Poziom rozszerzony Zadanie 1 (4pkt) RozwiąŜ ... - Gazeta.pl

Szkic rozwiązania:
2
2cos
x − 5sin
x − 4 = 0
Z jedynki trygonometrycznej mamy
2
2
sin x + cos x = 1
Zatem
2
2
cos x = 1 − sin x
Wstawiając do równania uzyskujemy
2
2 ⋅ ( 1−
sin x ) − 5sin
x − 4 = 0
2
2 − 2sin
x − 5sin
x − 4 = 0
2
− 2sin
x − 5sin
x − 2 = 0 | ⋅ ( −1)
2
2sin
x + 5sin
x + 2 = 0
Stosujemy podstawienie sin x = t , gdzie t ∈< −1;
1 >
Równanie przyjmuje wówczas postać:
2 5 2 0
2
t + t + =
Δ =
5 2
− 4⋅
2⋅
2 = 9
Δ = 3
− 5 − 3 − 5 + 3
t = lub t =
4
4
1
t = −2
lub t = −
2
t = −2∉
−1,
1 , więc to rozwiązanie równania 2 5 2 0
2
t + t + = nie spełnia warunków zadania.
1
t = − ∈ −1,
1 .
2
Otrzymaliśmy równanie
1
sin x = −
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-1.5
y
π/2 π 3π/2 2π
W przedziale 0, 2π
równanie to ma dwa rozwiązania:
7π 11π
x = lub x =
6 6
Odpowiedź:
f(x)=sin(x)
f(x)=-0.5
x