Poziom rozszerzony Zadanie 1 (4pkt) RozwiąŜ ... - Gazeta.pl

1
a ⋅ DS
2
a z niej
1 a
= ⋅ CS ⋅ ,
2 2 sin α
CS = 2 ⋅ DS ⋅ sin α .
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie DCS otrzymujemy
2
2
2
2
( ) 2 a
DS = CS − CD = CS − .
2
Stąd i poprzedniej równości mamy
2
2 1 2
2 2 1 2
DS = ( 2 ⋅ DS ⋅ sin α ) − a = 4 ⋅ DS ⋅ sin α − a
4
4
Z tego równania obliczamy teraz kwadrat długości odcinka DS
2 2
2 1 2
4 ⋅ DS ⋅sin
α − DS = a
4
2 2 1 2
DS ( 4sin α −1)
= a
4
2
2 a
DS =
2
4(
4sin
α −1)
Spodek O wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego dzieli wysokość podstawy
w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka. Stąd i ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego
otrzymujemy
1 a 3 a 3
OD = ⋅ = .
3 2 6
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DSO obliczamy teraz wysokość ostrosłupa
h =
2 2
DS − OD =
2
a ⎛ a 3 ⎞
− ⎜ ⎟
2
4(
4sin
α −1)
⎜ 6 ⎟
⎝ ⎠
=
a ⋅cosα
.
2
3 4sin
−1
Wykorzystując wzór na pole trójkąta równobocznego obliczamy objętość V ostrosłupa
2
3
1 1 a 3 a ⋅cosα
a ⋅cosα
V = PABC
⋅ h == ⋅
=
.
3 3 4
2
2
3 4sin
−1
12 4sin
−1
Odpowiedź:
3
a ⋅cosα Objętość ostrosłupa jest równa
.
2
12 4sin
−1
2