1. Funkcije kompleksne varijable f : C → C f(z) = w = f(x + iy) = u(x, y ...

1. Funkcije kompleksne varijable
f : C → C
f(z) = w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y),
u, v : R 2 → R, u(x, y) = Rew, v(x, y) = Imw
Elementarne funkcije kompleksnog argumenta.
1. Eksponencijalna funkcija
• w = e z , z ∈ C
• w = e z = e x+iy = e x e iy = e x (cos y + i sin y),
|e z | = e x , arg e z = y
• za eksponencijalnu funkciju vrijedi
e z1 · e z 2
= e z 1+z 2
,
e z 1
e = z ez 1−z 2
2
• e z = 1 + z + z2 + · · · + zn + . . . apsolutno konvergira u
2! n!
cijeloj Gaussovoj ravnini
• e z+2kπi = e z , k ∈ Z, periodična funkcija s periodom 2πi
2. Trigonometrijske funkcije
• sin z = z − z3
3!
+ · · · + (−1) n z2n+1
(2n+1)! + . . . ,
sin(z + 2π) = sin z,
sin z = 0 ⇔ z = kπ, k ∈ Z,
• cos z = 1 − z2
2!
+ · · · + (−1) n z2n
(2n)! + . . .
cos(z + 2π) = cos z
cos z = 0 ⇔ z = π 2 + kπ, k ∈ Z
• Računanje trigonometrijskih funkcija korištenjem funkcija
realnog argumenta:
sin z = sin xchy + i cos xshy,
cos z = cos xchy − i sin xshy,
• Veza eksponencijalne i trigonometrijskih funkcija
cos z = eiz + e −iz
,
2
sin z = eiz − e −iz
,
2i
tgz = sin z
cos z ,
ctgz =
cos z
sin z
1

2
3. Hiperbolne funkcije
chz = ez + e −z
,
2
shz = ez − e −z
,
2
thz = shz
chz , chz
cthz =
shz
• Veza trigonometrijskih i hiperbolnih funkcija
sin z = −ishiz, shz = −i sin iz,
cos z = chiz, ch = cos iz,
tgz = −ithiz, thz = −itgiz,
ctgz = icthiz, cthz = ictgiz.
4. Logaritamska funkcija
• ln z = ln |z| + iargz, z ≠ 0, glavna vrijednost
• Lnz = ln z + 2kπi, k ∈ Z
• (∀z ≠ 0) w = Lnz ⇔ z = e w
PAZI: općenito je Lna b ≠ bLna
5. Arkus funkcije
Arcsinz = −i Ln(iz + √ 1 − z 2 ),
Arccosz = −i Ln(z + √ z 2 − 1),
Arctgz = − i + iz
Ln1
2 1 − iz ,
Arcctgz = − i 2 Lnz + i
z − i
6. Area funkcije
Arshz = Ln(z + √ 1 + z 2 ),
Archz = Ln(z + √ z 2 − 1),
Arthz = 1 2 Ln1 + z
1 − z ,
Arcthz = i 2 Lnz + 1
z − 1
7. Opća potencija
• w = f(z) = z a , a ∈ C
• z a = e aLnz , glavna vrijednost z a = e a ln z
Opća eksponencijalna funkcija
• w = f(z) = a z , a ∈ C, a ≠ 0

