HamSuyRong2.pdf

Chương 6
Phép biến đổi Fourier
6.1 Biến đổi Fourier trong I(R n )
Nhắc lại:
Rõ ràng ta cũng có
I(R n ) = {ϕ(x) ∈ C ∞ (R n ) : sup |x α D β ϕ| < ∞, ∀α, β}.
x
sup(1 + x 2 1) · · · (1 + x 2 n)|x α D β ϕ| < ∞, ∀α, β.
x
Điều này dẫn tới, x α D β ϕ ∈ L 1 (R n ). Nói cách khác, I(R n ) ⊂ L 1 (R n ).
Định nghĩa 6.1.1. Cho f(x) ∈ L 1 (R n ). Khi đó biến đỏi Fourier của hàm
f được kí hiệu ˆf(ξ) hay F(ξ) và xác định theo công thức
∫
ˆf(ξ) = e −i(x,ξ) f(x)dx,
R n
và phép biến đổi nguợc Fourier được kí hiệu là ˇf(x) hay F −1 ( ˆf) được xác
định theo công thức
ˇf(x) = 1 ∫
e i(x,ξ) ˆf(ξ)dξ,
(2π) n R n
trong đó (x, ξ) = x 1 ξ 1 + · · · + x n ξ n .
Để xét các tính chất cảu phép biến đổi trong I(R n ) thay kí hiệu đạo hàm
thông thường bởi kí hiệu D k = −i ∂
∂x k
.
Định lí 6.1.2. Phép biến đổi Fourier F là một ánh xạ
F : I(R n ) −→ I(R n ),
28