HamSuyRong2.pdf

Chương 5. Tích chập của các hàm suy rộng 25
• Nếu f, g ∈ L 1 (R n ) thì |f| ∗ |g| tồn tại và |f ∗ g| ≤ |f| ∗ |g|. Hơn thế,
‖f ∗ g‖ 1 ≤ ‖f‖ 1 .‖g‖ 1 .
Từ định lí trên, ta thấy tích chập có tính chất kết hợp.
Nhận xét: Nếu f là hàm liên tục trên R n và g là hàm khả tích địa phương,có
giá compact thì f ∗ g xác định.
Định nghĩa 5.0.9. (Tích chập của HSR thuộc D ′ và D) Cho f ∈ D ′ (R n )
và ϕ(x) ∈ D(R n ) ta xác định tích chập (f ∗ ϕ)(x) là một hàm số trên R n x
theo công thức
(f ∗ ϕ)(x) = (f(y), ϕ(x − y)), ∀x ∈ R n x.
Chú ý: với mỗi x cố định thì ϕ(x − y) ∈ D(R n y)
Định lí 5.0.10. Nếu f ∈ D ′ (R n ) và ϕ(x) ∈ D(R n ) thì (f ∗ϕ)(x) ∈ C ∞ (R n ),
hơn nữa supp(f ∗ ϕ) ⊂ suppf + suppϕ.
Chứng minh. Ta sử dụng kết quả A đóng, B compact thì A + B đóng và
A, B compact thì A + B compact.
Đặt
h(x) = f ∗ ϕ(x) = (f(y), ϕ(x − y)).
• Nếu {x k } là dãy hội tụ về x thì hiển nhiên h(x k ) = (f(y), ϕ(x k − y))
hội tụ về (f(y), ϕ(x − y)) = h(x). Nói cách khác, h(x) là hàm liên tục.
• Ký hiệu, (e 1 , e 2 , ...,e n ), e i là véctơ đơn vị trên x i . Xét
h(x + le i ) − h(x)
lim
l→0 l
= lim(f(y), ϕ(x + le i − y) − ϕ(x − y)
)
l→0 l
ϕ(x + le i − y) − ϕ(x − y)
= (f(y), lim
)
l→0 l
∂ϕ(x − y)
= (f(y), ).
∂x i
Điều này chứng tỏ tồn tại đạo hàm riêng ∂h
∂x i
. Làm tương tự, ta chứng
minh được h(x) ∈ C ∞ . Ta chú ý rằng, với mỗi x cố định, nếu
suppf ∩ suppϕ(x − y) =
thì h(x) = (f ∗ g)(x) = (f(y), ϕ(x − y)) = 0. Do đó, nếu h(x) ≠ 0 thì
tồn tại y ∈ suppf sao cho x − y ∈ suppϕ. Nói cách khác,
supp(f ∗ g) ⊂ suppf + suppϕ.

Chương 5. Tích chập của các hàm suy rộng 26
Hệ quả 5.0.11. Nếu f ∈ D ′ mà suppf compact thì với mọi ϕ ∈ D ′ (R n ) :
f ∗ ϕ ∈ D ′ (R n ).
Định nghĩa 5.0.12. (Tích chập của các hàm suy rộng)
• Giả sử f, g ∈ D ′ , suppg compact. Khi đó, tích chập f ∗ g là một hàm
suy rộng xác định theo công thức
(f ∗ g,ϕ) = (f, g ∗ ϕ).
• Nếu g là hàm suy rộng tuỳ ý, f là hàm suy rộng có giá compact. Xét
α(x) ∈ C0
∞ sao cho α ≡ 1, ∀x ∈ suppf. Ta xác định tích chập như sau
(f ∗ g,ϕ) = (f, α(x).f ∗ g(x)).
Định nghĩa 5.0.13. (Đạo hàm của tích chập) Ta có
Do đó,
Mặt khác,
do đó
∂
∂x i
(f ∗ g)(x) = (f(y),
∂ϕ(x − y)
) = (f ∗ ∂ϕ )(x).
∂x i ∂x i
D α (f ∗ g) = f ∗ D α ϕ.
∂ϕ(x − y) ∂ϕ(x − y)
= − ,
∂x i ∂y i
D α x(f ∗ ϕ) = (f(y), (−1) α D α y ϕ(x − y)) = (D α y f, ϕ(x − y)) = D α y ∗ ϕ.
Vậy ta có
D α (f ∗ ϕ) = D α f ∗ ϕ = f ∗ D α ϕ.
Ta cũng có: Nếu f, g ∈ D ′ , một trong hai hàm đó co gí compact, thì f ∗ g =
g ∗ f. Hơn nữa,
D α (f ∗ g) = D α f ∗ g = f ∗ D α g.
Thật vậy, ta co thể xem suppf hoặc suppg compact, khi đó: D α (f ∗g) là một
hàm suy rộng. Mặt khác,
(D α (f ∗ g), ϕ) = (f ∗ g, (−1) α D α ϕ)
= (−1) α (f ∗ g,D α ϕ)
= (−1) α (f, g ∗ D α ϕ)
= (−1 α (f, D α (g ∗ ϕ))
= (D α f, (g ∗ ϕ))
= (D α f ∗ g,ϕ).

