilgililik vektör makinaları (İVM) temelli hiperspektral görüntü
sınıflandırılması için seyreklik/ sınıflandırma başarımı değiş
tokuşu önerilmiştir. Bu doğrultuda k-ortalama ve faz
korelasyonu temelli bölütleme yöntemleri kullanılarak eğitim
aşamasında benzer hiperspektral veri örneklerinin
birleştirilmesi veya RANSAC ile bağımsız geçerlilik sınaması
(cross-validation) temelli en iyi alt-küme seçilmesi
önerilmiştir. Sonuç olarak hiperspektral eğitim verisi
azaltılarak, DVM ile sınıflandırma için destek vektör sayısı,
İVM sınıflandırma için ilgililik vektör sayısı azaltılmıştır.
Önerilen yöntem hem sınıflandırma hem de eğitim aşamasını
hızlandırmakta; model seyrekliğini sınıflandırma
başarımındaki düşük bir azalış karşılığında iyileştirmektedir.
Abstract
Sparsity/accuracy trade-off for hyperspectral image
classification based on support vector machines (SVMs) and
relevance vector machines (RVMs) is proposed in this paper.
In the proposed approach K-means or phase correlation based
unsupervised segmentation and RANSAC (RANdom SAmple
Consencus) with cross-validation is used to provide a
compressed hyperspectral data set before RVM and SVM
training. These approaches are used to compress the training
data by combining similar hyperspectral data samples, as a
result of which the number of training samples is reduced,
resulting in an overall smaller support vector amount for
SVM classification or a smaller relevance vector amount for
RVM classification after training. It is possible to trade of
accuracy against sparsity with the proposed approach and also
provide faster training as well as classification times.
1. Giriş
Hiperspektral görüntüleme birçok dar dalga boyu bandına ait
imge verilerini elde etmekte ve dalga boyuna göre bir ayrışım
sağlamaktadır. Hiperspektral görüntülerde her piksel için
dalga boyuna bağlı bir spektrum bilgisi elde edilmesi ile
piksellerin değişimi, benzerliklerin ve farklılıkların
algılanabilmesi sonucu bölgelerin sınıflandırılması standart
görüntü algılayıcılarına oranla çok daha yüksek bir başarımla
sağlanabilmektedir.
İmge bölütleme yöntemleri benzer pikselleri aynı kümeye
ayırarak kümeleme sağlamaktadır. K-ortalama denetimsiz
imge bölütleme yöntemi [1]’da önerilmiştir. Geliştirilmiş faz
korelasyonu temelli bölütleme yöntemi ise hiperspektral
görüntülere [2]’de uygulanmıştır.
Destek vektör makinaları (DVM) [3] son zamanlarda
multispektral [4] ve hiperspektral [5] görüntülerde regresyon
ve sınıflandırma problemlerini çözmek için uygulanmıştır.
AVIRIS verilerine DVM sınıflandırmanın uygulanması
üzerine [5]’da çalışılmıştır. DVM sınıflandırma için yüksek
başarımlar yüksek boyutlu özellik uzayında kerneller
kullanılarak elde edilebilmektedir, bu nedenle kernel temelli
öğrenme yöntemleri doğrusal ayırma yüzeyi bulmak amacı ile
veriyi yüksek boyutlu özellik uzayına yansıtabilmektedir [6].
İlgililik vektör makinaları (İVM) [7]’da önerilmiştir. İVM,
DVM ile karşılaştırıldığında çeşitli avantajlar sunmaktadır.
Hiperspektral görüntülerin İVM ile sınıflandırılması [8]’de
önerilmiştir. İVM’nin sunduğu avantajlar olasılıksal tahmin,
otomatik parametre kestirimi ve isteğe bağlı kernel fonksiyonu
seçimi (DVM için sadece Mercer kernelleri kullanılmaktadır)
olarak sıralanmaktadır. İVM eğitim aşamasında, DVM ile
eğitim aşamasında elde edilen destek vektörü sayısına göre
daha az ilgililik vektörü elde edilmesi sonucu seyreklik
sağlamaktadır. Bu çalışmada [9]’dan esinlenilmiştir ve ön
işlem kullanılarak hiperspektral görüntülerin DVM ve İVM ile
sınıflandırılması önerilmiştir. Ön-işlem olarak k-ortalama ve
faz korelasyonu bölütleme yöntemleri ve RANSAC bağımsız
geçerlilik sınaması kullanılmaktadır. Önerilen yaklaşımlar
model seyrekliğini, sınıflandırma başarımındaki düşük bir
azalış karşılığında iyileştirebilmektedir.
