Ólínuleg bestun (REI202M) Heimadæmi 3

Ólínuleg bestun (REI202M)
Heimadæmi 3
Alexander Jensen Hjálmarsson
Einar Bragi Árnason
27.01.2012

Ólínuleg bestun Heimadæmi 3 27.01.2012
Dæmi 1
Sjáum að ákvörðunarbreyturnar eru xi og yi. Setjum upp bestunarlíkan:
Skorðurnar:
Dæmi 2
a)
min
Byrjum á að reikna stigulinn:
Finnum h:
∇g(x) =
4
i=1
(xi − x0) 2 + (yi − y 2 )
(x1 − 1) 2 + (y1 − 4) 2 = 4
(x2 − 9) 2 + (y2 − 5) 2 = 1
2 ≤ x3 ≤ 4
−1 ≤ y3 ≤ −3
6 ≤ x4 ≤ 8
−2 ≤ y4 ≤ 2
∂g(x)
∂x1
∂g(x)
∂x2
h = ∇g(x0) =
2x1 − x2 − 1
=
2x2 − x1
−1
3
Vitum að við finnum φ(α) með jöfnunni: φ(α) = g(x0 + αh)
Stingum inn í jöfnuna:
b)
φ(α) = g([1, 2] T − α[−1, 3] T ) = 13α 2 − 10α + 2
Þurfum að byrja á að diffra φ(α):
Finna þá y(α):
φ ′ (α) = h T ∇g(x0 + αh)
y(α) = φ(0) + β1φ ′ ((0)α = 2 − 2α
2

Ólínuleg bestun Heimadæmi 3 27.01.2012
c)
d)
Skilyrði 1:
φ(0, 5) = 0, 25
λ(0, 5) = 2 + (0, 2)(−10)(0, 5) = 1
φ(0, 5) < λ(0, 5) → 0, 25 < 1
Þannig við sjáum að skilyrði 1 er uppfyllt.
Skilyrði 2:
φ ′ (0, 5) = 3
φ ′ (0) = −10
φ ′ (0, 5) ≥ (0, 5)(−10) → 0, 5 ≥ −5
Sjáum því að bæði skilyrði 1 og 2 eru uppfyllt.
Dæmi 3
a)
Byrjum á að reikna stigulinn og hessian fylkið:
∂f(x)
∇f(x) =
3 x1 − 7x
=
2 1 + 12x1
∂x1
∂f(x)
∂x2
3
x2

Ólínuleg bestun Heimadæmi 3 27.01.2012
∇ 2 f(x) =
∂ 2 f(x)
∂x1∂x1
∂ 2 f(x)
∂x2∂x1
∂ 2 f(x)
∂x1∂x2
∂ 2 f(x)
∂x2∂x2
=
3x 2 1 − 14x1 + 12 0
0 1
Stingum núllpunktinum inn í ∇2f(x0) og fáum:
∇ 2 f(x0) = ∇ 2
−4
f(2, 1) =
0
0
1
Þá getum við fundið h með því að stinga inn í jöfnuna:
Fáum h1 = 1 og h2 = − 1
2 .
∇ 2 f(x)h = −∇f(x)
Reiknum x1 = x0 + h = [2, 1] T + [1, − 1
2 ]T = [3, 1
2 ]T
Stingum x1 inn í stigulinn:
∇f(x1) = [0, 1
2 ]T
Sjáum greinilega að þetta er ekki hvarfpunktur þar sem þetta er ekki [0,0] T .
b)
Skrifuðum forrit í Matlab til þess að ýtra:
1 x = [ 2 ] ’ ;
2 x1 = 2 ;
3 eps = 1 ;
4 k = 1 ;
5
6 while k ~= 500
7
8 alpha = 1/(2^( k +1));
9 x1 = x ;
10 g r a d f = [ x ] ;
11 s t e f n a = −g r a d f ;
12
13 x = x1+alpha ∗ s t e f n a ;
14
15
16 k = k+1;
17
18 end
Ef við keyrum forritið má sjá að upp úr ítrun 10 fer gildið okkar að festast í
kringum ≈ 1, 55 þrátt fyrir að núllstöðin sé 0.
4

Ólínuleg bestun Heimadæmi 3 27.01.2012
Dæmi 4
Löguðum sýnidæmið úr qclinsea.m frá Kristjáni að okkar þörfum:
1 % AN EXAMPLE (MINIMIZE ROSENBROCK’ S
2 % FUNCTION WITH THE STEEPEST DESCENT METHOD)
3 function hd34
4 x = [ −3; 3 ] ;
5 opts . sigma = 0 . 1 ;
6 [ fx , gx ] = q c l i n s e a ( ’ i n i t ’ , @rosbrk , x , opts ) ;
7 k = 0 ;
8 i = 2 ;
9 while norm( gx ) > 1e−3
10 s = −gx ;
11
12 [ fa , ga , n i f g , alpha ] = q c l i n s e a ( x , s , fx , gx ) ;
13
14 i f rem( k,2)==0 %Oddatoludot
15 x ( 2 ) = x ( 2 ) + alpha ∗ s ( 2 ) ;
16 i = i −1;
17 else
18 x ( 1 ) = x ( 1 ) + alpha ∗ s ( 1 ) ;
19 i = i +1;
20 end
21
22 x
23
24 f x = f a ;
25 gx = ga ;
26 k = k+1;
27
28 end
29 f p r i n t f ( ’ S o l u t i o n : ␣x1=%.5 f ␣x2=%.5f ,
30 ␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣␣ ␣␣ ␣␣ n i t e r=%d␣ nf=%d␣ng=%d\n ’ , x , n i f g )
31 end
32
33 function [ f , g ] = r o s b r k ( x )
34 f = x (1).^2+ x ( 2 ) . ^ 2 ;
35 i f nargout > 1
36 g ( 1 , 1 ) = 2∗x ( 1 ) ;
37 g ( 2 , 1 ) = 2∗x ( 2 ) ;
38 end
39 end
Settum inn if setningu í línum 14-20 sem sá til þess að við héldum annari
breytunni fastri í hverri ítrun. Forritið að ofan er fyrir fallið f(x) = x 2 1 + x 2 2, en
fyrir b-liðinn notum við sama forrit nema breytum fallinu og stiglinum í línum
33-37.
Með notkun forritsins fundum gekk okkur ágætlega að finna núllstöð á fallinu
í b-lið en virkar mjög illa fyrir fallið í a-lið. Þetta tengist því að α gildið
okkar og stöðvunar skilyrðið gera það að verkum að það hættir eftir eina ítrun.
Þegar við breyttum α gildinu í fasta (t.d. 0,2) og ítruðum í 1000 skipti komumst
við mjög nálægt lággildi.
5