Poziom rozszerzony Zadanie 1 (4pkt) RozwiąŜ ... - Gazeta.pl

Zadanie4 (4pkt)
3 2
Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W ( x)
= x + ax + bx + 1 wiedząc, Ŝe
W ( 2 ) = 7 oraz, Ŝe reszta z dzielenia W ( x)
przez ( x − 3)
jest równa 10.
Szkic rozwiązania:
W ( 2)
= 7
8 + 4a
+ 2b
+ 1 = 7
4a + 2b
= −2
2a + b = −1
Reszta z dzielenia W (x)
przez ( x − 3)
jest równa 10, więc
W ( 3)
= 10
27 + 9a
+ 3b
+ 1 = 10
9a + 3b
= −18
3a + b = −6
Oba warunki mają być spełnione jednocześnie, więc uzyskujemy układ równań
⎧2a
+ b = −1
⎨
⎩3a
+ b = −6
Układ ten spełniony jest wtedy i tylko wtedy, gdy
⎧a
= −5
⎨
⎩ b = 9
Odpowiedź:
Wielomian W (x)
spełnia warunki zadania dla a = −5
i b = 9 .
Zadanie 5. (5 pkt)
O liczbach a, b, c wiemy, Ŝe ciąg ( a , b,
c)
jest arytmetyczny i a + c = 10 , zaś ciąg
( a + 1 , b + 4,
c + 19)
jest geometryczny. Wyznacz te liczby.
Szkic rozwiązania:
PoniewaŜ ciąg ( a , b,
c)
jest arytmetyczny, więc z własności ciągu arytmetycznego
a + c
10
otrzymujemy równanie b = . Stąd i tego, Ŝe a + c = 10 obliczamy b = = 5 .
2
2
Wykorzystując własność ciągu geometrycznego zapisujemy równanie
( 4) ( 1)(
19)
2
b + = a + c + ,
które po uwzględnieniu tego, Ŝe b = 5 i c = 10 − a zapisujemy w postaci
2 ( 5 + 4)
= ( a + 1)(
10 − a + 19)
, czyli 81 = ( a + 1)(
29 − a)
.
Stąd dostajemy kolejno
2
81= 29a
− a + 29−
a
2
a − 28a
+ 52 = 0
2
a − 2a
− 26a
+ 52 = 0
a ( a − 2 ) − 26(
a − 2)
= 0
( a − 2 )( a − 26)
= 0
a = 2 lub a
= 26