Chương 5. Tích chập của các hàm suy rộng 27
Tương tự, ta có
D α (f ∗ g) = D α f ∗ g = f ∗ D α g.
Ví dụ 11. (Các trường hợp riêng)
• f ∈ D ′ ta có f ∗ δ = f và (δ, ϕ) = ϕ(0).
∀ϕ ∈ D(R n ) : δ ∗ ϕ = ϕ(x).
Thật vậy,
(f ∗ δ, ϕ) = (f, δ ∗ ϕ) = (f, ϕ).
Tương tự,
D α (f ∗ δ) = D α f ∗ δ = D α f.
• P(D) là toán tử vi phân tuyến tính với hệ số hằng số k. Giả sử: ω(x)
là nghiệm cơ bản của toán tử vi phân P(D)ω = δ. Khi đó nghiệm
của phương trình P(D)u = f được xác định u = f ∗ ω. Thật vậy:
P(D)u = P(D)(f ∗ ω) = (P(D)ω) ∗ f = δ ∗ f = f

Chương 6
Phép biến đổi Fourier
6.1 Biến đổi Fourier trong I(R n )
Nhắc lại:
Rõ ràng ta cũng có
I(R n ) = {ϕ(x) ∈ C ∞ (R n ) : sup |x α D β ϕ| < ∞, ∀α, β}.
x
sup(1 + x 2 1) · · · (1 + x 2 n)|x α D β ϕ| < ∞, ∀α, β.
x
Điều này dẫn tới, x α D β ϕ ∈ L 1 (R n ). Nói cách khác, I(R n ) ⊂ L 1 (R n ).
Định nghĩa 6.1.1. Cho f(x) ∈ L 1 (R n ). Khi đó biến đỏi Fourier của hàm
f được kí hiệu ˆf(ξ) hay F(ξ) và xác định theo công thức
∫
ˆf(ξ) = e −i(x,ξ) f(x)dx,
R n
và phép biến đổi nguợc Fourier được kí hiệu là ˇf(x) hay F −1 ( ˆf) được xác
định theo công thức
ˇf(x) = 1 ∫
e i(x,ξ) ˆf(ξ)dξ,
(2π) n R n
trong đó (x, ξ) = x 1 ξ 1 + · · · + x n ξ n .
Để xét các tính chất cảu phép biến đổi trong I(R n ) thay kí hiệu đạo hàm
thông thường bởi kí hiệu D k = −i ∂
∂x k
.
Định lí 6.1.2. Phép biến đổi Fourier F là một ánh xạ
F : I(R n ) −→ I(R n ),
28

Chương 6. Phép biến đổi Fourier 29
và
̂D j ϕ(x) = ξ j ̂ϕ(ξ),
̂x j ϕ(x) = −D j ̂ϕ(ξ).
Chứng minh. Lấy ϕ ∈ I(R n ), ta phải chứng minh ̂ϕ(ξ) ∈ I. Ta có,
∫
ˆϕ(ξ) = e −i(x,ξ) ϕ(x)dx.
R n
Chú ý rằng:
∫
R n e −i(x,ξ) (−x) α ϕ(x)dx
hội tụ đều trong R n , do đo, khi lấy đạo hàm tới cấp k ta có
∫
D α ˆϕ(ξ) = e −i(x,ξ) (−x) α ϕ(x)dx
R n
tồn tại. Hơn thế,
̂ (−x) α ϕ(x) = D α ˆϕ(ξ) và ̂x j ϕ(x) = −D j ˆϕ(ξ).
Mặt khác từ công thức:
∫
D α ˆϕ(ξ) =
R n e −i(x,ξ) (−x) α ϕ(x)dx,
lấy tích phân từng phần |β| lần, chú ý D k ((−x) α ϕ(x)) → 0 khi x → 0, ta
có
∫
D α ˆϕ(ξ) = ξ −β e −i(x,ξ) D β ((−x) α ϕ(x))dx.
R n
Từ đây
∫
ξ β D α ˆϕ(ξ) =
R n e −i(x,ξ) D β ((−x) α ϕ(x))dx,
hay ˆϕ(ξ) ∈ I (do ϕ ∈ I). Vậy F : I(R n ) −→ I(R n ).
Cho α = 0 ta có
D̂
β ϕ(x) = ξ β ˆϕ(ξ).

Chương 6. Phép biến đổi Fourier 30
Ví dụ 12. Cho f(x) = e − x2
2 ∈ I. Tính ˆf(ξ)?
do
Ta có đẳng thức sau
Ta thấy
Cho ξ = 0 ta có c =
∞∫
−∞
Từ đây ta có hê quả sau.
(c + iD)f(x) ≡ 0
xe − ∂
x2
x2
2 + i(−i e− 2 ) = 0.
∂x
0 = ̂ (x + iD)f(x)
= ̂xf(x) + i ̂Df
= −D ˆf(ξ) + iξ ˆf(ξ)
⇔ d ˆf
dξ
= −ξ ˆf(ξ)
⇔ ˆf(ξ) = ce − ξ2 2 .
e − x2
2 dx = √ 2π. Vậy ˆf(ξ) = √ 2πe − ξ2 2 .
Hệ quả 6.1.3. Nếu f(x) = e − |x|2
2 , x ∈ R n thì ˆf(ξ) = ( √ 2π) n e − |ξ|2
2 .
Chú ý: P(D) là toán tử vi phân tuyến tính với hệ số hằng số và xét phương
trình vi phân P(D)ω = f, . Lấy biến đổi Fourier cả hai vế, ta có
Nếu P(ξ) ≠ 0 thì û(ξ) =
P(ξ)û(ξ) = ̂f(ξ).
̂f(ξ)
P(ξ)̂(u)(ξ) .
Định lí 6.1.4. Cho ϕ(x) ∈ I(R n ) và ̂ϕ(ξ) là biến đổi Fourier của nó. Khi
đó công thức biến đỏi ngược Fourier đúng
ϕ(x) = 1 ∫
e i(x,ξ)̂ϕ(ξ)dξ ∈ I.
(2π) n R n
Hơn thế, F là một đẳng cấu.
Chứng minh. Ta có nhận xét với ϕ(x) ∈ I, ψ(ξ) ∈ I thì tích phân
∫ ∫
ϕ(y)ψ(ξ)e i(x−y,ξ) dydξ
R n R n

