Laplaceova transformace. - Katedra matematiky FEL ČVUT

Přehled základních vzorců:
Linearita transformací.
n
n
L { aifi(t)} = aiL {fi(t)}, L −1 n
{ aiFi(p)} =
i=1
i=1
Základní vztahy transformace.
Označme L {f(t)} = F (p).
Předmět Obraz
f(t) F (p)
f(t)eat F (p −
a)
i=1
n
aiL −1 {Fi(p)}.
f(at)
1
aF f
p
a
′ (t) pF (p) − f(0+)
f ′′ (t) p2F (p) − pf(0+) − f ′ (0+)
f (n) (t) pnF (p) − [pn−1f(0+) + pn−2f ′ (0+) + . . . + f (n−1) (0+)]
tf(t) −F ′ (p)
tnf(t) (−1) nF (n) 1
t
(p)
f(t)
t
0
∞
p F (q)dq
f(z)dz
1
pF (p)
Obraz konvoluce.
Konvolucí funkcí f(t) a g(t) nazýváme funkci
t
t
(f ∗ g)(t) = (g ∗ f)(t) = f(t − u)g(u) du = f(u)g(t − u) du
a označíme-li L {f(t)} = F (p) a L {g(t)} = G(p), pak
Tabulka některých obrazů.
0
L {(f ∗ g)(t)} = L {(g ∗ f)(t)} = F (p)G(p).
0
i=1
Předmět Obraz Předmět Obraz
1
1
p sin ωt ω
p2 +ω2 t
1
p2 cos (ωt)
p
p2 +ω2 t2 2
p3 sinh ωt ω
p2−ω2 tn , n ∈ N n!
pn+1 cosh ωt
p
p2−ω2 eat 1
t sin ωt
2pω
p−a
(p2 +ω2 ) 2
teat 1
(p−a) 2
p
t cos ωt
2−ω2 (p2 +ω2 ) 2
t2eat 2
(p−a) 3 eat ω
sin (ωt) (p−a) 2 +ω2 tneat n!
, n ∈ N (p−a) n+1 eat ω
cos (ωt) (p−a) 2 +ω2 Řešené úlohy na přímou Laplaceovu transformaci.
Pomocí základních vztahů transformace a s využitím uvedených obrazů některých funkcí
určete obraz F (p) k předmětu f(t).