3
2. Limes niza i funkcije kompleksne varijable.
Neprekidnost funkcije kompleksne varijable
Definicija 1. Za niz kompleksnih brojeva (z n ) kažemo da konvergira
kompleksnom broju a ako
(∀ɛ > 0)(∃n z ∈ N) n > n z ⇒ |z n − a| < ɛ
Tada a zovemo limes niza (z n ) i pišemo a = lim
n→∞
z n .
Teorem 1. Niz kompleksnih brojeva (z n ), z n = x n + iy n , konvergira
kompleksnom broju a = α + iβ ako i samo ako niz (x n ) konvergira ka
α i niz (y n ) konvergira ka β;
z n = x n + iy n , a = α + iβ : z n → a ⇔ x n → α i y n → β.
Ako je z n zadan u polarnom obliku, z n = ρ n e iφn ,
lim ρ }
n = ρ 0
n→∞
lim φ ⇔ lim z
n = φ n = ρ 0 e iφ 0
0 n→∞
n→∞
Definicija 2.
A = lim
z→z0
f(z) ⇔ (∀ɛ > 0)(∃δ > 0) |z − z 0 | < δ ⇒ |f(z) − f(z 0 )| < ɛ.
Teorem 2.
f(z) = u(x, y)+iv(x, y), z 0 = x 0 +iy 0
Teorem 3.
lim f(z) = A i lim g(z) = B ⇒
z→z 0 z→z0
⇒ lim f(z) = lim
z→z0 x→x0
u(x, y)+i
x→x0
lim v(x, y).
y→y 0 y→y 0
lim
z→z 0
(f(z) ± g(z)) = A ± B,
lim
z→z 0
(f(z) · g(z)) = A · B,
f(z)
lim
z→z 0 g(z) = A , g(z) ≠ 0, B ≠ 0.
B
Definicija 3. Za funkciju f(z) kažemo da je neprekidna u točki z 0 ako
(∀ɛ > 0)(∃δ > 0) |z − z 0 | < δ ⇒ |f(z) − f(z 0 )| < ɛ, ∀z ∈ D f .
Funkcija f(z) = u(x, y) + iv(x, y) je neprekidna u točki z 0 = x 0 + iy 0
ako i samo ako su u(x, y) i v(x, y) neprekidne u (x 0 , y 0 ).
Funkcija f(z) je neprekidna u z 0 ako je lim
z→z0
f(z) = f(z 0 ).

4
3. Redovi kompleksnih brojeva
∞∑
Definicija 4. Red z n konvergira ako konvergira niz parcijalnih suma
n∑
(S n ), S n = z i .
i=1
Teorem 4. Red
realnih brojeva
Ako je
n=1
∞∑
z n konvergira ako i samo ako konvergiraju redovi
n=1
∞∑
Rez n i
n=1
∞∑
Rez n = S 1 i
n=1
∞∑
Imz n .
n=1
∞∑
Imz n = S 2 onda je
n=1
∞∑
z n = S = S 1 +iS 2 .
∞∑
∞∑
Ako je red |z n | konvergentan, onda je i z n konvergentan i
n=1
n=1
∞∑
kažemo da je z n apsolutno konvergentan. Obrat ne vrijedi.
da
Ako je red
n=1
∞∑
z n konvergentan, a red
n=1
n=1
∞∑
z n konvergira uvjetno.
n=1
n=1
∞∑
|z n | divergentan, kažemo
Područje konvergencije reda funkcija f 1 (z) + f 2 (z) + · · · + f n (z) + . . .
čine svi z ∈ C za koje red funkcija konvergira.
Radijus konvergencije reda potencija ∑ ∞
n=0 c n(z − z 0 ) n , (c i ∈ C, i ∈
N 0 ) računamo iz sljedećih formula:
R = lim
n→∞
|c n |
|c n + 1|
ili
R = lim
√
|cn | .
1
n→∞ n
Red potencija konvergira apsolutno u području |z − z 0 | < R; divergira
za |z − z 0 | > R. Za točke granice |z − z 0 | = R može konvergirati i
divergirati.

5
4. Deriviranje funkcije kompleksnog argumenta
Definicija 5. Kažemo da je w = f(z) diferencijabilna u točki z 0 ∈ C
f(z) − f(z 0 )
ako postoji konačan limes lim
= f ′ (z 0 ).
z→z0 z − z 0
Teorem 5. Funkcija w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) je diferencijabilna
u točki z ∈ C ako i samo ako vrijede Cauchy-Riemannovi uvjeti
∂u
∂x = ∂v ∂u
i
∂y ∂y = −∂v ∂x .
Tada je f ′ (z) = ∂u
∂x + i∂v ∂x = ∂v
∂y − i∂u ∂y .
Definicija 6. Ako je funkcija f(z) diferecijabilna na nekom skupu Ω ⊆
D f , gdje je Ω otvoren skup, kažemo da je funkcija analitička na Ω i
pišemo f ∈ A(Ω).
Svaka analitička funkcija f(z) = u(x, y) + iv(x, y) odreduje dvije
porodice ortogonalnih krivulja u(x, y) = konst. i v(x, y) = konst..
Definicija 7. Za funkciju φ(x, y) kažemo da je harmonička u području
D ako na D ima neprekidne parcijalne derivacije drugog reda i zadovoljava
Laplaceovu jednadžbu (jednadžbu potencijala) ∆φ = 0 (∆φ =
∂ 2 φ
∂x 2
+ ∂2 φ
∂y 2 ).
Realni i imaginarni dio analitičke funkcije zadovoljavaju Laplaceovu
jednadžbu (∆u = 0, ∆v = 0). Za realni i imaginarni dio analitičke
funkcije kažemo da čine par konjugirano harmoničkih funkcija.
Uvjeti ∆u = 0 i ∆v = 0 medutim nisu dovoljni za analitičnost
funkcije f = u + iv, jer svaki par rješenja Laplaceove jednadžbe ne
mora zadovoljavati Cauchy-Riemannove jednadžbe.

