Laplaceova transformace. - Katedra matematiky FEL ČVUT

8. F (p) = 2p+3
p2 +4
9. F (p) = 3p+4
p2 +2p+10
10. F (p) = 3p−5
p2 +2p+5
6p+3
11. F (p) =
p 3 +5p 2 +9p+5
4p−3
12. F (p) = p2 (p+1) 2 (p+2)
13. F (p) = 2p+3
(p2 +4) 2
14. F (p) = 2p2 −4p+5
p 3 +7p 2 +9p+8
15. F (p) = 4p+5
p 2 +6p+13
16. F (p) = 3p2 −6p+2
(p+1) 3 (p+3)
17. F (p) = 2p2−3p+5 p(p+1)(p+3)
4p+6
18. F (p) = p3 +7p2 +10p
19. F (p) = 5p−2
p 2 +4p+5
20. F (p) = 2p+3
(p+1) 3
21. F (p) = p+3
p 2 (p 2 +1)
22. F (p) = 5p2 +10
p(p 2 −2p+5)
23. F (p) = p2 +p−4
(p+4) 2
24. F (p) = 1
p 2 +4p+3
[f(t) = 2 cos 2t + 3
2 sin 2t, t ≥ 0]
[f(t) = e−t (3 cos 3t + 1
3
sin 3t), t ≥ 0]
[f(t) = e−t (3 cos 2t − 4 sin 2t), t ≥ 0]
[f(t) = − 3
2 e−t + 3
2 e−2t (cos t + 5 sin t), t ≥ 0]
[f(t) = − 3
2
[f(t) = − 3
8
t + 23
4 − 7te−t − 3e −t − 11
4 e−2t , t ≥ 0]
t cos 2t + 1
2
t sin 2t + 3
16
[f(t) = 11
3 e−t − 21
2 e−2t + 43
6 e−4t , t ≥ 0]
[f(t) = e −3t (4 cos 2t − 7
2
sin 2t, t ≥ 0]
sin 2t, t ≥ 0]
[f(t) = 11
2 t2 e −t − 35
4 te−t + 47
8 e−t − 47
8 e−3t , t ≥ 0]
[f(t) = 5
3 − 5e−t + 16
3 e−3t , t ≥ 0]
[f(t) = 3
5
+ 1
3 e−2t − 14
15 e−5t , t ≥ 0]
[f(t) = e −2t (5 cos t − 12 sin t), t ≥ 0]
[f(t) = ( 1
2 t2 + 2t)e −t , t ≥ 0]
[f(t) = 3t + 1 − cos t − 3 sin t, t ≥ 0]
[f(t) = 2 + et (3 cos 2t + 7
2 sin 2t), t ≥ 0]
[f(t) = 1
2
3. Laplaceova transformace impulsu.
t sin 2t + t cos 2t, t ≥ 0]
[f(t) = 1
2 e−t − 1
2 e−3t , t ≥ 0]
Při hledání obrazu funkce f(t), která je definována na omezeném intervalu nebo je dána
několika vzorci na různých intervalech ze svého definičního oboru používáme při výpočtu přímo
vzorec pro obraz a nebo používáme tvrzení o obrazu posunuté funkce. Toto tvrzení se nazývá
věta o translaci.
Označíme symbolem 1(t) funkci jednotkový skok, která je definována předpisem
0, pro t < 0,
1(t) =
1, pro t ≥ 0
a jejíž průběh je znázorněn na obrázku 1.
1
f(t)
1(t)
t
1
f(t)
a b
Obr.1. Jednotkový skok Obr. 2. Impuls
1(t−a)−1(t−b)
Věta o translaci. Je-li f(t) F (p), pak f(t − a)1(t − a) e −ap F (p) pro a > 0.
Ukážeme na příkladech výpočet obrazu funkcí popsaného typu. Připomeňme, že stále předpokládáme,
že uvažované předměty jsou definovány pouze pro nezápornou hodnotu argumentu.
t