Równania dynamiczne - Akademia Morska w Gdyni

Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Równania dynamiczne
Mirosław Tomera
1. WPROWADZENIE
Transformata Laplace’a pozwala na przekształcenie równania różniczkowego opisującego liniowy
i stacjonarny układ fizyczny na równanie algebraiczne wyrażone w zależności od zmiennej zespolonej
s. Wykorzystując to równanie algebraiczne można uzyskać transmitancję wyrażającą zależność
pomiędzy wejściem i wyjściem układu. Metoda ta jest bardzo użyteczna w projektowaniu i analizie
układów i pozwala na zastosowanie schematów blokowych do wyrażenia powiązanych ze sobą
elementów składowych układu.
Duża dostępność i łatwość użycia komputerów cyfrowych pozwala na szybkie rozwiązywanie
problemów sterowania opisanych w dziedzinie czasu. Poza tym techniki stosowane w dziedzinie czasu
mogą być zastosowane do układów nieliniowych, niestacjonarnych i wielowymiarowych. Dziedzina
czasu wyraża odpowiedzi i opis układu w zależności od czasu t. Opis w dziedzinie czasu jest podstawą
nowoczesnej teorii sterowania i optymalizacji układów.
Fizyczny układ dynamiczny może być opisany równaniem różniczkowym ntego rzędu.
Stosując zbiór zmiennych, zwanych zmiennymi stanu, można uzyskać zbiór n równań różniczkowych
pierwszego rzędu. Grupując równania pierwszego rzędu przy użyciu notacji macierzowej otrzymuje
się opis zwany modelem zmiennych stanu.
2. ZMIENNE STANU UKŁADU DYNAMICZNEGO
Analiza i projektowanie układów sterowania w dziedzinie czasu wykorzystuje koncepcję stanu układu.
Stan układu jest zbiorem takich zmiennych, które pozwalają przewidzieć przyszłe wartości stanów
i wyjścia układu na podstawie wiedzy o tych zmiennych, funkcjach wejściowych i równaniach
opisujących dynamikę układu. Dla układu dynamicznego, stan układu opisany jest w zależności od
zbioru zmiennych stanu [ x1( t),
x2
( t),...,
xn
( t)]
. Zmienne stanu są takimi zmiennymi, które określają
przyszłe zachowanie układu przy znanym stanie obecnym układu i sygnałach wymuszających.
Rozważmy układ pokazany na rys. 1, gdzie y 1( t)
oraz 2 ( ) t y są sygnałami wyjściowymi, natomiast
u ( ) oraz u ( ) sygnałami wejściowymi.
1 t
2 t
Sygnały
wejściowe
u 1 (t)
u 2 (t)
Rys. 1. Schemat blokowy układu
Dynamika
układu
Sygnały
wyjściowe
y 1 (t)
y 2 (t)
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera

Teoria sterowania Równania dynamiczne
Zbiór zmiennych stanu ( 1, 2,...,
n ) x x x dla układu pokazanego na rysunku 1 jest zbiorem takiej wiedzy
o warunkach początkowych zmiennych stanu [ x1( to
), x2
( to
),..., xn
( to
)] w chwili początkowej t o oraz
sygnałach wejściowych u 1( t)
oraz 2 ( ) t u dla t to
, która wystarczy do określenia wartości
przyszłych zmiennych stanu i wyjścia. W postaci ogólnej dynamika układu pokazana jest na rys. 2.
Warunki
x(0)
początkowe
Wejście
Wyjście
Dynamika układu
u(t) y(t)
Stan x(t)
Rys. 2. Dynamika układu
Koncepcja zbioru zmiennych stanu opisująca układ dynamiczny może zostać zilustrowana na prostym
przykładzie masy zawieszonej na sprężynie.
Przykład 1
Dla układu pokazanego na rysunku 1.1 wyznacz równania stanu.
b
M
y(t) u(t)
Rys. 1.1. Układ masasprężyna-
tłumik
k
Rozwiązanie. Liczba wybranych zmiennych stanu reprezentujących ten
układ powinna być najmniejszą z możliwych celem uniknięcia
nadmiarowych zmiennych stanu. Zbiór zmiennych stanu wystarczający do
opisu tego układu zawiera pozycję i prędkość poruszania się masy.
Dlatego też zdefiniowany zbiór zmiennych stanu ( 1, 2 ) x x składa się z
następujących zmiennych:
dy(
t)
x1( t)
y(
t)
oraz x2
( t)
. (1.1)
dt
Równanie różniczkowe opisujące zachowanie się układu z rysunku 1.1 ma
postać
2
d y(
t)
dy(
t)
M b ky u(
t)
(1.2)
2
dt dt
gdzie: k stała sprężyny, b współczynnik tarcia. Aby zapisać równanie (1.2) w zależności od
zmiennych stanu, podstawione zostały zmienne stanu opisane zależnościami (1.1)
dx2
M bx2
kx1
u(
t)
(1.3)
dt
Równania różniczkowe (1.3) można również zapisać w postaci następującego zbioru dwóch
równań różniczkowych pierwszego rzędu:
dx
x2
(1.4)
dt
.
1
x1
.
x
2
dx2
b k 1
x2
x1
u
(1.5)
dt M M M
Uzyskany zbiór równań różniczkowych opisuje zachowanie stanu układu w zależności od
prędkości zmiany każdej zmiennej stanu.
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 2