Chương 6. Phép biến đổi Fourier 31
là hội tụ tuyệt đối, từ đó ta có thể thay đổi thứ tự tích phân trong tích phân
sau
∫
∫ ∫
e i(x,ξ) ψ(ξ)̂ϕ(ξ)dξ = e i(x,ξ) ψ(ξ)( e −i(y,ξ) ϕ(y)dy)dξ
R n R n R
∫ ∫
n
= ϕ(y)dy e −i(y−x,ξ) ψ(ξ)dξ
R n R
∫
n
= ̂ψ(y)ϕ(x + y)dy.
Thay biến ξ trong biểu thức ψ(ξ) bởi εξ, chú ý
Khi đó,
R n
∫
̂ψ(εy) = ψ(εξ)e −i(y,ξ) dξ
R∫
n
= ψ(x)e −i(y, x ε ) ε −n dx
R∫
n
= ψ(x)e −i(x, y ε ) ε −n dx
R n
= ε −n y
̂ψ(
ε ).
∫
∫
e i(x,ξ) ψ(εξ)̂ϕ(ξ)dξ = ε −n y
̂ψ( )ϕ(x + y)dy
ε
R n R∫
n
= ε −n ̂ψ(t)ϕ(x + εt)ε n dt
R∫
n
= ̂ψ(t)ϕ(x + εt)dt,
với mọi ψ, ϕ ∈ I. Hai vế trên hội tụ đều, cho ε dần tới 0, ta có
∫
ψ(0) e i(x,ξ)̂ϕ(ξ)dξ ∫
= ϕ(x) ̂ψ(t)dt.
R n
Chọn ψ(x) = e − |x|2
2 , ta có
R n
ϕ(x) = 1
(2π) n ∫
R n
R n e i(x,ξ)̂ϕ(ξ).

Chương 6. Phép biến đổi Fourier 32
Chú ý: Chứng minh một cách tương tự, ta có thể thay I bởi L 1 ∩̷L 2 trong
định lý trên.
Chú ý: Nếu dãy {ϕ m } hội tụ đến hàm ϕ 0 trong I thì dãy {̂ϕ m } hội tụ
đến hàm ̂ϕ 0 trong I.
Định lí 6.1.5. Cho f, g ∈ I(R n ), ta có các công thức sau
a. ∫ ∫
̂fgdx = ĝfdx.
R n R n
b. ∫ ∫
fgdx = 1
(2π)
̂fĝdx.
n
R n R n
c. ̂f ∗ g = ̂f.ĝ.
d. ̂f.g = 1
(2π) n ̂f ∗ ĝ.
Chú ý: Cả 4 công thức trên đều đúng với L 1 ∩ L 2 .
Chứng minh. a. Đổi thứ tự tích phân.
b. Xét hàm ϕ(x) = (2π) −n ĝ. Ta thấy, ̂ϕ = g. Áp dụng công thức (a.) với
ϕ, f ta có điều phải chứng minh.
c. Biến đổi tích phân.
d. Ta thấy f(−x) = 1
(2π) n̂̂f(x). Áp dụng (c.), ta có
̂̂f ∗ ĝ = ̂̂f.ĝ = (2π) 2n g(−x)f(−x) = (2π) n ̂f.g.
Từ đây bằng biến đổi ngược Fourier ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 13. Xét phương trình −∆u + u = f trong R n ,
f ∈ L 1 ∩ L 2 , ∆u =
n∑
j=1
∂ 2 u
∂ 2 x j
.
Lấy biến đổi Fourier cả 2 vế của phương trình ta có
̂ −∆u + u = ̂f(y) = (1 + |y| 2 )û(y).

Chương 6. Phép biến đổi Fourier 33
Đặt ĝ(y) = 1
1+|y| 2 , dẫn tới u(y) = f ∗ g. Tìm g? Ta thấy
Tính
g(x) = F −1 (ĝ(y)) = 1 ∫
e i(y,x) 1
(2π) n 1 + |y| 2dy
R n
∫ ∫ ∞
= e i(y,x) ( e −t(1+|y|2) dt)dy.
R n 0
∫
∫
e i(x,y)−t(y,y) dy =
R n
e −i(x,−y)−1 2 |−√ 2ty| 2 dy
R n
= √ 1 ∫
n
2t
= 1 √
2t
n
e −i(x, √
ξ
2t
)− 1 2 |ξ|2 dy
R n
∫
e −i( √ x
2t
,ξ)− 1 2 |ξ|2 dy
R n
= (2π) n −|x|
2 e 2
4t dt.
Từ đây,
Vậy nghiệm
g(x) = 1
(4π) n 2
∫ ∞
0
−|x|2
−t−
e 4t
∫
u(x) = (f ∗ g)(x) = g(x − y)f(y)dy = 1
(4π) n 2
R n
dt
.
t n 2
∫ ∞
0
∫
R n
|x−y|2
−t−
e 4t
f(y)dydt.
t n 2
Ví dụ 14. Xét bài toán giá trị ban đầu với phương trình truyền nhiệt
⎧
⎨
⎩
∂u
∂t = ∆u, trong Rn × (0, ∞),
u(x, 0) = g(x), t > 0, ∆u = n ∑
j=1
∂ 2 u
∂ 2 x j
.
Ta thấy
̂∂u
∂t = ̂∆u ↔
dû(y, t)
dt
= |y| 2 û(y, t),

