HamSuyRong2.pdf

Chương 7. Không gian Sobolev 38
Chứng minh. Trước hết ta thấy ||u|| 2 s = (u, u) s và s = 0 thì H 0 = L 2 . Để
chứng minh không gian hibert ta chỉ cần chứng minh H s là không gian đủ.
Lấy dãy cơ bản {u m } ⊂ H s là dãy cơ bản, tức là
lim ||u m − u n || s = 0.
m,n→∞
Điều này dẫn tới {D α u m } là dãy cơ bản trong L 2 , ∀α : |α| ≤ s. Do L 2 là
không gian đủ nên tồn tại
{ lim
n→∞
u m = u ∈ L 2 ,
lim
n→∞ Dα u m = u α ∈ L 2 , ∀α : |α| ≤ s.
Vì
ta có
Hơn thế,
ta có
lim u m = u ∈ L 2 ,
n→∞
lim u m = u ∈ D ′ (Ω).
n→∞
lim
n→∞ Dα u m = u α ∈ L 2
lim
n→∞ Dα u m = u α ∈ D ′ (Ω).
Mặt khác, u m → u trong D ′ (Ω) nên D α u m → D α u trong D ′ (Ω). Do đó,
u α = D α u. Vậy lim
n→∞
u m = u ∈ H s . Hay H s là không gian đủ.
7.2 Không gian H s (R n )
Trong không gian I(R n ) ta đuă vào tích hướng
∫
(u, v) s = (1 + |ξ| 2 ) s û(ξ)̂v(ξ)dξ, ∀u, v ∈ I(R n ).
R n
Để cho đối xứng ta kí hiệu
(u, v) = (2π) −n ∫
R n (1 + |ξ| 2 ) s û(ξ)̂v(ξ)dξ, ∀u, v ∈ I(R n ).
Định lí 7.2.1. Với s ∈ R, không gian H s (R n ) là bổ xung của I(R n ) theo
chuẩn ||.|| s . Khi đó, H s (R n ) là không gian Hibert, trong đó
H s (R n ) = {u : u ∈ I ′ : (1 + |ξ| 2 ) s 2û(ξ) ∈ L 2 (R n )}.