klucz odpowiedzi do materiału ćwiczeniowego przygotowanego przez

Zadanie 27. (2 pkt)
Okręgowa Komisja Egzaminacyjna w Poznaniu
Model oceniania
Materiał ćwiczeniowy z matematyki - poziom podstawowy
WykaŜ, Ŝe róŜnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną przez 4.
Rozwiązanie
Wprowadzamy oznaczenia: 2n, 2n+2 – kolejne liczby parzyste
2 2 2
2
2n
+ 2 − 2n
= 4n
+ 8n
+ 4 − 4n
= 8n
+ 4 = 4 2n
+ 1
( ) ( ) ( )
Zatem róŜnica ( 2
2
+ 2)
2
− ( 2n)
= 4(
2n
+ 1)
Schemat oceniania
n jest liczbą podzielną przez 4.
Zdający otrzymuje .................................................................................................................... 1 pkt
gdy poprawnie zapisze róŜnicę kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych i poprawnie
2 2 2
2
zastosuje wzór skróconego mnoŜenia: ( 2n + 2)
− ( 2n)
= 4n
+ 8n
+ 4 − 4n
.
Zdający otrzymuje .................................................................................................................... 2 pkt
gdy wykaŜe, Ŝe róŜnica kwadratów dwóch kolejnych liczb parzystych jest liczbą podzielną
2 2
2n
+ 2 − 2n
= 4 2n
+ 1 .
przez 4: ( ) ( ) ( )
Zadanie 28. (2 pkt)
2
Proste o równaniach y = − 9x −1
i y = a x + 5 są prostopadłe. Wyznacz liczbę a.
Rozwiązanie
Proste o równaniach
2
y = − 9x −1
i y = a x + 5 są prostopadłe, zatem ich współczynniki
kierunkowe spełniają warunek a ⋅ a = −1.
PoniewaŜ a = −9,
1
2
Stąd − 9 ⋅ a = −1
2 −1
a =
− 9
2 1
a =
9
1 1
Zatem a = lub a = − .
3 3
Schemat oceniania
1
2
a 2 = a , to
2
2
1 ⋅ a2
= −9
a .
a ⋅
Zdający otrzymuje .................................................................................................................... 1 pkt
2
2 1
gdy poprawnie zapisze warunek prostopadłości prostych: − 9 ⋅ a = −1
lub a = .
9
Zdający otrzymuje .................................................................................................................... 2 pkt
1 1
gdy obliczy i poda obie wartości a: , − .
3 3
9