Chương 6. Phép biến đổi Fourier 34
với điều kiện Cauchy
Do đó
û(y, 0) = ĝ(y),
û(y, t) = C|y|e −t|y|2 ,
û(y, 0) = C(y) = ĝ(y).
u(x, t) = 1 ∫
(2π) n e i(x,y) û(y, t)dy = 1 ∫
(2π) n
R n
trong đó ̂f(y) = e −t|y|2 . Từ đây, u(x, t) = f ∗ g.
Mặt khác
f(x) = 1 ∫
e i(x,y) .e −t|y|2 dy
(2π) n R n
cho nên
Chú ý: Hàm
∫
u(x, t) =
ω =
{
= 1
(2π) n(π t ) n 2 e
−|x| 2
4t ,
1
(4tπ) n 2
R n
R n e i(x,y) ĝ(y)e −t|y|2 dy = F −1 ( ̂f.ĝ),
e −|x−y|2
4t g(y)dy.
1
e −|x|2
(4tπ) n 4t , x ∈ R n , t > 0,
2
0, x ∈ R n , t < 0,
được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt.
6.2 Biến đổi Fourier trong không gian I ′ (R n )
Định nghĩa 6.2.1. Cho f là hàm suy rộng trong không gian I ′ (R n ), ta gọi
biến đổi Fourier của hàm suy rộng f là phiếm hàm ký hiệu là ̂f trong không
gian I(R n ) xác định theo công thức
( ̂f,ϕ) = (f, ̂ϕ), ∀ϕ ∈ I(R n ).
Nhận xét: ̂f là phiếm hàm tuyến tính, liên tục và phép biến đổi Fourier là
ánh xạ từ I ′ → I ′ . Tương tự, phép biến đổi ngược Fourier được xác định
theo công thức ( ⌣f,ϕ )
= ( f, ⌣ ϕ ) , ∀ϕ ∈ I.

Chương 6. Phép biến đổi Fourier 35
Ta có các đẳng thức
̂ˇf = ˇ̂f = f, f ∈ I ′ ,
và F là đẳng cấu từ I ′ vào I ′ .

Chương 7
Không gian Sobolev
7.1 Mở đầu
Cho tập mở Ω ⊂ R n , f(x) là hàm khả tích địa phương trong Ω. Đạo hàm
suy rộng
∂ |α| f
∂x α ,
1
1 ...∂xα n
n
trong Ω nếu tồn tại là một hàm g(x) khả tích địa phương trong Ω thoả mãn
đẳng thức
∫
∫
g(x)ϕ(x)dx = (−1) |α| ∂ |α| ϕ
f(x)
∂x α dx, ∀ϕ ∈ C
1
1 ...∂xα n
0 ∞ (R n ).
n
R n R n
Ta xác định không gian ˜W k (Ω), k nguyên không âm như sau: ˜W k (Ω) là tập
hợp các hàm f(x) khả tích địa phương trong Ω, có tất cả các đạo hàm suy
rộng cấp k trong L 2 (Ω).
˜W (k) (Ω) = {f : f ∈ L 2 (Ω), D α f ∈ L 2 (Ω), |α| = k},
L 2 (Ω) : không gian các hàm đo đuợc trong Ω, ||f|| 2 = ∫ R n |f| 2 dx < ∞.
Trong ˜W k (Ω) ta đưa vào chuẩn
Ta có hai định lí sau:
||f|| 2˜W k
= ||f|| 2 L 2 (Ω) + ∑
||D α f|| 2 L 2 (Ω) .
|α|=k
Định lí 7.1.1. (Định lí Sobolev). Mọi hàm f ∈ ˜W l (Ω) đều thuộc
˜W k (Ω), k < l tức là không gian ˜W l (Ω) được nhúng trong không gian ˜W k (Ω).
Hơn nữa, phép nhúng trên là liên tục.
36

Chương 7. Không gian Sobolev 37
Ý nghĩa: mọi hàm f(x) có đạo hàm suy rộng cấp l thì cũng có đạo hàm
cấp k, với mọi k < l. Vì vậy thay ˜W k bởi không gian
W k (Ω) = {f : f ∈ L 2 (Ω), D α f ∈ L 2 (Ω), |α| ≤ k},
cùng với chuẩn
Định lí Conotrasev:
|f|| 2 W
= ∑
||D α f|| 2 k L 2 (Ω) .
|α|≤k
Định lí 7.1.2. (Tính hoàn toàn liên tục của phép nhúng ˜W l (Ω) vào ˜W k (Ω).
Nếu {f m } là dãy bị chặn trong ˜W l (Ω). Khi đó, tồn tại một dãy con {f mk } ⊂
{f m } hội tụ trong ˜W k (Ω), k < l, tức là
lim
k,l→∞ ||f m k
− f ml ||˜W k
(Ω) = 0.
Nói cách khác, mọi tập bị chặn trong ˜W l (Ω) đều là tập compac trong
˜W k (Ω), k < l. Từ ý tưởng này, chúng ta xây dựng khái niệm về không gian
Sobolev hoàn thiện hơn. Ta chú ý
D(Ω) ⊂ L 2 (Ω) ⊂ D ′ (Ω).
Khi đó, mọi hàm u(x) ∈ L 2 (Ω) là một hàm suy rộng trong D ′ (Ω).
∫
∀ϕ ∈ D(Ω) : (u, ϕ) = u(x)ϕ(x)dx, |(u, ϕ)| ≤ ||u|| 2 ||ϕ|| 2 .
R n
Vì u ∈ D ′ (Ω), u có đạo hàm suy rộng mọi cấp trong D ′ (Ω). Với s là một số
nguyên không âm,
Trong H s ta đưa vào chuẩn
H s = {u : u ∈ D ′ (Ω), D α u ∈ L 2 (Ω), |α| ≤ s}.
||u|| 2 s = ∑
||D α u|| 2 L 2 (Ω) .
|α|≤s
Định lí 7.1.3. H s là không gian Hibert với tích vô hướng xác định như sau
(u, v) s = ∑
(D α u, D α u) L 2.
|α|≤s