2. Destek Vektör Makineleri ve İlgililik Vektör
Makineleri
Eğitimli sınıflandırma, eğitim ve test (sınıflandırma)
işlemleriyle gerçekleştirilmektedir. Eğitimli sınıflandırma
yöntemleri eğitim aşamasında { n} n= 1
N
N
x giriş verisini ve bu
verilerin sınıf bilgisini { tn}
n=
1
kullanarak sınıflandırma
işlemi için bir model oluşturmaktadır. Test aşamasında yeni
giriş verileri, eğitim işlemi sonucunda elde edilen model
parametreleri kullanılarak sınıflandırılmaktadır. Bu tahminler
M adet temel fonksiyonun

T
( φ( x) = ( φ1( x) , φ2( x) , K , φM(
x)
) ) doğrusal
ağırlıklandırılmış toplamı olarak ifade edilen fonksiyonlar
( y ( x ) ) ile tanımlanmaktadır.
M
∑
i=
1
T
( ) ( )
y( xw ; ) = wφx
= wφ x (1)
i i
Eğitim aşamasında amaç, daha önceden görülmemiş giriş
vektörlerinin hangi sınıfta olduğunu doğru tahmin edebilmek
amacı ile eğitim verisindeki her i x ile ilişkili i w
parametrelerini bulmaktır. Eğitim işlemi sırasında i w
parametrelerin çoğunluğu otomatik olarak sıfırlanmaktadır ve
sıfırlanmayan w i değerleri ile ilişkili giriş vektörleri ilgililik
vektörleri olmakta ve test aşamasında kullanılmaktadır.
Destek vektör makineleri [3] denetimli (supervised)
sınıflandırma ve regresyon için gelişmiş teknoloji
sunmaktadır. DVM’ler, öğrenme boyunca, ayırma düzlemi
(aşırı düzlem) ile bunun her iki tarafında bulunan veri
örnekleri arasındaki mesafenin maksimum olması için
düzlemin pozisyonunu optimize etmektedir. DVM iki sınıfa
ait örnekler arasındaki karar yüzeyini oluştururken yüzeyin iki
sınıfa olan uzaklığını en yüksek dereceye çıkarmaya
çalışmaktadır. DVM karar fonksiyonu olarak denklem (2)’yi
kullanmaktadır.
N
y( xw ; ) = wK xx , + w
(2)
∑
i=
1
( ) 0
i i
Burada i w her x i ile ilişkili ağırlık parametresini, ( ) , K ⋅ ⋅
kernel fonksiyonunu göstermektedir. DVM [3] son
zamanlarda multispektral [4] ve hiperspektral [5]
görüntülerde regresyon ve sınıflandırma problemlerini
çözmek için uygulanmıştır. DVM hakkında daha ayrıntılı
bilgi için [3-5]’e bakılabilir.
Destek vektör makineleri denetimli (supervised)
sınıflandırma için gelişmiş teknoloji olmasına rağmen
olasılıksal çıkış verememe, ödünleşim parametre hesabı
gereksinimi (örneğin C değeri) ve Mercer kernel
fonksiyonlarına bağımlılık gibi dezavantajları vardır. DVM
için bahsedilen dezavantajlar, DVM’nin Bayes davranış
gösteren biçimi olan İVM sınıflandırma yöntemi kullanılarak
çözülmektedir. Ayrıca İVM az sayıda kernel fonksiyonu
gerektirmektedir. Destek vektör makineleri ile
karşılaştırıldığında sınıflandırma (test) süresi İVM
kullanılarak, daha az kernel fonksiyonu kullanılması nedeni ile
azalmaktadır.
t ∈ 0,1 olarak
İki sınıflı sınıflandırma için hedef bilgisi { }
alınabilmektedir. Burada sadece iki değer (0 ve 1) olduğundan
dolayı ptw ( ) için Bernoulli dağılımı kullanılmaktadır.