Teoria sterowania Równania dynamiczne
Zmienne stanu opisują przyszłą odpowiedź układu przy danym stanie obecnym, sygnałach
pobudzających i równaniach opisujących dynamikę układu.
Zmienne stanu charakteryzują zachowanie dynamiczne układu. W układach fizycznych tymi
zmiennymi są takie wielkości fizyczne jak napięcia, prądy, prędkości, pozycje, ciśnienia, temperatury,
itd. Koncepcja stanu układu nie ogranicza się tylko do analizy układów fizycznych i jest również
wykorzystywana w analizowaniu systemów biologicznych, społecznych i ekonomicznych. Dla tych
systemów koncepcja stanu jest rozszerzana poza koncepcję energii układu fizycznego do szerszego
pojęcia zmiennej, która opisuje ich przyszłe zachowanie.
3. RÓWNANIA DYNAMICZNE STANU
Stan układu opisywany jest przez zbiór równań różniczkowych pierwszego rzędu w zależności od
zmiennych stanu ( 1, 2,...,
n ) x x x . Te równania różniczkowe pierwszego rzędu mogą być zapisane
w następującej postaci ogólnej jako:
.
x
.
x
...
.
x
1
2
n
a
a
a
11
21
x
1
x
x
1
n1
1
a
12
a
a
22
x
n2
2
x
x
2
2
... a
1n
... a
... a
x
2n
nn
n
x
x
b
n
n
11
b
b
u
21
1
u
u
n1
1
... b
1
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 3
1m
... b
... b
.
gdzie x dx dt . Zbiór równań różniczkowych pierwszego rzędu (1) może być zapisany
w następującej notacji macierzowej
d
dt
x1
a11
x2
a21
... ...
x4
an1
a
a
a
12
22
n2
...
...
...
...
a1n
x1
b11
a2n
x2
...
...
bn1
ann
xn
...
...
u
2m
nm
m
u
u
m
m
b1m
u1
...
...
b
nm um
Macierz kolumnowa składająca się ze zmiennych stanu nazywana jest wektorem stanu i zapisywana
jest następująco
x1
x2
x
(3)
...
x
n
Wektor sygnałów wejściowych określany jest jako u . Równanie (2) w postaci ogólnej przedstawiane
jest w postaci następującego zapisu macierzowego
.
x Ax Bu
.
Równanie różniczkowe (4) zazwyczaj nazywane jest równaniem stanu.
Macierz A jest macierzą kwadratową o wymiarach n
n m.
Równanie różniczkowe stanu odnosi prędkość zmiany stanu układu
(1)
(2)
(4)
n , natomiast macierz B jest o wymiarach
.
x do stanu tego układu x
i sygnałów wejściowych u . Ogólnie wyjścia y układu liniowego mogą być odniesione do zmiennych
stanu x i sygnałów wejściowych u przez równanie wyjścia zapisane w postaci ogólnej
y C x Du
(5)
gdzie y jest zbiorem sygnałów wyjściowych wyrażonych w formie wektora kolumnowego.

Teoria sterowania Równania dynamiczne
Przykład 2
Korzystając z równań (1.4) i (1.5) można uzyskać równanie różniczkowe zmiennych stanu dla
układu pokazanego na rys. 1.1 w postaci
oraz równanie wyjścia
x k b x 1 u
M M
M
0 1 0
.
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 4
(2.1)
y [ 1 0]
x [ 0]
u
(2.2)
Po podstawieniu b = 3, k = 2, M = 1, otrzymuje się
4. MACIERZ TRANZYCJI STANU
. 0 1
0
x x u
2 3
1
(2.3)
y [ 1 0]
x [ 0]
u
(2.4)
Rozwiązanie równania różniczkowego stanu może być uzyskane w podobny sposób w jaki rozwiązuje
się równanie różniczkowe pierwszego rzędu. Rozważmy równanie różniczkowe pierwszego rzędu
.
x ax bu
gdzie x (t)
oraz y (t)
są skalarnymi funkcjami czasu. Spodziewamy się rozwiązania ekspotencjalnego
at
w formie e . Przekształcając równanie (6) przy użyciu transformacji operatorowej Laplace'a,
otrzymuje się
i dlatego też
sX ( s)
x(
0)
aX(
s)
bU(
s)
(7)
x(
0)
b
X ( s)
U(
s)
(8)
s a s a
Przekształcenie odwrotne transformaty Laplace'a równania (8) daje następujące wyrażenie
at
a(
t
)
x(
t)
e x(
0)
e bu(
) d
t
0
Rozwiązanie równania różniczkowego stanu ma postać podobną do równania (9) i przedstawia się
następująco:
gdzie
t
x(
t)
exp( A t)
x(
0)
exp[ A(
t
)] Bu(
) d
(10)
exp( At)
e
At
0
I At
2
A t
2!
2
k
A t
...
k!
Wyrażenie (10) może być uzyskane po dokonaniu przekształcenia równania (4) przy użyciu
transformacji Laplace'a i wyznaczeniu
1
1
k
...
(6)
(9)
(11)
X(
s) [ sI
A]
x(
0)
[ sI
A]
BU(
s)
(12)

Teoria sterowania Równania dynamiczne
1
Zauważmy, że Φ( s ) [ sI
A]
jest transformatą Laplace'a Φ( t) exp( At)
. Macierz funkcji
ekspotencjalnej opisuje niewymuszoną odpowiedź układu i nazywana jest macierzą tranzycji stanu
(t)
. Dlatego też równanie (10) może być przepisane jako
t
x( t) Φ(
t)
x(
0)
+ Φ ( t
) Bu(
) d
(13)
Rozwiązanie układu nie poddanego żadnemu wymuszeniu (gdy u 0 ) ma postać
x1(
t)
11(
t)
x2
( t)
21(
t)
... ...
xn
( t)
n1(
t)
0
...
...
...
1n
( t)
x1(
0)
2n
( t)
x2
( 0)
... ...
nn(
t)
xn
( 0)
Aby określić macierz tranzycji stanu, wszystkie warunki początkowe ustawiane są na zero, za
wyjątkiem jednej zmiennej stanu i wówczas określane jest wyjście każdej zmiennej stanu. Wówczas
element (t)
jest odpowiedzią i-tej zmiennej stanu na warunek początkowy j-tej zmiennej stanu,
ij
przy zerowych wartościach początkowych na wszystkich pozostałych stanach.
Przykład 3
Korzystając z równań (2.3) poszukamy macierzy tranzycji (t)
, a następnie przebiegów
czasowych x ( ) oraz x ( ) , kiedy ) 0 ( x =1, x ( 0)
=0 i u ( t)
0.
1 t
2 t
1
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 5
2
Rys. 3.1. Prezentacja graficzna uzyskanych w przykładzie 3 wyników. (a) Przebieg czasowy zmiennej
stanu x1(t). (b) Przebieg czasowy zmiennej stanu x2(t). (c) Trajektoria wektora stanu na
płaszczyźnie
Macierz tranzycji jest prostą transformatą odwrotną Φ (s)
Φ (t)
= £ 1
{ Φ ( s)}
(3.1)
Najpierw określimy (s)
ze wzoru
1
Φ( s ) [ sI
A]
. Z równania (2.3)
(14)