Chương 7. Không gian Sobolev 38
Chứng minh. Trước hết ta thấy ||u|| 2 s = (u, u) s và s = 0 thì H 0 = L 2 . Để
chứng minh không gian hibert ta chỉ cần chứng minh H s là không gian đủ.
Lấy dãy cơ bản {u m } ⊂ H s là dãy cơ bản, tức là
lim ||u m − u n || s = 0.
m,n→∞
Điều này dẫn tới {D α u m } là dãy cơ bản trong L 2 , ∀α : |α| ≤ s. Do L 2 là
không gian đủ nên tồn tại
{ lim
n→∞
u m = u ∈ L 2 ,
lim
n→∞ Dα u m = u α ∈ L 2 , ∀α : |α| ≤ s.
Vì
ta có
Hơn thế,
ta có
lim u m = u ∈ L 2 ,
n→∞
lim u m = u ∈ D ′ (Ω).
n→∞
lim
n→∞ Dα u m = u α ∈ L 2
lim
n→∞ Dα u m = u α ∈ D ′ (Ω).
Mặt khác, u m → u trong D ′ (Ω) nên D α u m → D α u trong D ′ (Ω). Do đó,
u α = D α u. Vậy lim
n→∞
u m = u ∈ H s . Hay H s là không gian đủ.
7.2 Không gian H s (R n )
Trong không gian I(R n ) ta đuă vào tích hướng
∫
(u, v) s = (1 + |ξ| 2 ) s û(ξ)̂v(ξ)dξ, ∀u, v ∈ I(R n ).
R n
Để cho đối xứng ta kí hiệu
(u, v) = (2π) −n ∫
R n (1 + |ξ| 2 ) s û(ξ)̂v(ξ)dξ, ∀u, v ∈ I(R n ).
Định lí 7.2.1. Với s ∈ R, không gian H s (R n ) là bổ xung của I(R n ) theo
chuẩn ||.|| s . Khi đó, H s (R n ) là không gian Hibert, trong đó
H s (R n ) = {u : u ∈ I ′ : (1 + |ξ| 2 ) s 2û(ξ) ∈ L 2 (R n )}.

Chương 7. Không gian Sobolev 39
Chứng minh.
• Nếu u ∈ I thì khẳng định là hiển nhiên.(?)
• Ngược lại, khi đó tồn tại một dãy số {u m } ⊂ Im sao cho
lim ||u n − u|| s = 0.
n→∞
Do đó, dãy {(1 + |ξ| 2 ) s 2û m (ξ)} là dãy cơ bản trong không gian đủ L 2 .
Từ đây, tồn tại
lim (1 +
m→∞ |ξ|2 ) 2ûm s (ξ) = g(ξ) ∈ L 2 .
Nếu đặt ̂v(ξ) = (1 + |ξ| 2 ) − 2g(ξ) s thì
∫
lim (1 + |ξ| 2 ) s |û m (ξ) − ̂v(ξ)| 2 dξ = 0.
m→∞
R n
Điều này suy ra, dãy u m hội tụ tới v = F(̂v) trong H s . Hay, u = v
trong H s .
Ta sẽ chứng minh dãy u m dần tới v trong I ′ . Thật vậy, ∀ϕ ∈ I :
∫
|(u m , ϕ) − (v,ϕ)| = |(u m − v,ϕ)| = |
∫
= (2π) −n |
R n (u m − v)ϕdx|
≤ (2π) n ∫ Rn (û m − ̂v)̂ϕ(ξ)dξ|
∫
≤ c
R n (1 + |ξ| 2 ) s 2 |ûm − ̂v|(1 + |ξ| 2 ) − s 2 |̂ϕ(ξ)|dξ
R n (1 + |ξ| 2 ) s |û m − ̂v| 2 dξ → 0.
Do đó, u m → v trong I ′ . Hơn thế, û m → ̂v trong I ′ . Từ chỗ,
dẫn tới
Mặt khác, u = v trong H s ta có
(û m , ϕ) = (u m , ̂ϕ),
(̂v, ϕ) = (v, ̂ϕ).
û = ̂v = (1 + |ξ| 2 ) − s 2 g(ξ).
Do g ∈ L 2 , ta có (1 + |ξ| 2 ) s 2û(ξ) ∈ L 2 . Vậy
I(R n ) ⊂ H s (R n ) ⊂ I ′ (R n ), ∀s ∈ R.

Chương 7. Không gian Sobolev 40
Hơn nữa,
H 0 = L 2 .
Nếu s > 0 : u ∈ H s thì ||u|| 2 s = ∑ ∫
C α |D α u| 2 dξ. Do đó, D α u ∈
α R n
L 2 , ∀α : |α| ≤ s. Hay H s = W s .
Định lí 7.2.2. Nếu s, s ′ ∈ R, s ≤ s ′ thì H s′ ⊂ H s , đồng thời |.| s ≤ |.| s ′.
Chứng minh. Thật vậy, với u ∈ H s′
ta có u ∈ I ′ sao cho
(1 + |ξ| 2 ) s′
2 û(ξ) ∈ L 2 .
Do s ′ > s dẫn tới (1 + |ξ| 2 ) s 2û(ξ) ∈ L 2 . Đồng thời
|u| 2 s = (2π) −n ∫
R n (1 + |ξ| 2 ) s 2û(ξ)dξ ≤ |u|
2
s
′ = (2π) −n ∫
R n (1 + |ξ| 2 ) s′
2 û(ξ)dξ.
Nhận xét: Họ các không gian Sobolev {H s : s ∈ R} có tính chất
I ⊂ H s′ ⊂ H s ⊂ I ′ .
Đặt
H ∞ = ⋂ s∈R
H s , H −∞ = ⋃ s∈R
H s .
Định lí 7.2.3. Nếu s > n 2 + j thì Hs (R n ) ⊂ C j (R n ), trong đó C j (R n ) là
không gian các hàm khả vi liên tục tới cấp j trên R n .
Chứng minh. Giả sử u ∈ H s , s > n 2
̂D α u(ξ) = ξ α û(ξ) =
+ j. Khi đó với |α| ≤ j ta có
ξ α
(1 + |ξ| 2 ) 2û(ξ).
s
(1 + |ξ| 2 ) s 2
Vì u ∈ H s nên (1 + |ξ| 2 ) s 2û(ξ) ∈ L 2 . Mặt khác, |α| ≤ j ≤ s − n 2
ξ α
(1 + |ξ| 2 ) s 2
∈ L 2 .
ta có
Từ đây, ̂Dα u(ξ) ∈ L 1 , ∀|α| ≤ j. Dẫn tới,
D α u(x) = (2π) −n ∫
hội tụ đều theo x, hay u(x) khả vi tới cấp j.
R n e i(x,ξ) ̂Dα u(ξ)dξ