− y
Lojistik sigmoid bağlantı fonksiyonu σ ( y) = 1/(1 + e )
doğrusal model üretmek amacı ile y( x ) ’e uygulanmaktadır.
Bernoulli dağılımı kullanılarak benzerlik ifadesi
tn ∈{ 0,1}
için denklem (3)’de gösterildiği gibi ifade
edilmektedir.
n
N
∏
{ } { } 1
tn
⎡ ⎤
p( tw) = σ y( xn; w) ⎣1 −σ
y( xn;
w ) ⎦
n
(3)
n=
1
Ağırlık parametrelerinin önsel olasılığı denklem 4 ile
gösterilmektedir.
N
p(
w α ) = ∏
i=
1
2
αi αiwi
exp( − )
2π
2
(4)
Burada = ( α , α , , α )
T
α 1 2 K N hiperparametreleri ifade
etmektedir. Bayes teoremi kullanılarak ağırlık
parametrelerinin sonsal olasılıkları hesaplanmaktadır.
p( tw) p(
wα)
p(
wtα , ) =
p(
t α)
Burada p( tw ) benzerliği, p( w α ) önsel olasılığı, p( t α )
ise kanıtı (evidence) göstermektedir. w değerleri analitik
olarak elde edilemez. Bu nedenle [10]’de kullanılan Laplace
yaklaşım prosedürü w değerlerini elde etmek için
kullanılmaktadır. Geçerli α değerleri ile ilişkili w ağırlık
değerleri sonsal (posterior) dağılım kullanılarak
bulunmaktadır. pw ( / , tα) doğrusal olarak pt (/ wpw ) ( / a )
ile orantılıdır. Bu nedenle maksimum w’yi bulmak için
denklem (6) kullanılabilmektedir.
log { p( tw) p(
wα)
} =
N
1 T
∑[
tnlog yn + (1 −tn)log(1 − yn)
] − wAw
2
(6)
n=
1
{ ( ; ) }
yn = σ yxn w ’dir. Sonsal olasılık ifadesi geçerli α
değerlerini kullanarak en olası w değerlerini bulmak için
aşamalı çözüm kullanılmaktadır. Denklem (6) düzenlenmiş
logistik logaritmik benzerlik fonksiyonudur ve aşamalı en
büyüklemeyi gerektirmektedir. En olası w değerlerini bulmak
için aşamalı yeniden ağırlıklandırılmış en yakın kareler
yöntemi (‘iteratively-reweighed least-squares’) [11]
kullanılmaktadır. Denklem (6) ile gösterilen ifadenin iki kere
w’ye bağlı türevi alınarak Hessian matrisi elde edilmektedir ve
elde edilen ifade denklem (7) ile gösterilmektedir.
T
∇∇ log p(
wtα , ) =− ( Φ ΒΦ+ A )
(7)
w w wMP
Β ( 1 2
−t
(5)
Β = diag( β , β ,..., β ) ) köşegen matrisidir ve
{ yx ( ) } 1 { yx ( ) }
N
βn = σ n ⎡⎣ −σ
n ⎤⎦
ile ifade edilmektedir.
Hessian denkleminin değili alınırak ve terslenerek kovaryans
matrisi ∑ elde edilmektedir.
Σ = ( Φ ΒΦ+ A )
T −1
T
w ΣΦ Βt ˆ
MP =
ˆ −1
t = Φw MP + Β ( t−y )
Yukarıdaki denklemler genelleştirilmiş yakın kareler
probleminin çözülmesi sonucu oluşmaktadır. w MP değerlerini
(8)

elde ettikten sonra i
γ
α = denklemini
α değerleri 2 ,
yeni i
i
wi
kullanarak güncellenmektedir. Burada w i , i. ortalama sonsal
ağırlık ve i 1 i ii,
N γ α = − ’dir. N ii kovaryans matrisinin i.
köşegen elemanıdır. Optimizasyon işlemleri sırasında birçok
α i yüksek değerler almakta ve bu nedenle ilişkili ağırlık
parametreleri atılmaktadır ve seyreklik sağlanmaktadır.
