HamSuyRong2.pdf

Chương 7. Không gian Sobolev 46
1. Mọi a ∈ M, tồn tại một lân cận B ⊂ M và một hàm véctơ
x = (x 1 (p), ...x n (p))
xác định trong B sao cho ánh xạ α : B → ˜B mở
⊂ R n , p → x(p) là
đồng phôi giữa tập B và ˜B. Khi đó tập B được gọi là một lân cận toạ
độ trong M, còn cặp (B, α) được gọi là bản đồ địa phương xác định
trên B. Hệ các hàm x 1 , ...,x n được gọi là hệ toạ độ địa phương trên B.
2. Nếu B 1 là một lân cận toạ độ khác của điểm a và α 1 thì ánh xạ
ϕ = α 1 α −1 : α(B 1
⋂
B) → α1 (B 1
⋂
B)
đồng phôi.
ϕ là phép biến đổi toạ độ x → ϕx = y. Giả sử y k là hàm khả vi tới cấp
l, ∀k = 1, 2..n, khi đó
D(y 1 , ...,y n )
D(x 1 , ...,x n ) ≠ 0,
và đa tạp M được gọi là đa tạp khả vi đến cấp l. Nếu l = ∞ thì M
được gọi là đa tạp khả vi vô hạn.
Ví dụ 15. Đường tròn là đa tạp khả vi vô hạn 1 chiều. M là đường tròn
trong mặt phẳng, điểm a trên đường tròn, tồn tại một lân cận chứa a.
B : y = η(x), x ∈ (−ε, ε)
α : B → (−ε, ε) ⊂ R 1 , α(p) = y(x) ∈ (−ε, ε).
Ví dụ 16. Nếu thay là chỏm cầu ta cũng xác định toạ độ như trên,
mặt cầu là đa tạp khả vi vô hạn 2 chiều.
7.4.2 Đa tạp có biên
Cho M là không gian tôpô, ∂M là không gian con của M, khi đó không gian
con tôpô ∂M đuợc gọi là biên của đa tạp M nếu thoả mãn các điều kiện sau
đây:
1. M/∂M là đa tạp n chiều không biên.
2. Mọi a ∈ ∂M, tồn tại một lân cận B ′ của điểm a đồng phôi với nửa hình
cầu ˜B ′ ⊂ R n +, tức là
x n (p) =
{
0 nếu p ∈ B
′ ⋂ ∂M,
> 0 nếu p ∈ B ′ ⋂ (M/∂M).
Nếu M là đa tạp khả vi n chiều, thì ∂M là đa tạp khả vi n-1 chiều.