Dynamika - wersja komputerowa 16

⋅
⋅
⋅
⋅
PROJEKT 1 – DYNAMIKA RAM – WERSJA KOMPUTEROWA 1
1.
Zadanie:
PROJEKT 1 – DYNAMIKA RAM – WERSJA KOMPUTEROWA
EI 2
0,4
m,Io
EI 1
0,4
2,0
EI 1
EI 2
3,0
5,0 4,0
Rys. 1.1. Zadana rama
⋅
Pręt
długość L
[m]
Moduł spręŜystości E
[Pa]
Wskaźnik wytrzymałości I
[ m4
]
Pole powierzchni A
[ m2
]
Masa
[kg/m]
1 ⋅
9
2 ⋅
9
3 ⋅
9
4 ⋅
9
−8
−8
−8
−8
⋅
⋅
−4 −4
−4
⋅
I0= ⋅
4= m4
m2
m = = kg /m2
A
⋅
I m =⋅I0= ⋅ = kgm2
Dynamika-ujęcie komputerowe 1/12
A=
=

PROJEKT 1 – DYNAMIKA RAM – WERSJA KOMPUTEROWA 2
[ K ]⋅[q][C ]⋅[q.][M ]⋅[q..]=[ P]
[ K ]⋅[q][M ]⋅[q..]=[ ]
q=q0⋅
q.=−q0⋅⋅
q.=−q0⋅2⋅
t
t
t
[ K ]−⋅[M ]⋅[q0]=[ ]
=2
3
2
1
y
EI 2
1
x
GUW
6
4
240 kg
5
2
9
EI 1
7 EI 2
3 EI 1
8
4
15
14
13
2,0
3,0
12
10
5,0 11 4,0
Rys. 1.2. Stopnie swobody dynamicznej układu
Dynamika-ujęcie komputerowe 2/12

PROJEKT 1 – DYNAMIKA RAM – WERSJA KOMPUTEROWA 3
~
x
LUW
~
~
~
~
~
y
~
1
~
~
~
~
~
~ ~
~
y
~
LUW 2
x
~
~
3
~
y
LUW x
~
~
~
~
~
x
LUW
~
~
~
~
~
~
y
~
4
~
Rys. 1.3. Lokalne przemieszczenia węzłowe
~
[ K e1 ]=[ K e1 ]
~
[ K e2 ]
= o Dynamika-ujęcie komputerowe 3/12

PROJEKT 1 – DYNAMIKA RAM – WERSJA KOMPUTEROWA 4
Zgodnie z prawem transformacji:
Zatem: [ K e2 ]
[ K e ]=[T ] T ~
⋅K
e
⋅[T ] (1.5)
6580500 0 -6580500 -6580500 0 -6580500
0 343375000 0 0 -343375000 0
-6580500 0 8774000 6580500 0 4387000
-6580500 0 6580500 6580500 0 6580500
0 -343375000 0 0 343375000 0
-6580500 0 4387000 6580500 0 8774000
~
c) pręt 3 [ K e3 ]
228916666,67 0 0 -228916666,67 0 0
0 1949777,78 2924666,67 0 -1949777,78 2924666,67
0 2924666,67 5849333,33 0 -2924666,67 2924666,67
-228916666,67 0 0 228916666,67 0 0
0 -1949777,78 -2924666,67 0 1949777,78 -2924666,67
0 2924666,67 2924666,67 0 -2924666,67 5849333,33
[T]
0 1 0 0 0 0
-1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 1
Jak uprzednio z prawa transformacji 1.5
[ K e3 ]
d) pręt 4
1949777,78 0 -2924666,67 -1949777,78 0 -2924666,67
0 228916666,67 0 0 -228916666,67 0
-2924666,67 0 5849333,33 2924666,67 0 2924666,67
-1949777,78 0 2924666,67 1949777,78 0 2924666,67
0 -228916666,67 0 0 228916666,67 0
-2924666,67 0 2924666,67 2924666,67 0 5849333,33
~
[ K e4 ]=[ K e4 ]
202950000 0 0 -202950000 0 0
0 1176187,5 2352375 0 -1176187,5 2352375
0 2352375 6273000 0 -2352375 3136500
-202950000 0 0 202950000 0 0
0 -1176187,5 -2352375 0 1176187,5 -2352375
0 2352375 3136500 0 -2352375 6273000
Macierze mas poszczególnych prętów w układach lokalnych i globalnych mają postać:
a) pręt 1
~
[M e1 ]=[M e1 ]
51,83 0 0 25,92 0 0
0 36,65 0 0 21,66 -30,54
0 0 0 0 0 0
25,92 0 0 51,83 0 0
0 21,66 0 0 75,53 -66,64
0 -30,54 0 0 -66,64 74,05
Anna Zielona Dynamika-ujęcie komputerowe 4/12