3. DVM ve İVM Öncesi Ön-Bölütleme
DVM ve İVM eğitim aşamasından önce eğitim verisini
azaltarak hiperspektral verinin sıkıştırılması amacı ile kortalama
[1] ve geliştirilmiş faz korelasyonu [2] olmak üzere
iki farklı bölütleme yöntemi kullanılmaktadır.
Ön bölütlenmiş DVM ve İVM algoritmasında başlangıç
olarak eğitim verisi, yöntemlerden biri kullanılarak boyut
azaltmak amacı ile bölütlenmektedir. Her bir sınıf için
oluşturulan küme sayısı her bir sınıftaki eğitim verisi sayısı
ile ilişkilidir. Düşük eğitim verisine sahip olan bir sınıf düşük
küme sayısına sahip olmaktadır. Bölütleme işleminden sonra
her kümenin ortalama vektörü bu kümenin özellik vektörü
olarak alınmaktadır ve elde edilen bu özellik vektörleri DVM
ve İVM eğitim aşamasında kullanılmaktadır.
4. RANSAC DVM ve İVM
RANSAC yaklaşımı [12]’da önerilmiştir. Bu çalışma
kapsamında önerilen RANSAC DVM ve İVM yönteminde
eğitim verisinden rasgele alt kümeler seçilmektedir. İVM
sınıflandırma için ilgililik vektörleri, DVM sınıflandırma için
destek vektörleri bu alt kümelerin eğitim aşamasında
kullanılmasıyla elde edilmektedir. Eğitim verisinden seçilen
alt küme dışında kalan diğer eğitim verileri bağımsız
geçerlilik sınaması aşamasında kullanılarak sınıflandırma
başarımı hesaplanmaktadır ve eğer sınıflandırma başarımı
yüksek ise, eğitim kümesinden rasgele seçilen o veri seti için
elde edilen vektörler test verisinde de kullanılarak
sınıflandırma işlemi gerçekleştirilmektedir. Sınıflandırma
başarımı istenen değerde değilse aynı işlem yeni alt küme
seçilerek tekrar gerçekleştirilmektedir. Sınıflandırma
başarımının istenen kadar yüksek olmaması durumunda
sürekli rasgele veriler seçilerek işlem süresinin uzamasını
engellemek amacı ile maksimum sınıflandırma başarımına
sahip veri kümesinin eğitilmesi sonucu oluşan ilgililik
vektörleri ve destek vektörleri sınıflandırma (test) aşamasında
kullanılmaktadır.
5. Deneysel Sonuçlar
DVM ve İVM sınıflandırma yöntemleri 220 bant içeren
1992 yılında kuzeybatı Indiana’nın Indian Pine test alanında
alınan hiperspektral görüntüsüne uygulanmıştır. Atmosferik
gürültü içeren bantlar atılarak 200 bant kullanılmıştır. Özgün
sınıf bilgisi verisinde 16 sınıf bulunmaktadır. Fakat, bazı
sınıfların eleman sayısı çok düşük olduğundan veri miktarı
büyük olan 9 sınıf seçilerek, bu sınıflar 4757 eğitim verisi ve
4588 test verisi elde etmek için kullanılmıştır. Her sınıf için
seçilen eğitim ve test verilerinin miktarları Tablo 1’de
gösterilmektedir.
DVM ve İVM sınıflandırma için en sık kullanılan
kerneller doğrusal, çok terimli ve radyal taban kernel
fonksiyonlarıdır. Bu çalışmada İVM ve DVM sınıflandırma
için RTF kerneli kullanılmıştır.
Radyal tabanlı kernel fonksiyonu:
2
K( x , x ) = exp( −γx −x
)
(9)
i j i j
Hızlı eğitim süresi sağladığı için çoklu DVM ve İVM
sınıflandırma için bire-bir çoklu sınıflandırma [3]
kullanılmıştır. İVM yöntemi ikili sınıflandırma ile
sınırlandırılmadığı halde pratikte çoklu sınıflandırma
kullanımı azdır ve Hessian matrisinin boyutu sınıf sayısı
artıkça arttığı için işlem yükünü arttırmaktadır. Tablo 2 ve
Tablo 3 farklı sıkıştırma oranlarında DVM ve İVM
sınıflandırma sonuçlarını göstermektedir. Elde edilen
sonuçlarda DVM sınıflandırma için C parametresi 40 ve DVM
ve İVM sınıflandırmada kullanılan RTF kerneli için gama
değeri (γ ) 2 seçilmiştir.