Teoria sterowania Równania dynamiczne
wówczas
Macierz odwrotna
0 1
A (3.2)
2 3
s
1
[ sI A]
2
s 3
1
1 s
3 1
Φ( s) [ sI
A]
(3.4)
(
s) 2 s
2
gdzie ( s ) ( s 3)
s 2 s 3s
2 ( s 1)(
s 2)
. Dlatego też macierz tranzycji w postaci
operatorowej jest następująca
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 6
(3.3)
s 3 1
(
s 1)(
s 2)
( s 1)(
s 2)
Φ ( s)
(3.5)
2
s
( s 1)(
s 2)
( s 1)(
s 2)
Wówczas macierz tranzycji stanu jest następująca
(t)
= £ 1
t
2t
t
2t
( 2e
e ) ( e e )
{ Φ( s)}
t
2t
t
2t
(
2e
2e
) ( 2e
e )
Przebiegi czasowe zmiennych stanu na zadane warunki początkowe są wyrażone następująco:
(3.6)
t
2t
x1
( t)
x1
( 0)
1
2e
e
Φ ( t)
Φ(
t)
t
2t
(3.7)
x2
( t)
x2
( 0)
0
2e
2e
Przebiegi czasowe zmiennych stanu na zadane warunki początkowe oraz trajektoria wektora
stanu x ( t),
x ( t)]
na płaszczyźnie pokazane są na rysunku 4.
[ 1 2
5. ZALEŻNOŚĆ POMIĘDZY RÓWNANIAMI STANU A TRANSMITANCJĄ
Transmitancja G(s) dla układu z pojedynczym wejściem i pojedynczym wyjściem może zostać
uzyskana na podstawie równań stanu opisanych wzorami (4) oraz (5). Transformata operatorowa tych
równań jest następująca
sX( s)
AX ( s)
BU(
s)
(15)
Y( s)
CX ( s)
(16)
gdzie B jest macierzą o rozmiarach n 1
, natomiast u jest pojedynczym wejściem. Kiedy
poszukiwana jest transmitancja to nie uwzględnia się warunków początkowych (warunki początkowe
są równe zero). Przekształcając równanie (15) uzyskuje się
1
1
[ sI A]
X(
s)
BU(
s)
Ponieważ [ sI A]
Φ(
s)
, otrzymuje się
1
X( s) [
sI
Α]
BU(
s)
Φ(
s)
BU(
s)
Podstawiając X(s) do równania (16) uzyskuje się
1
Y( s)
C[ sI
Α]
BU(
s)
CΦ(
s)
BU(
s)
Dlatego też transmitancja G( s)
Y(
s)
/ U(
s)
wyraża się wzorem
(17)
(18)
(19)

Teoria sterowania Równania dynamiczne
Przykład 4
1
G ( s)
C[ sI
A]
B D
(20)
Poniższy przykład ilustruje sposób wyznaczania transmitancji operatorowej na podstawie
posiadanych równań dynamicznych.
Sposób wyznaczenia macierzy tranzycji w postaci operatorowej ( s ) pokazany jest
w przykładzie 3 i uzyskany wynik opisuje wyrażenie (3.5), natomiast macierze B oraz C
uzyskane z równań (2.3) i (2.4) są następujące
Dla rozważanego układu z pojedynczym wejściem i pojedynczym wyjściem równania stanu są
następujące
d
dt
x1
1
x
2
1
x 3
2
2
2
1
0
x1
1
0
x
2 0
u(
t)
3
x 3 0
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 7
(4.1)
x1
y ( t)
[ 1 0 1]
x2
(4.2)
x 3
Wyznacz transmitancję G( s)
Y(
s)
/ U(
s)
przy użyciu wzoru (20).
Rozwiązanie. Transmitancję dla tego układu wyznacza się w następujący sposób
1
G( s)
C [ sI
A]
B [ 1
0
s
1
1]
1
2
2
s 2
1
0
0
s 3
1
1
0
0
[ 1 0
2 s
s 6 2s
6
2
s 3 s 4s
3
2s
3 s 3
1]
3 2
s 2s
3s
0
0
2
1
s s
0
0
2 s
s 6
2
[ 1 0 1]
s s 3
s 3
3 2
3 2
s 2s
3s
s 2s
3s
2s
3
(4.3)
6. WYZNACZANIE RÓWNAŃ STANU NA PODSTAWIE TRANSMITANCJI
METODĄ DEKOMPOZYCJI
Układy liniowe mogą być opisywane różnymi metodami. Modelując układ liniowy można go opisać
równaniem różniczkowym, transmitancją lub równaniami dynamicznymi. Na rysunku 5.3 pokazany
został schemat blokowy przedstawiający zależności pomiędzy różnymi sposobami opisu układów
liniowych. Dla przykładu, wychodząc z równań różniczkowych opisujących zachowanie układu
liniowego można uzyskać rozwiązanie metodą transmitancji lub metodą równań dynamicznych. Na
schemacie tym pokazane zostało że są możliwe przejścia między różnymi metodami w dowolną

Teoria sterowania Równania dynamiczne
stronę. Jedynym zagadnieniem pokazanym na tym schemacie i nie wyjaśnionym jeszcze jest
konstruowanie diagramu stanu na podstawie transmitancji. Proces przechodzenia od transmitancji do
diagramu stanu nosi nazwę dekompozycji. Ogólnie są trzy metody dekompozycji transmitancji:
bezpośrednia, równoległa i kaskadowa. Każda z tych trzech metod dekompozycji ma swoje zalety
i może najlepiej odpowiadać pewnym szczególnym zastosowaniom. Prawdopodobnie najbardziej
efektywnym sposobem rozumienia równań zmiennych stanu jest przedstawienie ich na maszynie
(komputerze) analogowej w postaci diagramu stanów. Maszyna analogowa była urządzeniem
utworzonym z elementów elektrycznych i służyła do symulowania rozwiązań równań różniczkowych
zwyczajnych.
Równania
różniczkowe
Transmitancja
Równania
dynamiczne
Diagram
stanu
Równanie
tranzycji
stanu
Rys. 3. Schemat blokowy przedstawiający zależności pomiędzy różnymi sposobami opisu układów liniowych.
Podstawowym elementem maszyny analogowej był integrator zbudowany na wzmacniaczu
operacyjnym z kondensatorem w sprzężeniu i rezystorem w torze bezpośrednim. Ponieważ integrator
jest urządzeniem na którego wejściu jest pochodna wyjścia tak jak pokazano to na rysunku 5.4 to jeśli
w symulacjach analogowych, określi się wyjścia integratorów jako stan to automatycznie otrzyma się
równania w postaci zmiennych stanu. Jeśli układ jest już opisany przez zmienne stanu to można
skonstruować schemat na podobieństwo symulacji na maszynie analogowej, który nosi nazwę
diagramu stanu. Na schemacie tym wykorzystuje się po jednym integratorze dla każdej zmiennej stanu
i odpowiednio łączy ich wyjścia poprzez odpowiednie wzmocnienia stosowanie do równania
wyrażającego tą zmienną stanu. Rząd takiego układu określa liczba użytych w nim integratorów.
Diagramy stanu są obrazem równań stanu i są dogodnymi sposobami opisu układu z powodu łatwego
wyznaczania transmitancji przy użyciu reguły wzmocnień Masona.
.
x
1
s
Rys. 4. Integrator
6.1. DEKOMPOZYCJA BEZPOŚREDNIA
x
Dekompozycja bezpośrednia stosowana jest do transmitancji zapisanej w postaci ilorazu dwóch
wielomianów. Rozważając transmitancję n-tego rzędu o jednym wejściu U(s) i jednym wyjściu U(s)
(SISO) o postaci
G
n1
n2
Y(
s)
b1s
b2s
... bn1s
bn
( s)
(21)
n n1
n2
U(
s)
s a1s
a2s
... an1s
an
w której zakłada się, że rząd mianownika jest przynajmniej o jeden rząd większy niż licznika.
Dekompozycja bezpośrednia może być prowadzona na dwa sposoby i prowadzić do diagramu stanu
odpowiadającego postaci kanonicznej sterowalności i innej postaci znanej jako kanonicznej
obserwowalności.
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 8