PROJEKT 1 – DYNAMIKA RAM – WERSJA KOMPUTEROWA 5
b) pręt 2
~
[M e2 ]
17,53 0 0 8,77 0 0
0 19,54 5,51 0 6,76 -3,26
0 5,51 2 0 3,26 -1,5
8,77 0 0 17,53 0 0
0 6,76 3,26 0 19,54 -5,51
0 -3,26 -1,5 0 -5,51 2
=90 o [T]
0 1 0 0 0 0
-1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 1
Z prawa transformacji 1.5 otrzymujemy:
[M e2 ]
19,54 0 -5,51 6,76 0 3,26
0 17,53 0 0 8,77 0
-5,51 0 2 -3,26 0 -1,5
6,76 0 -3,26 19,54 0 5,51
0 8,77 0 0 17,53 0
3,26 0 -1,5 5,51 0 2
~
c) pręt 3 [M e3 ]
26,3 0 0 13,15 0 0
0 29,31 12,4 0 10,14 -7,33
0 12,4 6,76 0 7,33 -5,07
13,15 0 0 26,3 0 0
0 10,14 7,33 0 29,31 -12,4
0 -7,33 -5,07 0 -12,4 6,76
[T]
0 1 0 0 0 0
-1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 1
Jak uprzednio korzystamy z prawa transformacji 1.5
[M e3 ]
29,31 0 -12,4 10,14 0 7,33
0 26,3 0 0 13,15 0
-12,4 0 6,76 -7,33 0 -5,07
10,14 0 -7,33 29,31 0 12,4
0 13,15 0 0 26,3 0
7,33 0 -5,07 12,4 0 6,76
Anna Zielona Dynamika-ujęcie komputerowe 5/12

PROJEKT 1 – DYNAMIKA RAM – WERSJA KOMPUTEROWA 6
~
d) pręt 4 [M e4 ]=[M e4 ]
41,47 0 0 20,73 0 0
0 46,21 26,06 0 15,99 -15,4
0 26,06 18,96 0 15,4 -14,22
20,73 0 0 41,47 0 0
0 15,99 15,4 0 46,21 -26,06
0 -15,4 -14,22 0 -26,06 18,96
Tabela powiązań dla zadanego układu ma postać:
pręt
Nr przemieszczenia w układzie lokalnym
1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 4 5 6 7 8 9
3 7 8 9 10 11 12
4 7 8 9 13 14 15
Po wykonaniu agregacji otrzymujemy globalną macierz sztywności w postaci:
[ K ]
162360000 0 0 -162360000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 150552 0 0 -150552 752760 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-162360000 0 0 168940500 0 -6580500 -6580500 0 -6580500 0 0 0 0 0 0
0 -150552 0 0 343525552 -752760 0 -343375000 0 0 0 0 0 0 0
0 752760 0 -6580500 -752760 12537800 6580500 0 4387000 0 0 0 0 0 0
0 0 0 -6580500 0 6580500 211480277,78 0 3655833,33 -1949777,78 0 -2924666,67 -202950000 0 0
0 0 0 0 -343375000 0 0 573467854,17 2352375 0 -228916666,67 0 0 -1176187,5 2352375
0 0 0 -6580500 0 4387000 3655833,33 2352375 20896333,33 2924666,67 0 2924666,67 0 -2352375 3136500
0 0 0 0 0 0 -1949777,78 0 2924666,67 1949777,78 0 2924666,67 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 -228916666,67 0 0 228916666,67 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -2924666,67 0 2924666,67 2924666,67 0 5849333,33 0 0 0
0 0 0 0 0 0 -202950000 0 0 0 0 0 202950000 0 0
0 0 0 0 0 0 0 -1176187,5 -2352375 0 0 0 0 1176187,5 -2352375
0 0 0 0 0 0 0 2352375 3136500 0 0 0 0 -2352375 6273000
Oraz globalną macierz mas w postaci: [M ]
51,83 0 0 25,92 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 36,65 0 0 21,66 -30,54 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
25,92 0 0 311,37 0 -5,51 6,76 0 3,26 0 0 0 0 0 0
0 21,66 0 0 333,06 -66,64 0 8,77 0 0 0 0 0 0 0
0 -30,54 0 -5,51 -66,64 82,45143 -3,26 0 -1,5 0 0 0 0 0 0
0 0 0 6,76 0 -3,26 90,31 0 -6,89 10,14 0 7,33 20,73 0 0
0 0 0 0 8,77 0 0 90,04 26,06 0 13,15 0 0 15,99 -15,4
0 0 0 3,26 0 -1,5 -6,89 26,06 27,72 -7,33 0 -5,07 0 15,4 -14,22
0 0 0 0 0 0 10,14 0 -7,33 29,31 0 12,4 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 13,15 0 0 26,3 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 7,33 0 -5,07 12,4 0 6,76 0 0 0
0 0 0 0 0 0 20,73 0 0 0 0 0 41,47 0 0
0 0 0 0 0 0 0 15,99 15,4 0 0 0 0 46,21 -26,06
0 0 0 0 0 0 0 -15,4 -14,22 0 0 0 0 -26,06 18,96
Uwaga: wartości w komórkach M 44 i M 55 oprócz składowych z elementarnych macierzy mas
składają się ponadto z wartości masy skupionej m=240 kg . W komórce M 66 dodano natomiast
wartość masowego momentu bezwładności I m
=6,4 kgm 2
Po wykonaniu agregacji macierzy [K] i [M] naleŜy uwzględnić warunki brzegowe:
q 2 =q 10 =q 11 =q 12 =q 13 =q 14 =q 15 ( zerowe przemieszczenia w miejscach podpór)
q 3 =0 (redukcja statyczna)
W wyniku otrzymamy macierz sztywności i macierz mas jak niŜej:
Anna Zielona Dynamika-ujęcie komputerowe 6/12