Hiperspektral görüntünün ön bölütlenmiş İVM ve DVM
ile sınıflandırılması sonucu elde edilen sınıflandırma
başarımları ve İVM sınıflandırma için kullanılan İV sayısı
DVM sınıflandırma için kullanılan DV sayısı farklı kernel
parametreleri için Tablo 4’de gösterilmektedir. SB
sınıflandırma başarımını göstermektedir. Ön bölütleme işlemi
uygulanmadan direk İVM ve DVM sınıflandırma sonuçları
Tablo 6’da verilmektedir.
Deneysel sonuçlar İVM sınıflandırma yönteminin DVM
ile karşılaştırıldığında benzer sınıflandırma başarımının daha
az kernel fonksiyonu ile elde edildiğini göstermektedir.
Seyreklik elde etmek amacıyla İVM tercih edilebilmektedir.
Ön bölütleme ve RANSAC yaklaşımının sınıflandırma
başarımındaki azalma karşılığında DVM sınıflandırma için
destek vektör sayısını İVM sınıflandırma için ilgililik vektör
sayısını azalttığı gözlemlenmektedir. K-ortalama İVM faz
korelasyonu İVM (FK-İVM) ile karşılaştırıldığında yaklaşık
aynı ilgililik vektör sayısında daha iyi sınıflandırma başarımı
sağlamaktadır. RANSAC İVM (R-İVM) ise daha çok ilgilik
vektörleri kullanarak K-ortalama İVM’den (K-İVM) daha iyi
sınıflandırma başarımı sağlamaktadır. Ön bölütlenmiş ve
RANSAC İVM eğitim aşamasındaki zaman performansı
nedeni ile ön bölütlenmiş ve RANSAC DVM’ye göre tercih
edilmektedir. İVM eğitim aşaması DVM ‘den 7–8 kat fazla
[10] olmasına rağmen sınıflandırma (test) aşaması DVM’den
7–8 kat daha azdır.
6. Sonuçlar
Bu çalışmada hiperspektral görüntülere ön-işlem
uygulandıktan sonra DVM ve İVM sınıflandırma
yöntemlerinin uygulanması gerçekleştirilmiştir. Önerilen
yöntem İVM sınıflandırma için İV sayısını DVM
sınıflandırma için DV sayısını azaltmaktadır ve düşük
karmaşıklık gerektiren hedef tanıma uygulamaları gibi gerçek
zamanlı uygulamalar için uygundur. Önerilen yaklaşımlar ile
sınıflandırma başarımında kabul edilebilir bir düşüş
karşılığında seyreklik sağlanmıştır. Seyreklik model

karmaşıklığını etkilemektedir ve önerilen yöntem ile model
karmaşıklığı ve hesapsal yük azaltılmıştır.
