Laplaceova transformace. - Katedra matematiky FEL ČVUT

tudíž
f(t) = 1 1
4 − 2te−2t − 1
4e−2t , t ≥ 0.
Použijeme linearitu zpětné transformace, vztah F (p + 2) e−2tf(t) a vzorce 1
p 1,
1
p2 t.
Úlohu můžeme řešit také jinak, jestliže použijeme vztah 1
p F (p) t
0 f(u)du.
Je 1
(p+2) 2 te −2t a tedy
1 1
p (p+2) 2 t
0 ue−2udu = − 1
2ue−2u − 1
4e−2u t
0
10. F (p) = p2
(p−2) 3
1 = − 2te−2t − 1
4e−2t + 1
4
, t ≥ 0.
Danou funkci nejprve vyjádříme jako součet parciálních zlomků. Zde můžeme rozklad
získat jednoduchou úpravou. Je
p2 (p−2) 3 = (p2−4p+4)+4p−4 (p−2) 3 = (p−2)2 +4(p−2)+4
(p−2) 3 = 1 4
p−2 + (p−2) 2 + 4
(p−2) 3 tudíž
,
f(t) = e 2t (1 + 4t + 2t 2 ), t ≥ 0.
Použijeme linearitu zpětné transformace, vztah F (p − 2) e2tf(t) a vzorce 1 1,
1
p2 2 t, p3 t2 .
11. F (p) = p−5
p 2 +2p+10
Polynom ve jmenovateli nemá reálné kořeny a proto danou funkci upravíme takto:
p−5
p 2 +2p+10 =
Je pak
p−5
(p2 (p+1)−6
= +2p+1)+9 (p+1) 2 p+1
= +9 (p+1) 2 +9
f(t) = e −t (cos 3t − 2 sin 3t), t ≥ 0,
3 − 2 (p+1) 2 +9 .
jestliže použijeme vztah F (p + 1) e −t f(t) a vzorce
12. F (p) = p+3
p(p2 1 + +1) (p−2) 3
První ze dvou zlomků rozdělíme na součet a získáme:
p+3
p(p2 1 = +1) p2 +1
Odtud plyne, že
+ 1
f(t) = sin t + 3 t
0
3
p p2 +1
+ 1
(p−2) 3 .
p
p2 +9 cos 3t, 3
p2 sin 3t.
+9
sin udu + 1
2 t2 e 2t = sin t + 3 − 3 cos t + 1
2 t2 e 2t , t ≥ 0.
1
Použijeme linearitu transformace a vzorce p2 1
sin t,
+1
Neřešené úlohy na zpětnou Laplaceovu transformaci.
Určete předmět f(t) k racionální funkci F (p).
1. F (p) = p2 +1
p 3 +3p 2 +2p
2. F (p) = 1
p(p+3) 2
3. F (p) = 1
(p−1) 2 (p+2)
4. F (p) = 1
p 2 (p 2 +1)
5. F (p) = 1
(p+1) 3
6. F (p) = 1
p 2 +4p+5
7. F (p) = 4p−3
p 2 −2p+5
[f(t) = 1
2
[f(t) = 1
9
(p−2) 3 1
2t2e2t .
+ 5
2 e−2t − 2e −t , t ≥ 0]
− 1
3 te−3t − 1
9 e−3t , t ≥ 0]
[f(t) = 1
3 tet − 1
9 et + 1
9 e−2t , t ≥ 0]
[f(t) = t − sin t, t ≥ 0]
[f(t) = 1
2 t2 e −t , t ≥ 0]
[f(t) = e −2t sin t, t ≥ 0]
[f(t) = et (4 cos 2t + 1
2 sin 2t), t ≥ 0]
p