-
v~
x
q~3
q~5
q~4
N 4 x~
q~6
PROJEKT 1 – DYNAMIKA RAM – WERSJA KOMPUTEROWA 7
[K]
162360000 -162360000 0 0 0 0 0
-162360000 168940500 0 -6580500 -6580500 0 -6580500
0 0 343525552 -752760 0 -343375000 0
0 -6580500 -752760 12537800 6580500 0 4387000
0 -6580500 0 6580500 211480277,78 0 3655833,33
0 0 -343375000 0 0 573467854,17 2352375
0 -6580500 0 4387000 3655833,33 2352375 20896333,33
[M]
51,83333 25,91667 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000
25,91667 311,37048 0,00000 -5,51048 6,76286 0,00000 3,25619
0,00000 0,00000 333,06190 -66,64286 0,00000 8,76667 0,00000
0,00000 -5,51048 -66,64286 82,45143 -3,25619 0,00000 -1,50286
0,00000 6,76286 0,00000 -3,25619 90,30952 0,00000 -6,88810
0,00000 0,00000 8,76667 0,00000 0,00000 90,03905 26,06476
0,00000 3,25619 0,00000 -1,50286 -6,88810 26,06476 27,72286
PowyŜsze postaci [K] i [M] naleŜy uwzględnić w równaniu 1.4. Rozwiązaniem tego równania będą wartości
wartości własne oraz odpowiadające im wektory własne. Obliczenia wykonano wykorzystując program
UPW.
Otrzymano następujące wyniki:
Wartości własne:
Nr
przemieszczeni
a
rad 2 s 2 rad s
Wektory własne:
Nr
przemieszczenia
1 4990 70,64
2 130000 360,4
3 455000 674,4
4 756000 869,3
5 2450000 1563,95
6 4380000 2091,87
7 10400000 3220,3
Wektor 1 Wektor 2 Wektor 3 Wektor4 Wektor 5 Wektor 6 Wektor 7
1 -1,0000000 0,0724749 0,0281846 0,0369559 -0,1202120 -1,0000000 -0,0182838
4 -0,9976120 0,07 0,0224616 0,0250221 -0,0189454 0,2337430 0,0159107
5 0,0007466 0,0824980 -0,9227400 0,0699573 -0,0180421 0,0082628 -0,1699480
6 -0,4524730 -0,9077360 -1,0883900 -0,0309463 0,1109630 0,0138870 -0,1675770
7 -0,0132937 0,0283615 0,0546793 0,0661435 1,3620300 -0,0536462 -0,1148730
8 0,0012969 0,0510777 -0,6027640 0,0139705 0,0726505 -0,0135299 0,9508010
9 -0,2190210 0,2636410 -0,0481431 -1,0046000 0,5251560 -0,0499738 -1,0029300
Celem zadania jest przedstawienie trzech pierwszych postaci drgań własnych. Aby je określić skorzystam z
funkcji przemieszczeń jak niŜej:
Gdzie N i x~
funkcje kształtu.
u~
x
q~2 N 2 x~
N 3 x~
q~1 N 1 x~
N 5 x~
N 6
(1.6)
x~
Otrzymano następujące wyniki:
Anna Zielona Dynamika-ujęcie komputerowe 7/12