Tablo 1: 9 sınıf için eğitim ve test verisi miktarları
Sınıf Eğitim Test
S1-Corn-no till 742 692
S2-Corn-min till 442 392
S3-Grass/Pasture 260 237
S4-Grass/Trees 389
358
S5-Hay-windrowed 236 253
S6-Soybean-no till 487 481
S7-Soybean-min till 1245 1223
S8-Soybean-clean till 305 309
S9-Woods 651 643
Toplam 4757 4588
Tablo 2: % 88 sıkıştırma oranı için sonuçlar
Yöntem
DVM
SB DV
İVM
SB İV
k-ortalama 87.68 942 82.78 192
RANSAC 87.57 1203 82.74 209
FK 83.39 873 79.01 193
Tablo 3: % 50 sıkıştırma oranı için sonuçlar
Yöntem
DVM
SB DV
İVM
SB İV
k-ortalama 91.06 2198 87.29 347
RANSAC 88.86 2030 84.63 388
FK 89.34 2134 86.79 349
Tablo 4 :farklı kernel parametreleri için ön-bölütleme ve
RANSAC İVM sonuçları
Yöntem
Kernel
parametreleri
γ
SB İV
K-İVM 1 80.38 176
K-İVM 2 82.78 192
R-İVM 1 82.58 216
R-İVM 2 82.74 209
FK-İVM 1 78.33 181
FK-İVM 2 79.01 193
Tablo 5 : farklı kernel parametreleri için
ön-bölütleme ve RANSAC DVM sonuçları
Yöntem
Kernel
parametreleri
γ
C SB İV/DV
K-DVM 1 65 86.83 885
K-DVM 2 40 87.68 942
R-DVM 1 65 87.01 1021
R-DVM 2 40 87.57 1203
FK-DVM 1 65 82.95 884
FK-DVM 2 40 83.39 873
Tablo 6: Farklı kernel parametreleri için
DVM ve İVM sonuçları
Yöntem
Kernel
parametreleri
γ
C SB İV/DV
DVM 1 65 91.95 3259
İVM 1 - 90.14 514
DVM 2 40 92.67 3393
İVM 2 - 90.32 592
7. Teşekkür
Bu çalışma, Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma Kurumu,
TÜBİTAK tarafından Hiperspektral Sınıflandırma, Bölütleme
ve Tanıma” (HİSSET) isimli araştırma projesi kapsamında
desteklenmiştir.
8. Kaynakça
[1] Meyer, A., Paglieroni, D., and Astaneh, C.: ‘K-Means Re-
Clustering: Algorithmic Options with Quantifiable Performance
Comparisons’, SPIE Photonics West, Optical Engineering at
LLNL, Vol. 5001, pp. 84-92, 2003.
[2] Ertürk, A., Ertürk, S.: ‘Unsupervised Segmentation of
Hyperspectral Images Using Modified Phase Correlation,’ IEEE
Geoscience and Remote Sensing Letters, 3, (4): 527-531, 2006.
[3] Burges, C.: ‘A Tutorial on Support Vector Machines for Pattern
Recognition’, in Proc. Data Mining and Knowledge
Discovery, U. Fayyad, Ed. Kluwer Academic, pp.1-43, 1998.
[4] Huang, C., Davis, L. S., and Townshend, J. R. G: ‘An
Assessment of Support Vector Machines for Land Cover
Classification’, Int. J. Remote Sensing, 23, (4): 725-749, 2002.
[5] Gualtieri, J. A., Chettri, S. R., Cromp, R. F., and Johnson, L. F.:
‘Support vector machine classifiers as applied to AVIRIS data’,
in Summaries 8th JPL Airborne Earth Science Workshop, JPL
Pub. 99-17, pp.217–227, 1999.
[6] Müller, K.R., Mika, S., Ratsch, G., Tsuda, K., and Schölkopf,
B:. ‘An Introduction to Kernel-Based Learning Algorithms’,
IEEE Transactions on Neural Networks, 12, (2): 181–201, 2001.
[7] Tipping, M. E.: ‘The relevance vector machine’, in Advances in
Neural Information Processing Systems 12, S. A. Solla, T. K.
Leen, and K.-R. Müller, Eds. Cambridge, MA: MIT Press, 2000.
[8] Demir, B. Ertürk, S.: ‘Hyperspectral image classification using
relevance vector machines’, IEEE Geoscience and Remote
Sensing Letters, submitted.
[9] Wang, J., Wu, X., Zhang, C.: ‘Support Vector Machines Based
on K-means Clustering for Real-time Business Intelligence
systems’, Int. J. Business Intelligence and Data Mining, 1, (1):
54-64, 2005.
[10] MacKay, D. J. C.: ‘The evidence framework applied to
classification networks’, Neural Comput., Vol. 4, pp. 720–736,
1992.
[11] Nabney, I. T.: ‘Efficient training of RBF networks for
classification’, in Proc. 9th ICANN, pp. 210–215, 1999.
[12] Fischler, M. A Bolles, R. C.: ‘Random Sample Consensus: A
Paradigm for Model Fitting with Applications to Image Analysis
and Automated Cartography’, Comm. of the ACM, Vol 24,
1981, pp. 381-395.