6
4.1. Primjeri analitičkih funkcija.
1. P (z) =
P ′ (z) =
n∑
a n z n ∈ A(C), a i ∈ C, i = 0, . . . , n
i=0
n∑
na n z n−1 ,
i=1
2. f(z) = e z ∈ A(C),
f ′ (z) = e z ,
3. ln(z) = ln |z| + i argz ∈ A(C\{(x, 0), x ≤ 0}),
ln ′ (z) = 1 z ,
4. φ 1
,k(z) = n√ arg z + 2kπ arg z + 2kπ
|z|(cos +i sin ). . . ”k-ta grana
n n
n
n-tog korijena iz z”, φ 1
,k ∈ A(C\{(x, 0), x ≤ 0})
n
( ) ′ 1
φ 1 (z) =
n ,k nz φ 1 ,k(z),
n
5. sin ′ (z) = cos(z),
cos ′ (z) = sin(z),
6. sh ′ (z) = ch(z),
ch ′ (z) = sh(z).
4.2. Geometrijska interpretacija modula i argumenta derivacije.
Neka je f(z) analitička u točki z 0 i f ′ (z 0 ) ≠ 0.
Tada je λ = |f ′ (z 0 )| modul ekspanzije (rastezanja) u točki z 0 pri
preslikavanju u w-ravninu.
Ako je λ < 1 radi se o stezanju, a za λ > 1 o rastezanju.
Argument arg f ′ (z 0 ) je kut zakreta za koji rotira tangenta na neku
krivulju u z-ravnini u točki z 0 do tangente na sliku te krivulje u točki
f(z 0 ).
Ako je argf ′ (z 0 ) > 0 rotacija je u pozitivnom smjeru, a za argf ′ (z 0 ) < 0
rotacija je u negativnom smjeru.

5. Konformna preslikavanja
Definicija 8 (Konformno preslikavanje (1.vrste)). Preslikavanje w =
f(z) je konformno u točki z 0 ako je f analitička u nekoj okolini točke
z 0 i ako vrijedi f ′ (z 0 ) ≠ 0.
Konformna preslikavanja dakle imaju svojstvo čuvanja kutova i svojstvo
stalnosti rastezanja.
Preslikavanje koje ima svojstvo stalnosti rastezanja, a kutove čuva
po apsolutnoj vrijednosti, ali ne i po orijentaciji, je konformno preslikavanje
2. vrste.
Ako je w = f(z) konformno preslikavanje, tada je w = f(z) konformno
preslikavanje 2. vrste.
Ako je funkcija f(z) analitička na D i preslikava D na D ∗ bijektivno
te krivulju L iz D preslikava na L ∗ u D ∗ , tada je duljina krivulje L ∗ u
w-ravnini:
∫
l(L ∗ ) = |f ′ (z)||dz|.
Površina područja D ∗ u w-ravnini je:
∫∫
S(D ∗ ) = |f ′ (z)| 2 dxdy
L
D
gdje je |f ′ (z)| 2 modul (koeficijent) distorzije područja D transformacijom
f(z).
Teorem 6. Neka je G područje omedeno konturom γ i f konformna
funkcija na G ∪ γ. Neka je γ ∗ = f(γ) slika konture γ. Tada je γ ∗
kontura i f preslikava jednoznačno G na G ∗ koje je omedeno konturom
γ ∗ .
7