PROJEKT 1 – DYNAMIKA RAM – WERSJA KOMPUTEROWA 8
I postać drgań
Wektory przemieszczeń węzłowych w układach lokalnych:
Pręt 1: Pręt 2: Pręt 3: Pręt 4:
-1,0000000
0,00000000
-0,9976120
0,0007466
-0,4524730
0,0007466
0,9976120
-0,4524730
0,0012969
0,0132937
-0,2190210
0,00129685
0,01329370
-0,21902100
0
0
0
-0,0132937
0,0012969
-0,2190210
0
0
0
Uwaga: Wartość przemieszczenia 3 dla pręta 1 jest nieznana,co jest wynikiem zastosowania redukcji statycznej.
Wartości funkcji kształtu oraz funkcji przemieszczeń
Pręt 1
x N 1
N 2
N 3
N 4
N 5
N 6 u x v x
0 1,00000000 1,00000000 0,00000000 0 0,00000000 -1,00000000 0,00000000
1,25 0,75000000 0,63281250 0,25000000 0,36718750 -0,58593750 -0,99940300 0,26539503
2,5 0,50000000 0,31250000 0,50000000 0,68750000 -0,93750000 -0,99880600 0,42470670
3,75 0,25000000 0,08593750 0,75000000 0,91406250 -0,82031250 -0,99820900 0,37185167
5 0,00000000 0,00000000 1,00000000 1,00000000 0,00000000 -0,99761200 0,00074657
Pręt 2
x N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 u x v x
0 1 1 0 0 0 0 0,00074657 0,99761200
0,5 0,75 0,84 0,28 0,25 0,16 -0,09 0,00088414 0,73708745
1 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 -0,25 0,00102171 0,44708985
1,5 0,25 0,16 0,09 0,75 0,84 -0,28 0,00115928 0,18627375
2 0 0 0 1 1 0 0,00129685 0,01329370
Pręt 3
x N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 u x v x
0 1 1 0 0 0 0 0,00129685 0,01329370
0,75 0,75 0,84 0,42 0,25 0,16 -0,14 0,00097264 -0,0811829
3
1,5 0,5 0,5 0,38 0,5 0,5 -0,38 0,00064843 -0,0754860
3
2,25 0,25 0,16 0,14 0,75 0,84 -0,42 0,00032421 -0,0287226
9
3 0 0 0 1 1 0 0,00000000 0,00000000
Anna Zielona Dynamika-ujęcie komputerowe 8/12

PROJEKT 1 – DYNAMIKA RAM – WERSJA KOMPUTEROWA 9
Pręt 4
x N 1
N 2
N 3
N 4
N 5
N 6 u x v x
0,0 1 1 0 0 0 0 -0,01329370 0,00129685
1,0 0,75 0,84 0,56 0,25 0,16 -0,19 -0,00997028 -0,1221051
0
2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 -0,5 -0,00664685 -0,1088620
8
3,0 0,25 0,16 0,19 0,75 0,84 -0,56 -0,00332343 -0,0408638
0
4,0 0 0 0 1 1 0 0,00000000 0,00000000
Rys.1.4 Pierwsza postać drgań własnych
II postać drgań
Wektory przemieszczeń węzłowych w układach lokalnych:
Pręt 1: Pręt 2: Pręt 3: Pręt 4:
0,0724749
0,0824980
0,05107770
0,0283615
0,00000000
-0,0680584
-0,02836150
0,0510777
-0,9077360
0,26364100
0,2636410
0,0680584
0,0510777
0
0
0,0824980
-0,0283615
0
0
-0,9077360
0,2636410
0
0
Wartości funkcji kształtu oraz funkcji przemieszczeń
Pręt 1
x N 1
N 2
N 3
N 4
N 5
N 6 u x v x
0 1,00
1,25 0,75
2,5 0,50
3,75 0,25
5 0,00
1,0000000
0
0,6328125
0
0,3125000
0
0,0859375
0
0,0000000
0
0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,07247490 0,00000000
0,25000000 0,36718750 -0,58593750 0,07137078 0,56216880
0,50000000 0,68750000 -0,93750000 0,07026665 0,90771988
0,75000000 0,91406250 -0,82031250 0,06916253 0,82003552
1,00000000 1,00000000 0,00000000 0,06805840 0,08249800
Anna Zielona Dynamika-ujęcie komputerowe 9/12