Chương 7. Không gian Sobolev 41
Hệ quả 7.2.4.
H ∞ ⊂ C ∞ .
Định lí 7.2.5. Nếu H s (R n ), ∀u ∈ H s : D α u ∈ I ′ thì phép vi phân
D α : H s → I ′
là ánh xạ liên tục từ H s vào H s−|α| .
Chứng minh. Cho u ∈ H s , ta có u ∈ I ′ . Do D α ∈ I ′ , dẫn tới
̂D α u(ξ) = ξ α û(ξ).
Vì
cho nên
|ξ| α = |ξ 1 | α 1
...|ξ n | α n
≤ C(1 + |ξ| 2 ) |α|
2 ,
|(1 + |ξ| 2 ) s−|α|
2 ̂Dα u(ξ)| = (1 + |ξ| 2 ) s−|α|
2 |ξ| α |û(ξ)|
Từ đây, D α u ∈ H s−|α| . Hơn nữa,
≤ C(1 + |ξ| 2 ) s−|α|
2 (1 + |ξ| 2 ) |α|
2 |û(ξ)|
= C(1 + |ξ| 2 ) s 2 |û(ξ)| ∈ L 2 .
||D α u|| H
s−|α| ≤ C||u|| H s.
Hệ quả 7.2.6. Nếu P(D) = ∑
|α|≤m
a α D α là toán tử vi phân với hệ số hằng
số cấp m thì với mọi u ∈ H s : P(D)u ∈ H s−m và ánh xạ P(D) là liên tục
từ H s vào H s−m thoả mãn
||P(D) α u|| H
s−m ≤ C||u|| H s.
Nếu a α = a α (x) thì ta có định lí sau
Định lí 7.2.7. Nếu u ∈ H s , α(x) ∈ I thì αu ∈ H s và ánh xạ u → αu là
liên tục từ H s vào chính nó.
Bổ đề 7.2.8. Với mọi s ∈ R, ξ, η ∈ R n ta có bất đẳng thức
(1 + |ξ| 2 ) s ≤ 2 |s| (1 + |ξ − η| 2 ) |s| (1 + |η| 2 ) s .
Chứng minh. (Chứng minh bổ đề)
....

Chương 7. Không gian Sobolev 42
Chứng minh. (Chứng minh Định lí)
Giả sử u ∈ H s . Khi đó, û(ξ) là hàm thông thường khả tích địa phương sao
cho
(1 + |ξ| 2 ) s 2û(ξ) ∈ L 2 .
Với α(x) ∈ I thì αu ∈ I ′ . Khi đó,
(1+|ξ| 2 ) s 2 ̂αu(ξ) = (1+|ξ| 2 ) s 2 (2π) −n (̂α∗û)(ξ) = (2π) −n ∫
R n (1+|ξ| 2 ) s 2 ̂α(η)û(ξ−η)dη.
Từ đây,
∫
(1+|ξ| 2 ) s 2 |̂αu(ξ)| ≤ (2π)
−n
2 s 2 (1+|η| 2 ) s 2 |̂α(η)|(1+|ξ −η| 2 ) |s|
2 |û(ξ −η)dη|.
R n
Đặt
Từ đây ta có
v 1 (η) = (1 + |η| 2 ) s 2 ̂α(η), v2 (ξ − η) = (1 + |ξ − η| 2 ) |s|
2 û(ξ − η).
||αu|| 2 H s ≤ C 2||v 1 ∗ v 2 || 2 L 2.
Do α ∈ I, ta có ̂α ∈ I. Hơn nữa, (1 + |ξ| 2 ) s 2 ̂α ∈ I. Điều này dẫn tới,
|̂v 1 | ≤ M − hằng số.
Ta thấy,
∫
∫
||v 1 ∗ v 2 || 2 L = |v 2 1 ∗ v 2 (x)| 2 dx = |̂v 1 | 2 |̂v 2 | 2 dx
R n R
∫
n ∫
≤ C 3 |̂v 2 | 2 dx = C 3 (2π) −n |v 2 (x)| 2 dx
R n R
∫
n
= C 4 (1 + |x| 2 ) |s| |û(x)| 2 dx = C 4 ||u|| 2 H s.
R n
Hệ quả 7.2.9. Giả sử P(D) là toán tử vi phân cấp m với hệ số trong I.
Khi đó, ánh xạ u → P(D)u là liên tục từ H s → H s−m .
Giả sử tập compact K ⊂ R n . Đặt
H s K(R n ) := {u ∈ H s : suppu ⊂ K}.

