HamSuyRong2.pdf

Chương 7. Không gian Sobolev 40
Hơn nữa,
H 0 = L 2 .
Nếu s > 0 : u ∈ H s thì ||u|| 2 s = ∑ ∫
C α |D α u| 2 dξ. Do đó, D α u ∈
α R n
L 2 , ∀α : |α| ≤ s. Hay H s = W s .
Định lí 7.2.2. Nếu s, s ′ ∈ R, s ≤ s ′ thì H s′ ⊂ H s , đồng thời |.| s ≤ |.| s ′.
Chứng minh. Thật vậy, với u ∈ H s′
ta có u ∈ I ′ sao cho
(1 + |ξ| 2 ) s′
2 û(ξ) ∈ L 2 .
Do s ′ > s dẫn tới (1 + |ξ| 2 ) s 2û(ξ) ∈ L 2 . Đồng thời
|u| 2 s = (2π) −n ∫
R n (1 + |ξ| 2 ) s 2û(ξ)dξ ≤ |u|
2
s
′ = (2π) −n ∫
R n (1 + |ξ| 2 ) s′
2 û(ξ)dξ.
Nhận xét: Họ các không gian Sobolev {H s : s ∈ R} có tính chất
I ⊂ H s′ ⊂ H s ⊂ I ′ .
Đặt
H ∞ = ⋂ s∈R
H s , H −∞ = ⋃ s∈R
H s .
Định lí 7.2.3. Nếu s > n 2 + j thì Hs (R n ) ⊂ C j (R n ), trong đó C j (R n ) là
không gian các hàm khả vi liên tục tới cấp j trên R n .
Chứng minh. Giả sử u ∈ H s , s > n 2
̂D α u(ξ) = ξ α û(ξ) =
+ j. Khi đó với |α| ≤ j ta có
ξ α
(1 + |ξ| 2 ) 2û(ξ).
s
(1 + |ξ| 2 ) s 2
Vì u ∈ H s nên (1 + |ξ| 2 ) s 2û(ξ) ∈ L 2 . Mặt khác, |α| ≤ j ≤ s − n 2
ξ α
(1 + |ξ| 2 ) s 2
∈ L 2 .
ta có
Từ đây, ̂Dα u(ξ) ∈ L 1 , ∀|α| ≤ j. Dẫn tới,
D α u(x) = (2π) −n ∫
hội tụ đều theo x, hay u(x) khả vi tới cấp j.
R n e i(x,ξ) ̂Dα u(ξ)dξ