Teoria sterowania Równania dynamiczne
Dekompozycja bezpośrednia do postaci kanonicznej sterowalności
Konstruowanie diagramu stanu na podstawie transmitancji metodą bezpośrednią składa się z
następujących kroków:
1. Należy wyrazić transmitancję w ujemnych potęgach s co uzyskuje się przez pomnożenie
n
licznika i mianownika transmitancji (21) przez s .
2. Pomnożenie licznika i mianownika transmitancji przez dodatkową zmienną X(s). Po
wykonaniu tych kroków transmitancja (21) przyjmuje postać
1
Y(
s)
b1s
b
G(
s)
U(
s)
1
a s
1
1
2
2s
2
a2s
... b
... a
n1
n
n1s
bns
n1
n
n1s
an
s
X ( s)
X ( s)
3. Zapisując oddzielnie w postaci dwóch równań zależności powstałe w liczniku i mianowniku
transmitancji (22), uzyskuje się
1
1
Y(
s)
( b s
U(
s)
( 1
a s
b
1
1
2
2s
a
... b
2
s
2
n1
n1s
... a
b
n
n1
n1s
s
) X ( s)
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 9
n
a
n
s
n
) X ( s)
4. Aby skonstruować diagram stanu na podstawie dwóch powyższych równań to dodatkowo
równanie (24) należy przekształcić do postaci
1
1
X ( s)
U
( s)
( a s
a
2
s
2
... a
n1
n1s
a
n
s
n
) X ( s)
Diagram stanu utworzony w oparciu o równania (23) i (25) pokazany został na rysunku 5. Dla
uproszczenia stany początkowe nie zostały zaznaczone na tym diagramie. Zmienne stanu x 1( t)
,
2 ( ) t x , ..., ) (t xn definiowane są jako wyjścia integratorów i uporządkowane w kierunku narastającym
od lewej strony diagramu do prawej. Równania stanu uzyskiwane są przez zastosowanie reguły
wzmocnień Masona, gdzie pochodne zmiennych stanu są wyjściami, natomiast zmienne stanu
i wejście u(t) są wejściami.
.
.
u x x x 1 1
x 1 1 2 x n-1 x n-1 1
1 n
y
b
s
s
s
s
n
a 1
b 1
a
a n1
Rys. 5. Diagram stanu w postaci kanonicznej sterowalności
b 2
Równanie wyjścia jest również określone przez zastosowanie reguły wzmocnień. Z diagramu stanu
uzyskuje się równania dynamiczne o postaci ogólnej opisanej wzorami (4) i (5), gdzie
b n-1
a n
(22)
(23)
(24)
(25)

Teoria sterowania Równania dynamiczne
A
s
a1
a2
a3
... an
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 0
1
0
B s 0
(26)
...
0
s [ 1 2 3 .... n ] b b b b C s 0 D (27)
Zgodnie z oczekiwaniami macierze A i B są w postaci kanonicznej sterowalności.
Przykład 5
Dla układu opisanego poniższą transmitancją, wyznacz równania dynamiczne w postaci
kanonicznej sterowalności. Uzyskane równania zapisz w postaci macierzowej.
2
Y(
s)
5s
4s
12
G ( s)
(5.1)
U(
s)
3 2
s 6s
s 3
Rozwiązanie. Na rysunku 5.1. znajduje się diagram stanu w postaci kanonicznej sterowalności
utworzony ma podstawie poniższych równań
1
2
Y( s)
( 5s
4s
12s
) X ( s)
1
2
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 10
3
3
X ( s)
U
( s)
( 6s
s 3s
) X ( s)
Do diagramu z rysunku 5.1 można dojść jeszcze w inny sposób. Po podzieleniu licznika
i mianownika przez najwyższą potęgę s pojawia się 1 w mianowniku.
2
1
Y(
s)
5s
4s
12
5s
4s
G(
s)
U(
s)
3 2
1
s 6s
s 3 1
( 6s
s
2
2
12
3s
3
3
P1
P2
P3
) 1
( L L L
W tej postaci uzyskana transmitancja (5.4) może zostać zinterpretowana jako wyrażenie
1
opisujące regułę wzmocnień Masona. Składniki licznika ( 1 5
2
P s , 2 4
3
P s , 3 12
P s ) są
torami wiodącymi sygnał poprzez integratory z wejścia na wyjście. Składniki mianownika
1
( 1 6
2
3
L s , L 2 s
, 3 3
L s ) mogą zostać przedstawione jako pętle. Na rysunku 5.1
sygnał wyjściowy z każdego integratora został oznakowany. Sygnały te nazywane są
zmiennymi stanu układu.
.
u x1 1 x x 1 1 2 1 x3 y
12
U(s) X(s) s
s
s
Y(s)
6
5
1
Rys. 5.1. Diagram stanu w postaci kanonicznej sterowalności utworzony na podstawie transmitancji (5.1)
3
1
2
3
)
(5.2)
(5.3)
(5.4)

Teoria sterowania Równania dynamiczne
Na podstawie uzyskanego diagramu stanu (Rys. 5.1) uzyskuje się następujący zestaw równań
stanu
i równanie wyjścia
dx1(
t)
6x1
( t)
x2
( t)
3x3
( t)
u(
t)
dt
dx2
( t)
x1(
t)
(5.5)
dt
dx3(
t)
x2
( t)
dt
y t)
5x
( t)
4x
( t)
12x
( t)
(5.6)
( 1 2
3
Powyższe równania można zapisać w postaci następujących macierzowo-wektorowych równań
dynamicznych
d
dt
x1(
t)
6 1
3
x1(
t)
1
x2
( t)
1 0 0
x2
( t)
0
u(
t)
x3
( t)
0 1 0
x3
( t)
0
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 11
(5.7)
x1
( t)
y ( t)
[ 5 4 12]
x2
( t)
(5.8)
x ( ) 3 t
Macierze A i B równania (5.7) wyrażone są w postaci kanonicznej sterowalności.
Dekompozycja bezpośrednia do postaci kanonicznej obserwowalności
Mnożąc licznik i mianownik transmitancji (21) przez
( 1
a
1
1s
a
2
s
2
... a
n1
n1s
a
n
s
n
) Y
( s)
n
s i przekształcając je otrzymuje się
1
1
( b s
b s
Wyznaczając z równania (28) Y(s) uzyskuje się następującą zależność
1
1
Y(
s)
( a
s
a
2
2s
... a
n1
n1s
a
n
s
n
) Y
( s)
2
2
... b
n1
n1s
b
n
s
n
) U
( s)
(28)
1 2
n1
n
( b s b s ... b s b s ) U
( s)
(29)
W oparciu o równanie (29) narysowany został diagram stanu pokazany na rysunku 6.
u
U(s)
b n
a n
.
xn 1
s
x n
b n-1 b 2 b 1
a n-1
.
xn1 x n1
Rys. 6. Diagram stanu w postaci kanonicznej obserwowalności
1
s
a 2
1
.
x2 2
1
s
x 2
a 1
n1
.
x 1
1
s
n
x 1
y
Y(s)