Chương 7. Không gian Sobolev 43
Định lí 7.2.10. Với mọi s ′ > s, ánh xạ nhúng HK s′ → Hs K
tục.
là hoàn toàn liên
Chứng minh. Ta cần chứng minh {u m } ⊂ H s′ là dãy bị chặn thì tồn tại một
dãy con hội tụ trong H s . Ta sử dụng nguyên lí compac Arzenla − Ascoli.
Không mất tổng quát ta có giả sử
|u m | s
′ ≤ 1, ∀m.
Hơn nữa chỉ cần chứng minh cho s ′ = s + 1 sau đó suy ra tổng quát, tức là
|u m | s+1 ≤ 1, ∀m.
Lấy ϕ(x) ∈ C ∞ 0 (R n ) : ϕ(x) = 1, ∀x ∈ K. Khi đó ta có
ϕu m = u m , ∀m,
do suppu m ⊂ K. Ta thấy
û m (ξ) = ̂ϕu m (ξ) = (2π) −n (̂ϕ ∗ û m )(ξ) = (2π) −n ∫
̂ϕ(ξ − η)û m (η)dη,
tích phân trên hội tụ đều vì supp(̂ϕ ∗ û m ) compac. Áp dụng bổ đề ? ta có
∫
(1 + |ξ| 2 ) s+1
2 |û(ξ)| ≤ (2π)
−n
2 |s+1|
2 (1 + |ξ − η|) |s+1|
2 |̂ϕ(ξ − η)|(1 + |η| 2 ) s+1
2 |ûm (η)|dη
R n
Tương tự,
≤ C 1 |u m | s+1 |ϕ| s+1
≤ |ϕ| s+1 (∗).
(1 + |ξ| 2 ) s+1
2 |
∂
∂ξ j
û m (ξ) ≤ C 2 |x j ϕ| s+1 (∗∗).
Cho ε > 0, chọn R > 0 đủ lớn sao cho
(1 + |ξ| 2 ) −1 < ε nếu |ξ| ≥ R.
Từ đây, dãy {û m (ξ)} bị chặn đều trong B[0, R]. Hơn nữa, từ (∗∗) áp dụng
công thức gia số giới nội với hàm nhiều biến ta có
|û m (ξ) − û m (ξ ′ )| ≤ N|ξ − ξ ′ |, ∀ξ, ξ ′ ∈ B[0, R], (N ≠ m).
Theo tiêu chuẩn compact, tồn tại một dãy con không có sai lầm ta giả sử là
{û m (ξ)} hội tụ đều trong B[0, R]. Ta thấy,
∫
∫ ∫
|u k −u l | 2 s = (2π) −n (1+|ξ| 2 ) s |û k −û l |dξ = (2π) −n (1)+(2π) −n (2).
R n B
R n
R n /B

Chương 7. Không gian Sobolev 44
(2π) −n ∫
R n /B
(2) = (2π) −n ∫
R n /B
≤ ε(2π) −n ∫
(1 + |ξ|) −1 (1 + |ξ| 2 ) s+1 |û k − û l | 2 dξ
(1 + |ξ| 2 ) s+1 |û k − û l | 2 dξ
R n /B
≤ 2ε(2π) −n ∫
(1 + |ξ| 2 ) s+1 (|û k | 2 + |û l | 2 )dξ
R n /B
≤ 2ε(|u k | 2 s+1 + |u l | 2 s+1) ≤ 4ε.
Mặt khác, do {û m (ξ)} hội tụ đều trong B[0, R] nên khi k, l đủ lớn
∫
(2π) −n (1) ≤ ε.
Từ đây, {u m } là dãy cơ bản trong H s K và tồn tại giới hạn trong Hs K .
B
Định lí 7.2.11.
H −s (R n ) = (H s (R n )) ∗ .
Chứng minh. Lấy v ∈ H s . Ta xác định phiếm hàm trên H s theo công thức
∫
l(u) = (u, v) 0 = (2π) −n û(ξ)̂v(ξ)dξ.
Ta nhận xét:
∫
|l(u)| = (2π) −n |
R n
R n (1 + |ξ| 2 ) s 2û(ξ).(1 + |ξ| 2 ) − s 2̂v(ξ)| ≤ |u|s .|v| −s . (∗)
Do đó, l là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H s , hay l ∈ (H s ) ∗ . Ngoài ra,
v ∈ (H s ) ∗ . Vì I là trùg mật trong H s , có thể xem v ∈ I. Từ (∗), ta có
Mặt khác, vì v ∈ I, ̂v(ξ) ∈ I, ta có
|l| ≤ |v| −s .
(1 + |ξ| 2 ) − s 2̂v(ξ) ∈ I,
và tồn tại u 0 ∈ I : û 0 (ξ) = (1 + |ξ| 2 ) − s 2̂v(ξ). Khi đó,
|l(u)|
|l| = sup ≥ |l(u 0)|
= |v| −s .
u∈I |u| s |u| s

Chương 7. Không gian Sobolev 45
Hay, |l| = |v| −s .
Ngược lại, lấy l ∈ (H s ) ∗ . Do H s là không gian Hibert, theo định lí Rietz tồn
tại duy nhất một v 0 ∈ H s sao cho
l(u) = (u, v 0 ) s = (2π) −n ∫
R n (1 + |ξ| 2 ) s ̂v 0 (ξ)û(ξ)dξ,
và |l| = |v 0 | s . Đặt v là hàm suy rộng sao cho
̂v(ξ) = (1 + |ξ| 2 ) s ̂v 0 (ξ).
Khi đó,
Ta thấy,
∫ ∫
l(u) = (2π) −n û(ξ)̂v(ξ)dξ = u(x)v(x)dx = (u, v) 0 .
R n R n
|v| 2 −s = |v 0 | 2 s = |l|
Chú ý: nếu u, v ∈ I thì
∫
(u, v) 0 =
R n u(x)v(x)dx ≤ |v| −s .|u| s .
Do tính trù mật của I, bất đẳng thức vẫn đúng khi u ∈ H s , v ∈ H −s .
Tóm lại : ta đã xây dựng họ các không gian H s (R n ) được gọi là dãy
Sobolev trong R n .
7.3 Không gian H s (R n +)
.......
7.4 Không gian Sobolev trên đa tạp
7.4.1 Đa tạp khả vi không biên
Không gian tôpô M được gọi là đa tập n chiều nếu thoả mãn các điều kiện
sau