PROJEKT 1 – DYNAMIKA RAM – WERSJA KOMPUTEROWA 10
Pręt 2
x N 1
N 2
N 3
N 4
N 5
N 6 u x v x
0,00 1 1 0 0 0 0 0,08249800 -0,06805840
0,50 0,75 0,84 0,28 0,25 0,16 -0,09 0,07464293 -0,34187285
1,00 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 -0,25 0,06678785 -0,34105420
1,50 0,25 0,16 0,09 0,75 0,84 -0,28 0,05893278 -0,19381342
2,00 0 0 0 1 1 0 0,05107770 -0,02836150
Pręt 3
x N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 u x v x
0 1 1 0 0 0 0 0,05107770 -0,02836150
0,75 0,75 0,84 0,42 0,25 0,16 -0,14 0,03830828 0,08729353
1,5 0,5 0,5 0,38 0,5 0,5 -0,38 0,02553885 0,08468463
2,25 0,25 0,16 0,14 0,75 0,84 -0,42 0,01276943 0,03264303
3 0 0 0 1 1 0 0,00000000 0,00000000
Pręt 4
x N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 u x v x
0,00 1 1 0 0 0 0 0,02836150 0,05107770
1,00 0,75 0,84 0,56 0,25 0,16 -0,19 0,02127113 0,19139487
2,00 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 -0,5 0,01418075 0,15735935
3,00 0,25 0,16 0,19 0,75 0,84 -0,56 0,00709038 0,05741358
4,00 0 0 0 1 1 0 0,00000000 0,00000000
Rys.1.5 Druga postać drgań własnych
Anna Zielona Dynamika-ujęcie komputerowe 10/12

PROJEKT 1 – DYNAMIKA RAM – WERSJA KOMPUTEROWA 11
III postać drgań
Wektory przemieszczeń węzłowych w układach lokalnych:
Pręt 1: Pręt 2: Pręt 3: Pręt 4:
0,0281846
0,00000000
0,0224616
-0,9227400
-1,0883900
-0,9227400
-0,0224616
-1,0883900
-0,6027640
-0,0546793
-0,0481431
-0,60276400
-0,05467930
-0,04814310
0
0
0
0,0546793
-0,6027640
-0,0481431
0
0
0
Wartości funkcji kształtu oraz funkcji przemieszczeń
Pręt 1
x N 1
N 2
N 3
N 4
N 5
N 6 u x v x
0,00 1,00000000 1,0000000
0
1,25 0,75000000 0,6328125
0
2,50 0,50000000 0,3125000
0
3,75 0,25000000 0,0859375
0
5,00 0,00000000 0,0000000
0
0,00000000 0,00000000 0,00000000 0,02818460 0,00000000
0,25000000 0,36718750 -0,58593750 0,02675385 0,29890992
0,50000000 0,68750000 -0,93750000 0,02532310 0,38598188
0,75000000 0,91406250 -0,82031250 0,02389235 0,04937789
1,00000000 1,00000000 0,00000000 0,02246160 -0,9227400
0
Pręt 2
x N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 u x v x
0 1 1 0 0 0 0 -0,92274000 -0,02246160
0,5 0,75 0,84 0,28 0,25 0,16 -0,09 -0,84274600 -0,32909189
1 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 -0,25 -0,76275200 -0,29863218
1,5 0,25 0,16 0,09 0,75 0,84 -0,28 -0,68275800 -0,13814160
2 0 0 0 1 1 0 -0,60276400 -0,05467930
Pręt 3
x N 1 N 2 N 3 N 4 N 5 N 6 u x v x
0 1 1 0 0 0 0
0,75 0,75 0,84 0,42 0,25 0,16 -0,14
1,5 0,5 0,5 0,38 0,5 0,5 -0,38
2,25 0,25 0,16 0,14 0,75 0,84 -0,42
-0,6027640
0
-0,4520730
0
-0,3013820
0
-0,1506910
0
-0,05467930
-0,06644603
-0,04539331
-0,01531376
3 0 0 0 1 1 0 0,00000000 0,00000000
Anna Zielona Dynamika-ujęcie komputerowe 11/12

PROJEKT 1 – DYNAMIKA RAM – WERSJA KOMPUTEROWA 12
Pręt 4
x N 1
N 2
N 3
N 4
N 5
N 6 u x v x
0 1 1 0 0 0 0
1 0,75 0,84 0,56 0,25 0,16 -0,19
2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 -0,5
3 0,25 0,16 0,19 0,75 0,84 -0,56
4 0 0 0 1 1 0
0,0546793
0
0,0410094
8
0,0273396
5
0,0136698
3
0,0000000
0
-0,60276400
-0,53566262
-0,32545355
-0,10320871
0,00000000
Rys.1.6 Trzecia postać drgań własnych
Anna Zielona Dynamika-ujęcie komputerowe 12/12