Teoria sterowania Równania dynamiczne
Na wyjściach integratorów zdefiniowane zostały zmienne stanu. W tym przypadku zmienne stanu
zostały ponumerowane w kolejności narastającej od lewej strony diagramu do prawej. Stosując regułę
wzmocnień Masona wyznacza się równania dynamiczne o postaci ogólnej (4) i (5), gdzie
A
o
a
a
a
...
a
1
2
3
n
1
0
0
...
0
0
1
0
...
0
...
...
...
...
...
0
0
0
...
0
b1
b2
B o b3
(30)
...
bn
o [ 1 0 0 ... 0]
C o 0 D (31)
Macierze A i C są w postaci kanonicznej obserwowalności.
Należy zaznaczyć, że transmitancja odpowiadająca dowolnej postaci równań dynamicznych jest
jednoznaczna (unikalna). Natomiast mając daną transmitancję można uzyskać kilka modeli stanu:
postać kanoniczną sterowalności, postać kanoniczną obserwowalności, postać kanoniczną diagonalną
i jeszcze wiele innych postaci.
Przykład 6
Dla transmitancji z przykładu 5 opisanej wzorem (5.1) należy skonstruować diagram stanu
w postaci kanonicznej obserwowalności i zapisać uzyskane równania dynamiczne w postaci
kanonicznej obserwowalności.
Rozwiązanie. W celu utworzenia diagramu stanu w postaci kanonicznej obserwowalności
transmitancję (5.1) należy zapisać w następującej postaci
1
2
3
Y( s)
( 5s
4s
12s
) U
( s)
( 6s
s 3s
) Y
( s)
co prowadzi do schematu pokazanego na rysunku 6.1.
Do diagramu z rysunku 5.1 można dojść jeszcze w inny sposób. Po podzieleniu licznika
i mianownika transmitancji 5.1 przez najwyższą potęgę s pojawia się 1 w mianowniku.
2
1
Y(
s)
5s
4s
12
5s
4s
G(
s)
U(
s)
3 2
1
s 6s
s 3 1
( 6s
s
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 12
2
2
1
12
3s
3
3
2
3
P1
P2
P3
) 1
( L L L
W tej postaci uzyskana transmitancja (6.2) może zostać zinterpretowana jako wyrażenie
1
opisujące regułę wzmocnień Masona. Składniki licznika ( 1 5
2
P s , 2 4
3
P s , 3 12
P s ) są
torami wiodącymi sygnał poprzez integratory z wejścia na wyjście. Składniki mianownika
1
( 1 6
2
3
L s , L 2 s
, 3 3
L s ) mogą zostać przedstawione jako pętle. Na rysunku 6.1
sygnał wyjściowy z każdego integratora został oznakowany.
u
U(s)
12
3
1
s
x 3
5
. . .
x 3
1
x 2
1
s
x 2
Rys. 6.1. Diagram stanu w postaci kanonicznej obserwowalności utworzony na podstawie transmitancji
(5.1)
6
x 1
1
s
1
2
x 1
3
)
y
Y(s)
(6.1)
(6.2)

Teoria sterowania Równania dynamiczne
Na podstawie diagramu stanu z rysunku 6.1 uzyskuje się następujący zestaw równań stanu
będących równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu
i równanie wyjścia
dx1(
t)
6x1
( t)
x2
( t)
5u(
t)
dt
dx2
( t)
x1
( t)
x3(
t)
4u(
t)
(6.3)
dt
dx3(
t)
3x1(
t)
12u(
t)
dt
( ) 1( ) t x t y (6.4)
gdzie x 1 , x2
, x3
są zmiennymi stanu. Równania różniczkowe pierwszego rzędu (6.3) mogą
zostać zapisane w postaci macierzowo-wektorowej stanu (4)
i wyjścia (5)
d
dt
x1
( t)
6
x2
( t)
1
x3
( t)
3
1
0
0
0
x1(
t)
5
1
x2
( t)
4
u(
t)
0
x3
( t)
12
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 13
(6.5)
x1(
t)
y ( t)
[ 1 0 0]
x2
( t)
(6.6)
x ( ) 3 t
Macierze A i C równań (6.5) oraz (6.6) są wyrażone w postaci kanonicznej obserwowalności.
6.2. DEKOMPOZYCJA RÓWNOLEGŁA DO POSTACI KANONICZNEJ DIAGONALNEJ
Kiedy mianownik transmitancji jest wyrażony w postaci iloczynowej to wówczas można dokonać
rozkładu tej transmitancji na sumę ułamków zwykłych.
n1
n2
b1s
b2s
... bn1s
bn
K1
K 2
G(
s)
( s p )( s p )...( s p ) s p s p
1
2
n
1
2
K n
...
s p
Uzyskany diagram stanu będzie składał się z prostych układów pierwszego i drugiego rzędu
połączonych równolegle, które prowadzą do równań stanu w postaci kanonicznej diagonalnej lub
kanonicznej diagonalnej Jordana uzyskiwanej dla przypadku z wielokrotnymi wartościami własnymi.
Bieguny transmitancji (32) mogą mieć wartości rzeczywiste lub zespolone. Obecnie nie ma problemu
z zaimplementowaniem wartości zespolonych w komputerze i dlatego też nie będzie prowadzone
rozróżnienie na przypadki z biegunami rzeczywistymi i zespolonymi.
Wartości własne jednokrotne
Sposób wyznaczania równań dynamicznych w postaci kanonicznej diagonalnej dla przypadku
w którym występują wartości własne jednokrotne przedstawiony został w przykładzie 7.
Przykład 7
Dla układu z pojedynczym wejściem i pojedynczym opisanego poniższą transmitancją,
n
(32)
2
Y(
s)
s 8s
12
G(
s)
(7.1)
3 2
U(
s)
s 5s
6s

