Poziom rozszerzony Zadanie 1 (4pkt) RozwiąŜ ... - Gazeta.pl

Obliczamy wysokość trójkąta ABC poprowadzoną z wierzchołka A korzystając ze wzoru na
odległość punktu od prostej i otrzymujemy:
h = 3 2.
Korzystając z faktu, Ŝe pole trójkąta wynosi 15, znajdujemy długość boku BC:
1
15 = ⋅3
2⋅
| BC |
2
| BC | = 5 2 .
PoniewaŜ boki AC i BC mają tę samą długość, więc punkt C leŜy na przecięciu okręgu
o środku w punkcie A i promieniu 5 2 oraz prostej o równaniu y = x + 1,
zatem jego
współrzędne spełniają układ równań
⎪⎧
2
2
2
( x + 2)
+ ( y − 5)
= ( 5 2)
⎨
⎪⎩ y = x + 1
,
skąd otrzymujemy kolejno
⎧ x = y + 1
⎨ 2
⎩2y
− 8y
− 24 = 0
⎧ x = y + 1
⎨
⎩(
y + 2)(
y − 6)
= 0
⎧x
= −3
⎧x
= 5
⎨ lub ⎨ .
⎩y
= −2
⎩y
= 6
Odpowiedź:
Wierzchołek C ma współrzędne ( − 3, −2)
lub ( 5 , 6)
.
Zadanie 8. (5 pkt)
1
Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji f ( x)
= . Przeprowadzono prostą
2
x
równoległą do osi Ox, która przecięła wykres tej funkcji w punktach A i B. Niech C = ( 3, − 1)
.
WykaŜ, Ŝe pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2.
Szkic rozwiązania:
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
y
A B
Niech B będzie punktem przecięcia prostej i wykresu funkcji f leŜącym w I ćwiartce układu
⎛ 1 ⎞
współrzędnych. Wówczas B = ⎜ m, 2 ⎟
⎝ m ⎠ . PoniewaŜ f ( − x) =
1
2
−x
1
= = f 2 ( x)
dla kaŜdej
x
liczby rzeczywistej x ≠ 0 , więc wykres funkcji f jest figurą symetryczną względem osi Oy
C
x
( )