"Sieci neuronowe we wspomaganiu rozwiÄ zywania ... - IPPT PAN

Jeśli G jest grupą skończoną, b elementem tej grupy oraz y jest
takim elementem G , który jest potęgą b , to logarytmem dyskretnym
elementu y o podstawie b jest taka liczba całkowita x , dla której
b x = y .
Problem liczenia logarytmu dyskretnego przy module będącym liczbą pierwszą jest
porównywalny z faktoryzacją liczb składających się z dwóch czynników pierwszych,
przybliżonej długości jak moduł logarytmu. W ostatnim czasie pojawiły się wyniki
poszukiwania logarytmu dyskretnego z wykorzystanie SN uczonych według zasady wstecznej
propagacji błędów. W pracy [52] zaprezentowane zostały wyniki dla modułów stanowiących
małe liczby pierwsze (np. 19), gdzie skuteczność sieci neuronowych była 100 procentowa.
Kolejne wyniki dla liczb większych pokazano w pracy [53], tu rezultaty były już na poziomie
około 70 %. Innym zagadnieniem, poruszanym również w pracach [52],[53], jest
wspomaganie za pomocą sieci neuronowych ataku na algorytm RSA. Zastosowano
neuronową aproksymację funkcji Eulera. Rozpatrując szyfr RSA, opiera on swoje działanie
na przekształceniu:
d
C = M mod n,
n = p * q .
Funkcja Eulera ϕ ( N)
= ( p −1)(
q −1)
dla N = p * q , jest definiowana jako
ilość liczb względnie pierwszych z liczbą N , nie większych od N , przy
traktowaniu liczby 1 jako względnie pierwszą ze wszystkimi liczbami.
Funkcja Eulera określana jest dla liczb całkowitych dodatnich.
O znaczeniu funkcji Eulera dla bezpieczeństwa szyfrowania i podpisu elektronicznego
napisano w pracach [54] i [55]. Autorzy pracy [52] użyli sieci neuronowej do rozwiązania
problemu faktoryzacji, wykorzystując do tego aproksymację funkcji Eulera. Celem
wykorzystania sieci neuronowej w tym przypadku było uzyskanie klucza prywatnego na
podstawie klucza publicznego. Wyniki wydają się być obiecujące jednak 100 % skuteczność
udało się autorom uzyskać jedynie dla małych liczb.
Kolejnym obszarem zastosowania sieci neuronowych w kryptografii, jaki można znaleźć
w pracach z ostatnich kilkunastu lat, jest wspomaganie kryptologii krzywych eliptycznych
poprzez wykorzystanie sieci neuronowych. Kryptosystemy oparte na krzywych eliptycznych
są obecnie przedmiotem badań kryptologów. Na potrzeby tworzenia kryptosystemów
opartych na krzywych eliptycznych, wykorzystuje się krzywe eliptyczne silne
kryptograficznie. Zdefiniowano je w pracy [56].
47