Teoria sterowania Równania dynamiczne
wyznacz równania dynamiczne w postaci kanonicznej diagonalnej.
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności należy dokonać rozkładu transmitancji (7.1) na ułamki
proste, w ten sposób otrzymuje się
2
s 8s
12
9
12 2
G(
s)
(7.2)
3 2
s 5s
6s
s 3 s 2 s
Transmitancja opisana zależnością (7.2) może zostać przedstawiona jako połączenie równoległe
układów pierwszego rzędu co zostało pokazane na rysunku 7.1.
u
U(s)
.
x 1
.
x 2
.
x 3
1
s
3
1
s
2
1
s
x 1
x 2
x 3
9
12
2
Rys. 7.1. Diagram stanu w postaci kanonicznej diagonalnej utworzony na podstawie transmitancji (7.1)
Na podstawie diagramu stanu z rysunku 7.1 uzyskuje się następujący zestaw równań stanu
będących równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu
i równanie wyjścia
dx1(
t)
3x1
( t)
u(
t)
dt
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 14
y
Y(s)
dx2
( t)
2x2
( t)
u(
t)
(7.3)
dt
dx3(
t)
u(
t)
dt
y t)
9x
( t)
12x
( t)
2x
( t)
(7.4)
( 1
2 3
Uzyskane równania stanu zapisane w postaci macierzowo-wektorowej (4)
i wyjścia (5)
d
dt
x1
( t)
0
x2
( t)
0
x3
( t)
0
0
1
0
0
x1
( t)
1
0
x2
( t)
1
u(
t)
3
x3
( t)
1
(7.5)
x1(
t)
y ( t)
[ 9 12 2]
x2
( t)
(7.6)
x ( ) 3 t

Teoria sterowania Równania dynamiczne
Wartości własne wielokrotne
Równania dynamiczne dla układu z wielokrotnymi wartościami własnymi przedstawiane są w postaci
diagonalnej która nosi nazwę postaci diagonalnej Jordana. W poniższym przykładzie zilustrowany
został ten problem.
Przykład 8
Dla układu o jednym wejściu i jednym wyjściu o transmitancji zawierającej pierwiastki
wielokrotne, wyznacz równania dynamiczne w postaci kanonicznej diagonalnej.
2
Y(
s)
10s
51s
56 3 7 3
G ( s)
(8.1)
2
2
U(
s)
( s 2)
( s 4)
( s 2)
s 2 s 4
Rozwiązanie. Rozważana w tym przykładzie transmitancja jest trzeciego rzędu i chociaż
z iloczynu mianowników prawej strony wzoru (8.1) wynika że wynosi on cztery to jednak
stosuje się tylko trzy integratory co pokazane zostało na diagramie stanu na rysunku 8.1.
Minimalna liczba integratorów w tym przypadku wynosi trzy, przy czym jeden z nich
wykorzystywany jest w dwóch gałęziach.
u
U(s)
.
x 1
.
x 2
.
x 3
1
s
2
1
s
2
1
s
4
x 1
x 2
x 3
3
7
3
Rys. 8.1. Diagram stanu w postaci kanonicznej diagonalnej Jordana utworzony na podstawie
transmitancji (8.1)
Na podstawie diagramu stanu z rysunku 8.1 uzyskuje się następujący zestaw równań stanu
będących równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu
i równanie wyjścia
dx1(
t)
2x1
( t)
x2
( t)
dt
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 15
y
Y(s)
dx2
( t)
2x
2 ( t)
u(
t)
(8.2)
dt
dx3
( t)
4x
2 ( t)
u(
t)
dt
y t)
3x
( t)
7x
( t)
3x
( t)
(8.3)
( 1 2 3
Uzyskane równania stanu zapisane w postaci macierzowo-wektorowej (5.43)

Teoria sterowania Równania dynamiczne
i wyjścia (5.44)
d
dt
x1
( t)
2
x2
( t)
0
x3
( t)
0
6.3. DEKOMPOZYCJA KASKADOWA
1
2
0
0
x1
( t)
0
0
x2
( t)
1
u(
t)
4
x3
( t)
1
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 16
(8.4)
x1(
t)
y ( t)
[ 3 7 3]
x2
( t)
(8.5)
x ( ) 3 t
Dekompozycja kaskadowa polega on na tym, że transmitancja zapisywana jest w postaci iloczynu
prostych pierwszo- i drugo-rzędowych czynników.
Y(
s)
s z
1 s z
2 s z
G ( s)
K
...
2
U(
s)
s p1
s a1s
a0
s p
Każda z tych czynników transmitancji (33) dekomponowany jest metodą dekompozycji bezpośredniej
i łączony kaskadowo z sąsiednimi. Kiedy transmitancja wypadkowa zawiera zera lub bieguny
zespolone to transmitancje składowe zawierające te zera lub bieguny powinny być drugiego rzędu.
Poniższy przykład ilustruje tą metodę uzyskiwania równań dynamicznych.
Przykład 9
Dla układu o jednym wejściu i jednym wyjściu opisanego poniższą transmitancją,
2
m
n
(33)
3s
12s
G ( s)
(9.1)
3 2
s 7s
16s
12
wyznacz równania dynamiczne metodą dekompozycji kaskadowej.
Rozwiązanie. W pierwszej kolejności transmitancję opisaną wzorem (9.1) należy przedstawić
w postaci zerowo-biegunowej
3s(
s 4)
G ( s)
(9.2)
2
( s 3)(
s 2)
Uzyskana postać transmitancji (9.2) zapisana zostanie w postaci następujących iloczynów
3 s 4 s
G ( s)
(9.3)
s 2 s 3 s 2
i dla każdego z tych czynników należy znaleźć diagram stanu metodą bezpośrednią i połączyć je
kaskadowo, uzyska się w ten sposób strukturę stanu pokazaną na rysunku 9.1. Na podstawie
diagramu stanu z rysunku 9.1 uzyskuje się następujący zestaw równań stanu będących
równaniami różniczkowymi pierwszego rzędu
u
U(s)
.
x 1
1
s
2
x 1
3
1
s
3
x 2
Rys. 9.1. Diagram stanu utworzony metodą dekompozycji kaskadowej na podstawie transmitancji (9.1)
4
1
s
2
x 3
y
Y(s)

