Algorytmy i programowanie Kopce i kolejki priorytetowe Kopiec ...

Kopiec
Kopiec:
Algorytmy i programowanie
Kopce i kolejki priorytetowe
• jest to prawie pełne drzewo binarne, to znaczy na przykład drzewo po lewej nie może być
kopcem, podczas gdy po prawej jak najbardziej:
• przechowywany jest w tablicy A [1..n] , której elementami są liczby, dodatkowo kopiec posiada
atrybut heap-size [A] , na przykład powyższy kopiec (drzewko po prawej) ma postać tablicową:
A : 56, 53, 23, 9, 14, 16, 15, 0, 7, 8
i heap-size [A] = 10,
• posiada własność kopca: dla każdego wierzchołka o indeksie i (który nie jest korzeniem -
korzeń ma indeks 1) A [Parent (i)] A [i] , gdzie Parent (i) jest indeksem rodzica węzła o
indeksie i.
Tak się dobrze składa, że drzewo powyżej ma wszystkie wymienione własności więc jest przykładem
kopca.
Poniżej kilka przydatnych funkcji na kopcach:
Parent(i)
return i div 2
Heapify(A, i)
Left(i)
return 2 ∗ i
l ← Left (i)
r ← Right (i)
if (l heap-size [A]) and (A [l] > A [i])
then largest ← l
else largest ← i
if (r heap-size [A]) and (A [r] > A [largest])
then largest ← r
if not (largest = i)
then pomoc ← A [largest]
A [largest] ← A [i]
A [i] ← pomoc
Hepify (A, largest)
BuildHeap(A)
Right(i)
return 2 ∗ i + 1
heap-size [A] ← length [A]
for i ← length [A] div 2 downto 1
do Heapify (A, i)
HeapSort(A)
BuildHeap (A)
for i ← length [A] to 2
do A [1] ↔ A [i]
heap-size [A] ← heap-size [A] − 1
Heapify (A, 1)

Kolejki priorytetowe
Kolejka priorytetowa to zbiór elementów o atrybutach key oraz value, na którym można wykonać
następujące operacje:
a) MaxHeapInsert (A, key) - umieszczenie na kopcu nowego elementu o zadanym kluczu,
b) HeapMaximum (A) - pobranie elementu na szczycie kopca,
c) HeapExtractMaximum (A) - zdjęcie elementu ze szczytu kopca,
d) HeapIncreaseKey (A, i, key) - zwiększenie klucza elementu i do wartości key.
MaxHeapInsert(A, key)
heap-size [A] ← heap-size [A] + 1
A [heap-size [A]] ← −∞
HeapIncreaseKey (A, heap-size [A] , key)
1. Czy ciąg 23, 17, 14, 6, 13, 10, 1, 5, 7, 12 jest kopcem?
HeapMaximum(A)
return A [1]
2. Zasymuluj działanie procedury Heapify (A, 3) dla tablicy A : 27, 17, 3, 16, 13, 10, 1, 5, 7, 12, 4, 8, 9, 0.
3. Zasymuluj działanie procedury HeapSort (A) dla tablicy A : 5, 13, 2, 25, 7, 17, 20, 8, 4.
4. Zaproponuj iteracyjną wersję algorytmu Heapify (A, i) .
5. Napisać w pseudokodzie procedury HeapExtractMaximum (A) i HeapIncreaseKey (A, i, key) .