Chương 7. Không gian Sobolev 46
1. Mọi a ∈ M, tồn tại một lân cận B ⊂ M và một hàm véctơ
x = (x 1 (p), ...x n (p))
xác định trong B sao cho ánh xạ α : B → ˜B mở
⊂ R n , p → x(p) là
đồng phôi giữa tập B và ˜B. Khi đó tập B được gọi là một lân cận toạ
độ trong M, còn cặp (B, α) được gọi là bản đồ địa phương xác định
trên B. Hệ các hàm x 1 , ...,x n được gọi là hệ toạ độ địa phương trên B.
2. Nếu B 1 là một lân cận toạ độ khác của điểm a và α 1 thì ánh xạ
ϕ = α 1 α −1 : α(B 1
⋂
B) → α1 (B 1
⋂
B)
đồng phôi.
ϕ là phép biến đổi toạ độ x → ϕx = y. Giả sử y k là hàm khả vi tới cấp
l, ∀k = 1, 2..n, khi đó
D(y 1 , ...,y n )
D(x 1 , ...,x n ) ≠ 0,
và đa tạp M được gọi là đa tạp khả vi đến cấp l. Nếu l = ∞ thì M
được gọi là đa tạp khả vi vô hạn.
Ví dụ 15. Đường tròn là đa tạp khả vi vô hạn 1 chiều. M là đường tròn
trong mặt phẳng, điểm a trên đường tròn, tồn tại một lân cận chứa a.
B : y = η(x), x ∈ (−ε, ε)
α : B → (−ε, ε) ⊂ R 1 , α(p) = y(x) ∈ (−ε, ε).
Ví dụ 16. Nếu thay là chỏm cầu ta cũng xác định toạ độ như trên,
mặt cầu là đa tạp khả vi vô hạn 2 chiều.
7.4.2 Đa tạp có biên
Cho M là không gian tôpô, ∂M là không gian con của M, khi đó không gian
con tôpô ∂M đuợc gọi là biên của đa tạp M nếu thoả mãn các điều kiện sau
đây:
1. M/∂M là đa tạp n chiều không biên.
2. Mọi a ∈ ∂M, tồn tại một lân cận B ′ của điểm a đồng phôi với nửa hình
cầu ˜B ′ ⊂ R n +, tức là
x n (p) =
{
0 nếu p ∈ B
′ ⋂ ∂M,
> 0 nếu p ∈ B ′ ⋂ (M/∂M).
Nếu M là đa tạp khả vi n chiều, thì ∂M là đa tạp khả vi n-1 chiều.

Chương 7. Không gian Sobolev 47
7.4.3 Hàm số trên đa tạp
Giả sử M là một đa tạp khả vi, compact, khi đó tồn tại một phủ mở hữu
hạn {B m } k 0 gồm các lân cận toạ độ (B m, α m ). Cho hàm số ϕ(p) : M → R.
Nếu ∀p ∈ B m , kí hiệu
ϕ αm (x) = ϕ(α −1
m (x)), x ∈ ˜B m , α m (p) = x.
Như vậy, ϕ αm là hàm số xác định trên tập mở ˜B m ⊂ R n . Nếu ϕ αm ∈
C l ( ˜B m ), ∀m thì ta nói ϕ(p) ∈ C l (M).
Nếu l = ∞ thì ta nói ϕ là hàm khả vi vô hạn trên M.
Ta gọi {ϕ m } k 0 là phân hoạch đơn vị trên đa tạp compac M ứng với phủ hữu
hạn {B m } nếu
• ϕ m ∈ C ∞ (M) : suppϕ m ⊂ B m , ϕ m ≥ 0, ∀p ∈ M.
• ∞ ∑
m=0
ϕ m (p) = 1, ∀p ∈ M.
7.4.4 Dãy Sobolev trên đa tạp khả vi
1. Giả sử M là đa tạp khả vi compact n chiều không biên, {B m } k 0 là phủ
hữu hạn gồm các lân cận toạ độ trên M, {ϕ m } k 0 là phân hoạch đơn vị
ứng với phủ mở {B m }, với mọi u ∈ C0 ∞ ∑
(M) : u = k ϕ m u trên M.
s ∈ R, đặt |u| Hs (M) =
k∑
m=0
m=0
|(ϕ m , u)α −1
m (x)| 2 H s (R n ) .
Không gian H s (M) là bổ sung của C ∞ 0 (M) theo chuẩn |.| Hs (M). Như
vậy ta có họ các không gian Sobolev {H s (M) : s ∈ R} có các tính chất
tương tự như không gian H s (R n ).
2. Giả sử M là đa tạp khả vi có biên ∂M compac, {B m } k 0 là phủ hữu hạn
gồm các lân cận toạ độ, {ϕ m } ∞ 0 là phân hoạch đơn vị ứng với phủ {B m}
∀u ∈ C ∞ (M), M = M ⋃ ∞∑
∂M, u = ϕ m u.
Vớí s ≥ 0, đặt
|u| Hs (M) = |(ϕ 0 , u)α −1
0 (x)|2 H s (R n ) + k∑
m=1
m=0
|(ϕ m , u)α −1
m (x)| 2 H s (R n ) .
H s (M) là bổ sung của C ∞ (M) theo chuẩn trên. Đặc biệt, ∀s ′ > s > 0,
phaep nhúng H s′ (M) → H s (M) là hoàn toàn liên tục.