Teoria sterowania Równania dynamiczne
i równanie wyjścia
dx1
( t)
2x1
( t)
u(
t)
dt
dx2
( t)
3x1
( t)
3x2
( t)
(9.4)
dt
dx3
( t)
3x1(
t)
7x
2 ( t)
2x2
( t)
dt
y t)
3x
( t)
7x
( t)
2x
( t)
(9.5)
( 1 2 2
Uzyskane równania stanu zapisane w postaci macierzowo-wektorowej (5.43)
i wyjścia (5.44)
ĆWICZENIA
d
dt
x1
( t)
2
x2
( t)
3
x3
( t)
3
0
3
7
0
x1
( t)
1
0
x2
( t)
0
u(
t)
2
x3
( t)
0
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 17
(9.6)
x1(
t)
y ( t)
[ 3 7 2]
x2
( t)
(9.7)
x ( ) 3 t
C1. Wyznacz transmitancję operatorową pomiędzy G( s)
Y(
s)
U(
s)
dla układów opisanych
następującym zestawem równań dynamicznych
.
1(
1 3
.
2 ( t)
x1(
t)
x2
( t)
x3
.
3(
t)
x2
( t)
x3
( t)
u(
a) x t)
2x
( t)
3x
( t)
u(
t)
x
x
( t)
t)
y( t)
3x1(
t)
x2
( t)
2x3
( t)
.
1(
1 2 3
.
2 ( t)
x1(
t)
x2
( t)
x3(
t)
.
3(
t)
x2
( t)
u(
t)
b) x t)
2x
( t)
5x
( t)
6x
( t)
u(
t)
x u(
t)
x
y( t)
x1(
t)
3x2
( t)
6x3
( t)
.
1(
2 3
.
2 ( t)
x1(
t)
u(
t)
.
3(
t)
5x1(
t)
2x2
( t)
x3
c) x t)
x
( t)
x ( t)
x
x ( t)
u(
t)
y( t)
2x1(
t)
3x2
( t)
5x3(
t)
.
1(
1 2
.
2 ( t)
x1(
t)
x2
( t)
x3
d) x t)
7x
( t)
2x
( t)
u(
t)
x
( t)

Teoria sterowania Równania dynamiczne
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 18
)
(
)
( 2
.
3
t
x
t
x
)
(
3
)
(
)
(
3
)
( 3
2
1
t
x
t
x
t
x
t
y
e) )
(
)
(
2
)
(
4
)
(
4
)
( 3
2
1
.
1
t
u
t
x
t
x
t
x
t
x
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
( 3
2
1
.
2
t
u
t
x
t
x
t
x
t
x
)
(
)
(
)
(
)
( 3
2
.
3
t
u
t
x
t
x
t
x
)
(
2
)
(
)
(
2
)
( 3
2
1
t
x
t
x
t
x
t
y
f) )
(
)
(
2
)
(
)
(
4
)
( 3
2
1
.
1
t
u
t
x
t
x
t
x
t
x
)
(
)
(
)
( 2
1
.
2
t
x
t
x
t
x
)
(
)
(
)
(
)
( 3
2
.
3
t
u
t
x
t
x
t
x
)
(
8
)
(
6
)
(
3
)
( 3
2
1
t
x
t
x
t
x
t
y
g) )
(
)
(
5
)
(
)
(
2
)
( 3
2
1
.
1
t
u
t
x
t
x
t
x
t
x
)
(
)
(
)
(
)
( 3
2
1
.
2
t
x
t
x
t
x
t
x
)
(
)
(
)
(
)
( 3
2
1
.
3
t
x
t
x
t
x
t
x
)
(
5
)
(
3
)
(
2
)
( 3
2
1
t
x
t
x
t
x
t
y
h) )
(
)
(
)
(
2
)
(
)
( 3
2
1
.
1
t
u
t
x
t
x
t
x
t
x
)
(
2
)
(
)
(
)
(
)
( 3
2
1
.
2
t
u
t
x
t
x
t
x
t
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 3
2
1
.
3
t
u
t
x
t
x
t
x
t
x
)
(
3
)
(
)
(
2
)
( 3
2
1
t
x
t
x
t
x
t
y
C2. Dla poniższych równań różniczkowych opisujących układy liniowe stacjonarne, wyznacz
transmitancje operatorowe
a) )
(
2
)
(
)
(
3
)
(
2
)
(
2
2
3
3
t
u
t
y
dt
t
dy
dt
t
y
d
dt
t
y
d
b) )
(
6
)
(
3
)
(
6
)
(
5
)
(
2
)
(
2
2
3
3
t
u
dt
t
du
t
y
dt
t
dy
dt
t
y
d
dt
t
y
d
c)
dt
t
du
t
y
dt
t
dy
dt
t
y
d
dt
t
y
d )
(
5
)
(
5
)
(
)
(
10
)
(
2
2
3
3
d) )
(
36
)
(
19
)
(
3
)
(
12
)
(
7
)
(
2
2
2
2
3
3
t
u
dt
t
du
dt
t
u
d
dt
t
dy
dt
t
y
d
dt
t
y
d
e) )
(
8
)
(
10
)
(
4
)
(
4
)
(
4
)
(
2
2
2
2
3
3
t
u
dt
t
du
dt
t
u
d
dt
t
dy
dt
t
y
d
dt
t
y
d
f) )
(
8
)
(
16
)
(
3
)
(
8
)
(
4
)
(
2
2
2
2
3
3
t
u
dt
t
du
dt
t
u
d
dt
t
dy
dt
t
y
d
dt
t
y
d

Teoria sterowania Równania dynamiczne
3
2
d y(
t)
d y(
t)
dy(
t)
g) 5 3 y(
t)
u(
t)
3
2
dt dt dt
3
2
d y(
t)
d y(
t)
dy(
t)
du(
t)
h) 10 2 y(
t)
2u(
t)
3
2
dt dt dt dt
C3. Dla układów opisanych poniższymi transmitancjami operatorowymi dokonaj dekompozycji
metodą bezpośrednią do postaci kanonicznej sterowalności. Narysuj strukturę (diagram) stanu,
zdefiniuj zmienne stanu x 1 , x 2 , ... od prawej do lewej strony struktury. Zapisz równania
dynamiczne w postaci macierzowej.
a)
b)
c)
d)
e)
G ( s)
s
3
5s
2
1
2
3s
1
4s
10s
8
G(
s)
3 2
s 4s
4s
G ( s)
s
G ( s)
s
G ( s)
s
3
3
3
5s
10s
2s
2
2
2
10s
s 5
3s
1
3s
2
3s
16s
8
f) G(
s)
3 2
s 4s
8s
2
2
2s
1
3s
19s
36
g) G(
s)
3 2
s 7s
12s
h)
G ( s)
s
3
2
3s
6
2s
2
5s
6
C4. Dla transmitancji z zadania C.3 dokonaj dekompozycji metodą bezpośrednią do postaci
kanonicznej obserwowalności. Narysuj strukturę (diagram) stanu, zdefiniuj zmienne stanu x 1 ,
x 2 ,... od lewej do prawej strony struktury. Zapisz równania dynamiczne w postaci macierzowej.
C5. Dla układów dynamicznych liniowych, stacjonarnych opisanych poniższymi transmitancji
dokonaj dekompozycji równoległej do postaci kanonicznej diagonalnej. Narysuj diagram stanu.
Stałe na gałęziach muszą mieć wartości rzeczywiste. Zapisz równania dynamiczne w postaci
macierzowej.
a)
b)
G(
s)
s
G(
s)
s
3
3
24
4s
3s
2
2s
10
2
3s
2s
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 19

Teoria sterowania Równania dynamiczne
c)
d)
e)
2
s 7s
12
G(
s)
3 2
s 4s
4s
G ( s)
s
3
s
2
5s
2
2
s
8s
4
2s
6s
4
G(
s)
3 2
s 2s
2s
5s
10s
5
f) G(
s)
3 2
s 2s
5s
5s
10s
10
g) G(
s)
3 2
s 4s
5s
h)
2
2
2
8s
32s
40
G(
s)
3 2
s 4s
8s
C6. Dla transmitancji z zadania C.5 dokonaj dekompozycji kaskadowej. Narysuj diagram stanu
i zdefiniuj zmienne stanu w kolejności narastającej od lewej strony do prawej. Stałe na gałęziach
muszą mieć wartości rzeczywiste. Zapisz równania dynamiczne w postaci macierzowej.
ODPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ
C1.
C2.
a)
b)
c)
d)
e)
G ( s)
s
3
s
2
2s
2
3s
1
2
2s
1
4s
12s
18
G ( s)
3 2
s 3s
6s
4
2s
7s
14
G ( s)
3 2
s s 6s
1
G ( s)
s
3
2
3s
2
8s
2
4s
6
2
10s
7
2s
22s
15
G ( s)
3 2
s 2s
2s
6
5s
18s
35
f) G ( s)
3 2
s 2s
6s
5
2s
2s
6
g) G ( s)
3 2
s 2s
6s
6
h)
a)
b)
3s
7s
15
G ( s)
3 2
s s s 4
G ( s)
s
G ( s)
s
c) G
( s)
s
3
3
3
2
2
2
2
2
2s
3s
1
3s
6
2
2s
5s
6
5s
10s
2
s 5
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 20

Teoria sterowania Równania dynamiczne
d)
e)
2
3s
19s
36
G(
s)
3 2
s 7s
12s
2
4s
10s
8
G(
s)
3 2
s 4s
4s
2
3s
16s
8
f) G(
s)
3 2
s 4s
8s
1
g) G ( s)
3 2
s 5s
3s
1
3s
2
h) G ( s)
3 2
s 10s
2s
1
C3.
0
a) A
0
1
1
0
3
0
0
1
, B
0
, C [ 1
5
1
0 0]
, D 0
0
b) A
0
0
1
0
4
0
0
1
, B
0
, C [ 8
4
1
10 4]
, D 0
0
c) A
0
5
1
0
1
0
0
1
, B
0
, C [
0
10
1
5 0]
, D 0
0
d) A
0
1
1
0
3
0
0
1
, B
0
, C [ 2
2
1
0 0]
, D 0
0
e) A
0
1
1
0
2
0
0
1
, B
0
, C [ 2
10
1
3 0]
, D 0
0
f) A
0
0
1
0
8
0
0
1
, B
0
, C [
8
4
1
16 3]
, D 0
0
g) A
0
0
1
0
12
0
0
1
, B
0
, C [ 36
7
1
19 3]
, D 0
0
h) A
0
6
1
0
5
0
0
1
, B
0
, C [ 6
2
1
3 0]
, D 0
C4.
a)
b)
0
0 1
A
1 0 3
,
0 1 5
0
0 0
A
1 0 4
,
0 1 4
1
B
0
, C [ 0 0 1]
, D 0
0
8
B
10
, C [ 0 0 1]
, D
0
4
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 21

Teoria sterowania Równania dynamiczne
c)
d)
e)
f)
g)
h)
0
0 5
A
1 0 1
,
0 1 10
0
0 1
A
1 0 3
,
0 1 2
0
0 1
A
1 0 2
,
0 1 10
0
0 0
A
1 0 8
,
0 1 4
0
0 0
A
1 0 12
,
0 1 7
0
0 6
A
1 0 5
,
0 1 2
0
B
5
, C [ 0 0 1]
, D 0
0
2
B
0
, C [ 0 0 1]
, D 0
0
2
B
3
, C [ 0 0 1]
, D 0
0
8
B
16
, C [ 0 0 1]
, D 0
3
36
B
19
, C [ 0 0 1]
, D 0
3
6
B
3
, C [ 0 0 1]
, D 0
0
C5. Można uzyskać inne zestawy współczynników macierzy, które również będą poprawne.
0
0 0
8 12
4
a) G ( s)
; A
s s 1
s 3
0 1
0
,
0 0 3
0
0 0
5 8
3
b) G ( s)
; A
s s 1
s 2
0 1
0
,
0 0 2
0
0 0
3 2
1
c) G ( s)
; A
s s 2
2
( s 2)
0 2 1
,
0 0 2
2 1
6
d) G ( s)
;
s 1
s 2
2
( s 2)
2 2
e) G ( s)
;
s 2
s 2s
2
1 4s
8
f) G ( s)
;
s 2
s 2s
5
0
0 0
A
0 2 1
,
0 0 2
0
0 0
A
0 0 1
,
0 2 2
0
0 0
A
0 0 1
,
0 5 2
1
B
1
, C [ 8 12
4]
, D 0
1
1
B
1
, C [ 5 8
3]
, D 0
1
1
B
0
, C [ 3 2
1]
, D 0
1
1
B
0
, C [ 2 1
6]
, D 0
1
1
B
0
, C [ 2 2 0]
, D 0
0
1
B
0
, C [ 2 8 4]
, D
0
0
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 22

Teoria sterowania Równania dynamiczne
C6.
2 3s
18
g) G ( s)
;
s 2
s 4s
5
5 3s
12
h) G ( s)
;
s 2
s 4s
8
24
a) G ( s)
;
s(
s 1)(
s 3)
2(
s 5)
b) G ( s)
;
s(
s 1)(
s 2)
( s 3)(
s 4)
c) G ( s)
;
s(
s 2)(
s 2)
s(
s 1)
d) G ( s)
;
( s 1)(
s 2)(
s 2)
2(
s 1)(
s 2)
e) G ( s)
2
s(
s 2s
2)
5(
s 1)(
s 1)
f) G ( s)
2
s(
s 2s
5)
5(
s
g) G ( s)
s(
s
5(
s
h) G ( s)
s(
s
Literatura
2
2
2
2
2s
2)
4s
5)
4s
5)
4s
8)
0
0 0
A
0 0 1
,
0 5 4
0
0 0
A
0 0 1
,
0 8 4
1
B
0
, C [ 2 18
3]
, D 0
0
1
B
0
, C [ 2 12 3]
, D 0
0
Dorf R.C., Bishop R.H. Modern Control Systems. Addison-Wesley Longman, 1998.
Hostetter, C.J. Savant, R.T. Stefani R.T. Design of Feedback Control Systems, Saunders College
Publishing, 1989.
Ostatnia aktualizacja: 2012-10-18 M. Tomera 23